本文共分成四章.　　第一章为引言.主要陈述偏微分方程水平集凸性研究的意义及进展.同时，介绍了本文两主要定理.　　第二章为理论知识.主要介绍了函数凸水平集的相关概念，及函数水平集的曲率矩阵等一些结论，列举了极大值原理的结论.　　第三章是二维情形下，对一类椭圆方程解的定量估计.通过构造辅助函数，利用极值原理来证明结论.　　定理1.1.设n是R2中的有界光滑区域，有u GC4(Q) nC2(Q)且u是椭圆方程　　n中的一个解，其中f(u)是关于u的二次可微函数，设|Vu|=0且u的水平集关于外法向量Vu方向上是严格凸的，k是u的水平集的曲率，则k的极小值在dn上达到.　　第四章是三维情形下，对上述方程解的水平集凸性进行了定量估计.定理1.2.设n是R3中的有界光滑区域，有u G C4(n) nc2(n)是椭圆方程　　在n中的一个解，其中f(u)是关于u的二次可微函数，设|Vu|=0且u的水平集关于外法向量Vu方向上是严格凸的，k是u的水平集的Gauss曲率，则k的极小值在dn上达到.