不定方程是一个古老的丢番图问题,特别是应用初等方法去解决不定方程的有关问题更是不宜;许多解法很简单也易看懂,但却不宜想到。不定方程又称为丢番图方程,是数论的重要分支学科,是历史上最活跃的数学领域之一。1980年,著名的数学家柯召和孙琦在我国出版了第一部专门研究不定方程的专著《谈谈不定方程》(上海教育出版社)。在这两部专著的基础上,曹珍富于1987年完成了全面总结与系统研究不定方程的成果和方法的手稿《丢番图方程引论》,并于1989年由哈尔滨工业大学出版社出版。最近十余年,不定方程不仅自身的发展异常活跃,而且全面应用于离散数学的其他各个领域。 初等数论曾经有过辉煌的历史,许多被喻为数学“皇冠”的世界著名难题如歌德巴赫猜想,费马大定理等都是初等数论问题,后来曾有过一段时间的沉寂。因为许多人认为它是数学中的“贵族”,虽然高贵但没什么实际用途,有人甚至认为它仅仅是一种思维体操,但随着计算机的飞速发展,初等数论的重要性日益显示出来。由于它在计算机科学、组合数学、代数编码,信号的数字处理等领域有着广泛的应用,所以数论又成为现代数学界的热门课题。 本文通过对一次不定方程(一次线性不定方程)、二次不定方程(pell方程的综合)、三次不定方程(x~3+y~3+z~3=3)、高次不定方程(简介费马大定理)的研究,我们可以对不定方程有一个初步的认识,同时对柯召、孙琦合著的《谈谈不定方程》一书中的不定方程x~3+y~3+z~3=3作过探讨,(其中Diophantine方程 x~3+y~3+z~3=3的整数解问题仍是遗留问题之一,在杨仕椿所著的《15个著名的不定方程问题》一文中,x~3+y~3+z~3=3的整数解问题也被列在其中),作者在探讨这个问题时,希望作出一定的推进和有益的探索,其中证明在两个未知数相等的前提下,在一定范围内没有整数解。这些问题的解决对数论中解决其它不定方程有一定的帮助和借鉴作用,对不定方程体系的了解有一定的贡献。