这篇论文主要研究如下Sturm-Liouville边值问题解的存在性与多解性:{-u"(t)=f(t,u(t)),t∈[0,1],(1.1)u(0)=u(0),u(1)=-u(1),其中f∈C1（[0，1]×R1，R1）.　　本文由三章构成，第一章为引言;在第二章，我们介绍了一些预备知识，以及证明我们的主要结果用到的一些引理、定理;在第三章，我们给f加上一些条件，得到了问题(1.1)至少有一个非平凡解，有限多个解以及无限多个解的存在性定理.　　目前，国内外学者对于微分方程Dirichlet边值问题、周期边值问题、Neumann边值问题解的存在性、多解性、正解和变号解等问题获得了大量好的结果，见[1，4，5，9，12，19，21，38，52].微分方程Sturm-Liouville边值问题解的存在性与多解性，越来越受到国内外人们的关注，许多作者已利用拓扑度理论、不动点指数理论等方法对二阶Sturm-Liouville边值问题进行了广泛研究，获得了正解的存在性和多解性.但是用临界点理论来研究Sturm-Liouville边值问题的还比较少，用Morse理论研究的更少.例如对于该方法，已有不少作者作了应用，但主要以椭圆型边值问题为例，如[2,3，11].在[2，3]中，作者用变分方法把方程的解转化为泛函的临界点，在[11]中，他们都得到了比用传统的拓扑度理论如[4，5，6，7，8，9]更好的解的存在性结果.　　首先，我们用文章[12]中的方法将问题(1.1)转化为积分方程.然后运用Morse理论，在跨特征值的情形下，我们得到了问题(1.1)非平凡解的存在性.这用普通的不动点指数理论和临界点理论是很难得到的.同时，我们给f加上一些条件，运用Morse理论，获得了问题(1.1)多解的存在性定理.我们的方法不同于以上文章.　　下面，我们介绍本文主要结果.　　定理3.1.假设μ(∈){μk}∞1，且条件　　(H1) lim|x|→∞f(t，x)/x=μ关于t∈[0，1]是一致的;　　(H2)f(t,0)=0,fx(t,0)=η,t∈[0,1];　　(H3)存在μn∈{μk}∞1，使得或者η＜μn＜μ或者μ＜μn＜η成立.则问题(1.1)至少有一个非平凡解.　　定理3.2.假设条件　　(H4)存在n∈N，使得μn＜fx(t,0)＜μn+1,t∈[0,1];　　(H5)存在i∈N，使得μi＜f∞(t)＜μi+1，t∈[0，1]，其中f∞(t)=lim|x|→∞fx(t，x)关于t∈[0，1]是一致的.若|n-i|≥2m，则问题(1.1)至少有两个非平凡解.　　定理3.3.假设f满足条件(H4)和条件　　(H6)存在a，b∈R1且a＜μ1/2，使得F(t,x)=f(t,y)dy≤ax2+b,(t,x)∈[0,1]×R1.则问题(1.1)至少有三个解.　　定理3.4.假设:　　(H7)存在v＞2，M＞0，使得0＜vF(t，u)≤uf(t，u)，|u|≥M，t∈[0，1].　　(H8) f(t，u)关于u是奇的，即f(t，-u)=-f(t，u)，（t，u）∈[0，1]×R1.则问题(1.1)有无穷多对解.　　定理3.5.假设f满足条件(H4)和(H7).则问题(1.1)至少有一个非平凡解.