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本文主要考虑如下椭圆方程(P)(公式略)
其中Ω是RN中一个有界光滑区域,N≥1，p＞1，λ是一个实数，f，g:Ω×R→R
关于t是局部Lipschitz函数并对于所有x∈Ω，t∈R和某一常量C＞0满足|f(x,t)|≤C(1+|t|q-1)和|g(x，t)|≤C(1+|t|q-1)，
其中p≤q＜p*并且当N＞p时p*=Np/N-p，当N≤p时p*可以取任意实数.此外，△p是p-Laplace算子，即△pu=div(|▽u｜p-2▽u)且我们假定f(x，0)=g(x，0)=0.本文的主要结果如下：定理1假设(1)式成立且假定(f1)f(x，t)t≥0，以及f(x，t)在无穷远处是超线性的，即(公式略)
对x∈Ω一致成立，(f2)存在θ≥1使得对所有x∈Ω，t∈R和所有s∈[0，1]都有θ(￡)(x，t)≥(￡)(x，st)，其中(￡)(x，t)=f(x，t)t-pF(x，t),F(x，t)=∫t0f(x，s)ds，(f3)存在ρ＞0和(-λ)∈(λ1,λ2)使得对所有x∈Ω和|t|≤ρ都有λ1|t|p≤pF(x，t)≤(-λ)|t|p，
其中λ1和λ2分别是算子-△p在W01,p(Ω)中从属于Dirichlet零边值条件的第一个和第二个特征值，
(f4)对于所有x∈Ω以及t∈R且t≠0都有g(x，t)t≥pG(x，t)＞0，并且存在一个正的常量M使得对于所有x∈Ω和所有t∈R都有g(x，t)t-pG(x，t)＜M，其中G(x，t)=∫t0g(x，s)ds.则存在一个正的常量γ使得对于所有0≤λ＜γ问题(P)在W01,p(Ω)中存在一个非平凡弱解.
定理2假设(1)，(f1)，(f2)和(f4)成立且极限(公式略)对x∈Ω一致成立，其中τ(φ)σ(-△p)，σ(-△p)是-△p的谱.则存在一个正的常量γ使得对于所有0≤λ＜γ问题(P)在W01,p(Ω)中存在一个非平凡弱解.
定理3假设(f4)成立以及(f5)(公式略)对x∈Ω一致成立，其中ρ∈R，(f6)(公式略)对x∈Ω一致成立，(f7)pF(x，t)-∫(x，t)t≥δ＞0对所有x∈Ω及t∈R并且t≠0都成立.则存在一个正的常量γ使得对于所有0≤λ＜γ问题(P)在W01,p(Ω)中存在一个非平凡弱解.此外，若在问题(P)中g(x，u)成为g(x)这样的形式且λ=1时，问题(P)就成为(公式略)此时，我们若假定f：Ω×R→R是Carathéodory函数且满足对于所有x∈Ω，t∈R及常量a0，b0＞0都有|f(x，t)|≤a0|t|q-1+b0，
其中0≤q＜p*，p*=Np/N-p若N＞p且p*取任意实数若N≤p.对问题(P)我们有下面的定理：定理4假设(3)式成立以及f(x，t)=o(|t|p-1)当t→0
对几乎所有x∈Ω一致成立，且存在常量μ＞p和r＞0使得对于所有x∈(-Ω)及所有|t|≥r都有0＜μF(x，t)≤tf(x,t)
成立.则存在一个正的常量λ0使得对于所有‖g‖L2(Ω)＜λ0问题(P)在W01,p(Ω)中至少存在一个非平凡解.
定理5假设(3)式和(4)式成立，对于几乎所有x∈Ω存在μ＞N/p(q+1-p)当N＞p(或者μ＞q+1-p当N≤p)和a＞0使得(公式略)成立，以及(公式略)对x∈Ω一致成立.则存在一个正的常量λ0使得对于所有‖g‖L2(Ω)＜λ0问题(P)在W01，p(Ω)中至少存在一个非平凡解.