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本学位论文的研究内容隶属于凸几何泛函分析理论，致力于研究Lp-Brunn-MinkOwski理论中的函数不等式和极值问题本文主要利用Lp-Brunn-MinkOwski理论的基本概念，基本知识和积分变换的方法，研究Lp-空间中凸体几何的理论，几何体的度量不等式和极值问题本文第二章的主要内容是针对Brunn-MinkOwski理论中一个重要而不可缺少的组成部分一Aleksandrov体，进行了系统而全面的研究.Aleksandrov体主要是为用于解决Minkowski问题而提出的，它利用凸体的支撑函数，建立了包含原点的凸体和单位球面上的正连续函数间的关系，且利用这个正连续函数来刻画凸体我们首次提出了Aleksandrov体的Lp-形式一p-Aleksandrov体.一方面，我们不仅研究了Aleksandrov体和p-Aleksandrov体的性质，建立了与函数f相关的Aleksandrov体的Brunn-Minkowski不等式和Lp-MinlkOWski不等式，而且在此基础上，对刻画Aleksandrov体的正连续函数f做了深刻而细致的研究，得到其函数等价的一系列相关形式另一方面，我们建立了关于p-Aleksandrov体和Aleksandrov的Lp-Brunn-Minkowski不等式同时，我们还给出了与函数，相关的Aleksandrov体的KneserSiss不等式的Lp-形式作为这些不等式的应用，我们证明了Aleksandrov体的函数收敛性本文第三章的主要内容是研究了R3中一类特殊的关于原点对称的凸体的Mahler体积寻找关于凸体的Mahler体积的下界依然是凸几何泛函分析理论中一个重要的公开问题我们给出了R3中广义的圆柱体的定义，相应的，给出了旋转体和广义的双锥的定义由此，根据Lp-空间理论的基本知识，我们证明了：在广义的圆柱体中，立方体有最小的Mahler体积，圆柱体有最大的Mahler体积同时，我们也得到了通过旋转R2中的单位圆盘所得的旋转体的Mahler体积本文第四章和第五章的研究内容主要是对偶Lp-Brunn-Minkowski理论中基础理论的研究.在第四章中，我们对Lp-理论中p=0这一特殊情况进行了研究我们定义了对偶0-加的径向组合，从而得到一类新的星体，并研究了其相应的性质在此基础上，我们建立了Lp-对偶混合体积的积分表达式，进而研究其相关性质，证明其有界性定理和收敛性定理，且得到了Minbwski不等式在第五章中，我们定义了一类新的Lp-对偶混合均质积分我们不仅研究它的性质，给出它的积分表达式，而且建立了Lp-对偶混合均质积分的Minkowski不等式和Brunn-MinkOwski不等式同时，在Lp-仿射表面积和Lp--对偶仿射表面积概念的基础上，通过引入i-次Lp-混合仿射表面积的定义，我们给出了一类新的Lp-对偶混合仿射表面积的定义，推广了Lutwak关于混合仿射表面积的一系列结果，建立了相关不等式