【摘 要】
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本文主要利用变分方法研究如下离散非线性薛定谔方程的非平凡解的存在性和多重性:其中Δun=u（n1+1,n2,...,nm）+u（n1,n2+1,...,nm）+···+u（n1,n2,...,nm+1）-2mu（n1,n2,...,nm）+u（n1-1,n2,...,nm）+u（n1,n2-1,...,nm）+···+u（n1,n2,...,nm-1）是m维空间上的离散拉普拉斯算子,{εn}是实数
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本文主要利用变分方法研究如下离散非线性薛定谔方程的非平凡解的存在性和多重性:其中Δun=u（n1+1,n2,,nm）+u（n1,n2+1,,nm）+···+u（n1,n2,,nm+1）-2mu（n1,n2,,nm）+u（n1-1,n2,,nm）+u（n1,n2-1,,nm）+···+u（n1,n2,,nm-1）是m维空间上的离散拉普拉斯算子,{εn}是实数列,ω∈R是时间频率,非线性项fn（·）:R→R是连续函数,且fn（0）=0.本文的主要内容如下:第一章介绍了离散非线性薛定谔方程的研究背景以及研究成果和进展,并阐述了本文主要的研究内容和相关的预备知识.第二章分别考虑了非线性项fn（·）在无穷远处呈超线性和渐近线性增长情形时,在对fn（·）给予更弱的假设下,通过广义环绕定理和集中紧性原理得到m维无穷格点上的周期离散非线性薛定谔方程基态解的存在性.第三章在局部超二次增长条件下,研究了m=1维无穷格点上的周期离散非线性薛定谔方程,得到了方程基态解的存在性和无穷多个几何结构不同的解的存在性.第四章用Morse理论研究了不同非线性项下的m=1维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程,得到了方程非平凡解的存在性.第五章在位势εn既不是周期的又不是强制的情形下,得到了m=1维无穷格点上的非周期离散非线性薛定谔方程的基态解的存在性.第六章给出了本文的结论以及展望.
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