【摘 要】
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梯度法是求解无约束优化问题的基本方法之一,其算法简单,所需存储较少.但此方法中步长的选取对计算效果有较大的影响,Barzilai和Borwein提出的两点步长其对应的Barzilai-Borwein（BB）梯度法由于有较好的计算效果和收敛性,现在已经发展成为求解大规模问题竞争力很强的一种方法,受到众多学者的广泛关注.本文主要探讨新的BB型梯度算法及其在优化算法中的应用.主要内容包括以下几个方面:1
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梯度法是求解无约束优化问题的基本方法之一,其算法简单,所需存储较少.但此方法中步长的选取对计算效果有较大的影响,Barzilai和Borwein提出的两点步长其对应的Barzilai-Borwein（BB）梯度法由于有较好的计算效果和收敛性,现在已经发展成为求解大规模问题竞争力很强的一种方法,受到众多学者的广泛关注.本文主要探讨新的BB型梯度算法及其在优化算法中的应用.主要内容包括以下几个方面:1.探寻新的BB型梯度算法.基于Ford和Moghrabi的多步拟牛顿方程,通过修正原始的BB步长使其满足这一特定的拟牛顿特性,提出了一族新的BB型步长并建立了采用新步长的梯度型算法对严格凸二次极小化问题的全局收敛性.将新方法应用于实际问题与由机器产生的随机问题,结果表明,新的BB型方法优于现存的一些梯度型算法.2.研究BB型步长在优化算法中的应用.首先,结合非单调线搜索,将第一部分内容中的MBB方法推广到一般的非二次无约束优化问题的求解当中.其次,由于改进的拟牛顿方程与Dai-Liao共轭梯度法之间存在着紧密的联系,将在DaiLiao方法中使用过的具有一定最优特性的BB型参数值应用到变尺度BFGS方法与修正的BFGS方法当中.最后,将BB型步长嵌入到自适应三次正则化方法中,用实正定数量矩阵代替精确Hessian或其拟牛顿逼近,简化了算法中子问题的求解且改进后的算法适用于大规模问题.数值试验表明,这些修正合理且有效.在此期间,还通过插值的方式,统一了现有的对拟牛顿方程的大部分改进,为这些改进的提出给出了一个自然的阐释.3.研究BB型方法求解对称不定线性方程组的收敛性.我们得出:二维情形下,采用第二种形式BB步长的方法是R-超线性收敛的.这一理论结果和戴彧红在对称正定情形下关于BB方法的结果一致.4.改进共轭梯度法.通过修正共轭梯度法中的共轭参数,提出了几个改进的共轭梯度算法,其中包括两种Dai-Liao形式的共轭梯度法.在一定条件下,结合强Wolfe线搜索,给出了算法对一致凸函数的强收敛性以及一般函数的全局收敛性.数值试验表明本章给出的算法比已有的同类算法更有效.
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