本文主要研究亚纯函数的值分布、正规族理论及其Circle Packing理论，全文共分四章． 第一章我们给出本文中要用到的一些基本知识：亚纯函数值分布论的基础知识和复分析里的一些结果． 设 是区域D С C内的一族亚纯函数．如果对于 中的任何序列f<,n>，一定存在一个子序列f<,nk>，使得f<,nk>在D内按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或内闭一致收敛到无穷，则称 在D内正规． 第二章我们研究正规族．在正规族理论中，寻找新的正规定则是一个重要的课题．在这一章中我们获得了一些新的正规定则，本章共分四节． 在2.1节和2.2节中，我们给出正规族理论的基础知识和一些已知的结果．在发现Zalcman引理以前，正规族理论中所惯用的方法是先建立界囿定理，再消去原始值．而Zalcman开辟另外的途径，从Marry正规定则出发建立了一族亚纯函数不正规的一个充要条件，我们称之为Zalcman引理．在2.3节中，我们详细地介绍了Zalcman方法及其发展． 在2.4节中，我们把已有的正规定则的条件中涉及函数取复数值与否的问题，改为函数取全纯函数与否的情形．其中主要困难在于当复数换成全纯函数时，对其零点的处理问题．我们综合运用了正规族理论中已有的各种方法，克服了在零点处的困难，获得了一些正规定则，其中包括定理2.4.4、定理2.4.7、定理2.4.8、定理2.4.10、定理2.4.11、定理2.4.12和定理2.4.14等． 第三章，我们主要研究亚纯函数的值分布．设f(z)是开平面上的超越亚纯函数，Hayman证明了函数广ff′取任何有穷非零复数无穷多次，其中n≥3为自然数．1979年，E.Mues证明了n=2时亦有与Hayman相同的结论。但E.Mues得到的是一个定性的结果。后来，张庆德得到了一个定量的结果。在本章中我们把E.Mues和张庆德的结果关于函数的一阶导数推广到了一般的k阶导数，得到如下的结果： “设，f(z)是开平面上的超越亚纯函数， k是一正整数，则 第四章，我们研究Circle Packing理论．该理论是近二十年来新兴的一个复分析方向的分支，它最原始的想法是由Thurston在1985年提出．在本章中，我们考虑用椭圆去填充一个有界单连通区域，得到了一列定向同胚映射。我们证明了这列同胚映射逼近一个从单连通区域到单位圆的拟共形映射。并且证明了当椭圆的长轴与短轴之比趋于无穷时，相应的拟共形映射的复伸缩商趋于1.在4.5节，我们运用Circle Packing理论中的方法和技巧，对单复变函数论中经典的Schwarz引理给出了一个新的证明，并且把Schwarz引理的结论推广到了亚纯函数和多连通区域的情形．同时，我们还给出—个例子说明我们定理中的条件是必要的。