【摘 要】
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作为哥德巴赫问题的非线性推广,华林-哥德巴赫问题一直是数论学家关注的焦点问题.华林-哥德巴赫问题主要研究满足某些同余条件的充分大的正整数N表为素数幂之和的可能性,即研究方程N=p1k+p2k+…+psk是否可解,其中p1,p2,…,ps为素数.1937年,Vinogradov[1]证明了每一个充分大的奇数都可以表成三个奇素数之和;1966年,Chen[2]证明了每一个充分大的偶数都可以表为一个素数
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作为哥德巴赫问题的非线性推广,华林-哥德巴赫问题一直是数论学家关注的焦点问题.华林-哥德巴赫问题主要研究满足某些同余条件的充分大的正整数N表为素数幂之和的可能性,即研究方程N=p1k+p2k+…+psk是否可解,其中p1,p2,…,ps为素数.1937年,Vinogradov[1]证明了每一个充分大的奇数都可以表成三个奇素数之和;1966年,Chen[2]证明了每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个至多有两个素因子的奇数之和.另一方面,研究在适当条件限制下的堆垒素数问题也吸引了大量数学工作者.如果把变量限制在小区间上,则这类问题被称为几乎相等的堆垒素数问题.具体来说,该问题研究如下方程的可解性其中 1≤i≤s,U=N1-θk,s,θk,s∈（0,1）.上述问题的例外集问题同样也受到研究者的关注,令Ek,s（N,U）表示不超过N,且满足某些同余条件但不能表示为（0-1）式的正整数的个数.该问题想要证明Ek,s（N,U）（?）N1-θk,s-ε.当k=3,s=5 时,2012 年,Liu 和 Sun[4]证明了θ3,5=1/102.同一年,Li[5]对结果进行了改进,得到了θ3,5=1/48.2015年,Ren和Yao[6]利用Zhao[18]余区间上的新方法,证明了θ3,5=7/261.2019年,Wang[7]通过改进余区间,证明了θ3,5=1/27,这是目前最好的结果.本文研究k=3,s=5时几乎相等的华林-哥德巴赫问题的推广.即把其中一个素数的三次方替换为k（k≥4）次方:其中U=N1-θ,i=1,2,3,4,θ∈（0,1）·引入记号I（N,5U）=[N-5U,N+5U],记E（N,U）表示集合I（N,5U）中满足局部同余条件但不能表示为（0-2）的正整数n的个数.本文证明了如下结果:定理 当k≥4时,E（N,U）（?）U1-ε对于如下的θ成立:研究华林-哥德巴赫问题的基本方法为圆法,该方法是把区间[0,1]分割为主区间和余区间,将表法个数表为[0,1]上的积分,然后分别估计主区间上的积分和余区间上的积分,本文也将使用这个方法.处理主区间主要运用Liu[8]提出的扩大主区间的处理方法,以及Liu[9]在圆法中建立的迭代方法.在处理余区间时,由于指数和估计受到圆法中主要参数P*,Q*取值的影响,因此对余区间的估计我们区分4≤＜k≤6和k≥7两种情况进行处理.当4≤k≤6时,利用Zhao[18]的三角和估计,以及Yao[20]的均值估计;当k≥7时,Hua[21]的引理和Kumchev[22]的均值估计在证明过程中起到了至关重要的作用.
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