【摘 要】
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带子图可被看作是一个具有图结构的有边界的曲面,是胞腔嵌入图的一种表示形式.部分对偶推广了数学基本概念一胞腔嵌入图的几何对偶,它通过纽结的Jones多项式与图的Tutte型多项式之间建立关系,将纽结理论中各种版本的Thistlethwaite定理统一起来.部分对偶不但是几何对偶的深远扩展,而且在图论,拓扑学和物理学中有重要的应用.本文刻画带子图及其部分对偶的欧拉和偶面图等若干性质.全文共分五章:第一
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带子图可被看作是一个具有图结构的有边界的曲面,是胞腔嵌入图的一种表示形式.部分对偶推广了数学基本概念一胞腔嵌入图的几何对偶,它通过纽结的Jones多项式与图的Tutte型多项式之间建立关系,将纽结理论中各种版本的Thistlethwaite定理统一起来.部分对偶不但是几何对偶的深远扩展,而且在图论,拓扑学和物理学中有重要的应用.本文刻画带子图及其部分对偶的欧拉和偶面图等若干性质.全文共分五章:第一章首先概述本学位论文所研究问题的相关背景、国内外研究现状以及预备知识,然后简单介绍本文的主要结果、主要研究方案及结构安排.第二章首先给出带子图严格的定义和例子,并且说明带子图与胞腔嵌入图的等价性以及相互转换;其次说明在描述几何对偶（胞腔嵌入图的Euler-Poincare对偶）等方面上带子图比胞腔嵌入图优越性的同时给出带子图的公共线段、顶点线段和边线段等本文常用的新概念;再次简约说明胞腔嵌入图部分对偶的重要性;然后给出带子图的箭头标记和带子图部分对偶严格的定义以及带子图部分对偶的基本性质并且利用例子展示带子图中具体求部分对偶的方法.众所周知,一个平图是欧拉图当且仅当它的几何对偶是二部图是图论中的一个经典结论.2013年Huggett和Moffatt两人把这经典结论推广到平图的部分对偶,利用中间图的全十字定向刻画了平图的全部二部图部分对偶,并且指出了刻画平图的全部欧拉图部分对偶是一个公开问题.第三章首先介绍中间图的半十字定向以及确定中间图的半十字定向数目上下确界,然后利用中间图的半十字定向刻画平图的全部欧拉图部分对偶,即解决了 Huggett和Moffatt提出的公开问题.第四章我们将更深入的研究这方面的问题,把这个图论经典结论完整的推广到胞腔嵌入图和嵌入图以及胞腔嵌入图的部分对偶,并且提供两种方法刻画胞腔嵌入图的所有欧拉图部分对偶和偶面图（所有面的度都为偶数的胞腔嵌入图,包含胞腔嵌入二部图）的部分对偶.Robertson-Seymour定理（图子式定理）,即所有图组成的集合对图子式关系构成良半序,是图论中最深刻的结论之一.图子式定理也可以这样陈述:每个图子式封闭图族有有限个禁子式.虽然我们知道每个图子式封闭图族可被禁子式刻画,然而只有非常少的精确的刻画是已知的.最著名的结论就是Wagner定理:一个图G是可平面的当且仅当G没有同构于K5或K3,3的图子式.2016年Chudnovsky等人引入了二部图的一个封闭运算—二部图子式,二部图任何一个二部图子式也是一个二部图,并且给出了 Wagner定理的二部图版本:一个二部图G是可平面的当且仅当G没有同构于K3,3的二部图子式.第五章首先介绍欧拉图子式,欧拉图子式也是欧拉图的一个封闭运算,欧拉图子式把一个欧拉图变成另一个欧拉图,并且以欧拉图禁子式的形式刻画欧拉图和可平面欧拉图;其次给出胞腔嵌入图子式即带子图子式、抽象图子式和带子图子式的区别以及带子图子式与部分对偶的关系,并且介绍Moffatt的用带子图禁子式刻画表示链环的带子图的工作;最后介绍带子图的两种保持带子图的偶面图或欧拉图性质的带子图子式运算,并且用偶面和欧拉带子图禁子式刻画偶面和欧拉带子图以及偶面和欧拉平面带子图.
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