【摘 要】
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Klein-Gordon方程作为薛定谔方程的一种相对论形式,在数学和物理等方面有着诸多应用.本论文主要研究了弱Galerkin有限元方法对非线性Klein-Gordon方程的数值求解.相较于传统的Galerkin有限元方法,弱Galerkin有限元方法使用离散弱梯度代替经典梯度,在单元内部和边界允许使用间断函数,单元剖分形状可多变,更具有灵活性的优势.本文可主要分为六个部分.第一章我们首先介绍了K
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Klein-Gordon方程作为薛定谔方程的一种相对论形式,在数学和物理等方面有着诸多应用.本论文主要研究了弱Galerkin有限元方法对非线性Klein-Gordon方程的数值求解.相较于传统的Galerkin有限元方法,弱Galerkin有限元方法使用离散弱梯度代替经典梯度,在单元内部和边界允许使用间断函数,单元剖分形状可多变,更具有灵活性的优势.本文可主要分为六个部分.第一章我们首先介绍了Klein-Gordon方程的历史背景,说明了它在非线性动力学研究中的重要地位.其次,我们概述了弱Galerkin有限元方法的基本定义,以及它在各类偏微分方程中的应用.第二章为预备知识,我们主要引入了离散弱有限元逼近空间和离散弱梯度的定义,这使得弱Galerkin有限元方法允许在有限元过程中使用完全不连续的函数.第三章,针对一维非线性Klein-Gordon问题,我们假设非线性项满足Lipschitz连续性条件.并提出了对时间采用向后欧拉离散的弱Galerkin有限元格式,得到了数值格式的误差在能量范数具有最优阶收敛以及在L~2范数下具有次优阶收敛的结论.本文的第四章和第五章,研究了两类特殊的非线性Klein-Gordon方程.它们有如下的一般形式:utt-Δu+αut+δg（u）=f in（?）×(0,T],u（t）=0 on （?）（?）×[0,T],u（0）=φ0,ut（x,0）=φ1 in （?）.我们分析了当非线性项g（u）分别为sinu和|u|γu,0≤γ＜∞时的弱Galerkin有限元方法,并证明得到了非线性项g（u）的Lipschitz连续性.同时,我们提出了对时间采用隐θ格式离散的弱Galerkin有限元方法,得到了数值格式误差关于网格大小h在能量范数下达到最优阶收敛的结论.数值实验结果与理论分析一致.第六章为全文的总结与对未来研究方向的展望.
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