马尔可夫链是一类描述实际问题的模型,它是一种特殊的随机过程。渐近循环马氏链又是生活中常见的一类非齐次马尔可夫链。相对熵是信息论中非常基本且重要的概念,它是两个概率分布间差异的非对称性度量。已有学者研究了一类非齐次马氏链样本相对熵率的存在条件,本论文在前人的基础上进一步研究渐近循环马氏链相对熵密度率的强极限定理。随着信息论的发展,近年来树图模型己引起各界的广泛兴趣。树指标马氏链是树图与马尔可夫链相结合而产生的一个新的数学理论体系,是一类重要的树指标随机过程。它在生物学、计算机科学以及金融工程等领域都有很好的应用。因此,研究树指标马氏链的极限理论不仅具有重要的理论意义,同时也有较高的应用价值。本博士论文重点研究一类齐次树指标非齐次马氏链和双根树上二阶非齐次马氏链的强大数定律和熵定理。隐马尔可夫模型是一般马尔可夫链概念的自然推广,它是研究数据挖掘、模式识别和生物信息遗传等问题的有力工具。尽管对隐马尔可夫模型的理论研究已取得了一定进展,但由于实际问题远比数学模型要复杂许多,现有的理论知识还不足以解决所有问题。尤其在实际建模中,我们遇到的往往是马氏链为非齐次的情形,如动态图像处理、风险评估和股票价格的推断等都需要建立非齐次隐马尔可夫模型。因此,本文第四章研究在一般状态空间中取值的非齐次隐马尔可夫模型的强大数定律有较大的实践指导意义。本博士论文共分为八章。第一章,介绍了与本论文相关的研究背景和意义,阐述了本文的主要研究内容和创新点。第二章,简单介绍了与本文相关的基本知识,对渐近循环马氏链、相对熵密度率、隐马尔可夫模型以及树指标马氏链的现有理论成果进行了回顾。第三章,研究了渐近循环马氏链相对熵密度率的存在条件。第四章,给出了在一般状态空间中取值的非齐次隐马尔可夫模型的定义,并证明其性质和等价性质,最后得到了取值于一般状态空间的非齐次隐马尔可夫模型的强大数定律,它推广了可列隐马尔可夫模型的相关结果。第五章,利用齐次树指标非齐次马氏链的强极限定理,研究了一类齐次树上非齐次马氏链的强大数定律和Shannon-McMillan定理。其推广了齐次树指标渐近奇偶马氏链的相关结论。第六章,给出了双根树指标二阶非齐次马氏链的概念,利用非齐次马氏链三元函数的极限性质,得到了双根树上二阶非齐次马氏链状态与状态序偶发生频率的强大数定律及Shannon-McMillan定理。第七章,研究在一般状态空间取值的二叉树指标非齐次分支马氏链的性质和等价性质。第八章,是对本博士论文的总结以及未来研究的展望。