【摘 要】
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孤立子方程的解不仅深入刻画了孤立子方程的特征,描述了奇妙的非线性现象,而且有助于我们深刻理解孤立子理论的本质特性.因此,对孤立子方程求解的研究是孤立子理论研究领域中
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孤立子方程的解不仅深入刻画了孤立子方程的特征,描述了奇妙的非线性现象,而且有助于我们深刻理解孤立子理论的本质特性.因此,对孤立子方程求解的研究是孤立子理论研究领域中一个非常活跃的课题.此方面的研究出现了许多行之有效的方法,代数几何方法就是其中一种著名的方法,即利用Riemann曲面、Riemann theta函数、反问题等理论来求解孤子方程的代数几何解(也称为拟周期解或有限亏格解),对现代数学和理论物理的发展产生了深刻的影响. 本文主要利用超椭圆曲线理论及代数几何的相关知识,构造了六族有重要物理背景的孤子方程的代数几何解.文中具体探讨的方程族分别是与2×2矩阵谱问题相联系的Kaup-Newell方程族, Heisenberg方程族,耦合无色散方程族, Harry Dym方程族, WKI方程族和Geng方程族. 首先通过孤子方程族的Lax矩阵的特征多项式,定义了一条亏格为的超椭圆曲线然后在此曲线上引入椭圆变量和合适的亚纯函数.利用Lenard递推算的核分别得到了亚纯函数在无穷远点和零点的渐近性质,最后结合这些性质和他们的Riemann theta函数表示,便给出了整个孤子方程族的代数几何解.特别地,在第二、三和四章中我们在Abel-Jacobi坐标下拉直了整族流.
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