【摘 要】
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在抛物方程的研究中,人们考虑的边界条件主要有Dirichlet边界条件、Neumann边界条件、预定夹角边界条件以及斜导数边界条件等,进而研究方程在这些边界条件下解的相关性质.本文主要研究了在R2中具有不同的斜导数边界值条件的平均曲率流方程解的长时间存在性和收敛性,推广了在Neumann边界条件和预定夹角边界条件下的情况.本文内容结构安排如下:第一节,引言,主要介绍与“平均曲率”有关的方程背景、研
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在抛物方程的研究中,人们考虑的边界条件主要有Dirichlet边界条件、Neumann边界条件、预定夹角边界条件以及斜导数边界条件等,进而研究方程在这些边界条件下解的相关性质.本文主要研究了在R2中具有不同的斜导数边界值条件的平均曲率流方程解的长时间存在性和收敛性,推广了在Neumann边界条件和预定夹角边界条件下的情况.本文内容结构安排如下:第一节,引言,主要介绍与“平均曲率”有关的方程背景、研究历史以及得到的主要结果;第二节,列出一些符号和相应的预备知识,为后面的证明做准备;第三节,讨论具有齐次斜导数边值条件的平均曲率流解的ut估计和C1估计,证明方程解的存在唯一性,利用Schauder理论和先验估计的理论证明定理1.2,得到解的渐近性结果;第四节,讨论在推广预定夹角边界条件下平均曲率流解的ut估计和C1估计,完成定理1.3和定理1.4的证明.本文主要结果如下:定理1令Ω是R2中有界的严格凸区域且（?）Ω∈ C3,则存在唯一的λ1∈R,使得如下问题存在唯一解ω1∈C2,α（Ω）,其中β是沿（?）Ω的光滑向量场,并且问题（1.1）的解ω1在相差一个常数的意义下是唯一的.在定理1椭圆方程的基础上,讨论相应的抛物方程,得到解的收敛性结果.定理2令Ω是R2中严格凸的有界区域且（?）Ω∈ C∞,则问题（1.2）的唯一的光滑解u（x,t）收敛于λ1t+ω1,其中（λ1,ω1）是问题（1.1）的某一个解.在定理1和定理2的基础上,下面考虑当曲面的法向与区域的单位向量β在预定夹角α的条件下更一般的问题.定理3令Ω是R2中有界的严格凸区域且（?）Ω∈ C3,则存在唯一的λ2 ∈R,使得下述问题存在唯一解ω2∈C2,α（Ω）,其中α（π/3<α<π/2）为常数,固定θ（0<θ<π/12）为常数,θ表示β与单位内法向量N的夹角,进一步得到问题（1.3）的解ω2在相差一个常数的意义下是唯一的.定理4令Ω是R2中严格凸的有界区域且（?）Ω∈ C∞,则问题（1.4）的唯一光滑解u（x,t）收敛于λ2t+ω2,即其中（λ2,ω2）是问题（1.3）的某一个解,α和θ的取值范围同定理3.
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