经过Nevanlinna [47]卓越的工作之后,值分布理论基本上建立起来。经过长足发展之后,值分布理论成为了复分析领域重要的研究方向之一。尽管值分布理论已经相当完善,但对于一些经典问题的研究仍在继续,而且研究的范围日趋广泛。该理论不断发展,广泛应用到其他的数学领域,如多复变量理论,复微分方程,以及复差分方程等等。亚纯函数唯一性理论主要研究亚纯函数在满足何种条件下,函数唯一的理论。Nevanlinna给出了唯一性理论上的经典的结果,即五值定理以及四值定理。经过上世纪后期几十年的发展,唯一性理论出现了越来越多的分支,比如对亚纯函数和其导数唯一性问题的研究,见[60]对应着亚纯函数与其导数唯一性的问题,Heittokangas [26,27]等人最近开始考虑亚纯函数与其平移的分担值问题。而这方面的研究是基于复差分Nevanlinna理论的确立。其中,最关键的结果是差分上的对数导数引理,Halburd-Korhonen [20,21]和Chiang-Feng [5]分别独立了给出了这个引理的两种表达形式。本文中,我们主要研究亚纯函数与其差分算子分担值的问题,这个问题的研究也是Nevanlinna值分布理论的一个应用。本文的结构如下：在第一章中,做为背景知识,我们回忆了值分布理论中的一些经典结果,以及常用的符号。为了更好的理解第三章到第六章的证明思想,在第二章里,我们介绍了之前相关的结果。在第三章里,我们考虑了一类非线性差分方程超越整函数解存在性的问题。事实上,我们研究的方程与[33,61]中的方程相关。与[33,61]不同的是,我们研究的方程中,微分差分多项式的次数与f的次数相等。我们得到以下结果：定理0.1.假设a,c,λ为非零常数,n和m为整数,且满足n≥m>0,P(z),Q(z)为多项式。若n≥2,则下列差分方程f(z)n+m+λf(z)nf(z+c)m=P(z)eQ(z)+a (0.0.1)不存在有穷级超越整函数解。做为定理0.1的应用,我们研究了整函数多项式的值分布问题。定理0.2.假设f为有穷级超越整函数,a,c为非零常数,n和m为整数,且满足n≥m>0。λ,μ为常数且满足|λ|+|μ|≠0。若n≥2,则f(z)n(λf(z+c)m+μf(z)m)-a有无穷个零点；或者f(z)≡e(?)zg(z),其中t=(?),g(z)为以c为周期的周期函数。对应定理0.2,我们继续考虑f(z)n+μf(z+c)m的值分布问题,其中m≠n。更近一步,在定理0.4中,我们部分的解决了当n=m的情况。定理0.3.假设f为有穷级超越整函数,μ和c为非零常数,a(z)为f的非零小函数。假设n,m为正整数,且满足n>m+1(或m>n+1),则差分多项式f(z)n+μf(z+c)m-α(z)有无穷个零点。定理0.4.假设f为整函数,且f的级满足1≤ρ(f)<∞。设f存在无穷个零点,且其零点收敛指数λ(f)<1。n为正整数,μ,a和c为非零常数满足f(z)n+μf(z+c)n(?)0。则差分多项式f(z)n+μf(z+c)n-a存在无穷个零点。对应第三章,在第四章,我们重点考察了相应差分多项式的唯一性问题。主要结果如下：定理0.5.假设f和g为有穷级超越整函数,c为非零常数,n≥6为正整数。若fnf(z+c)和gng(z+c)分担1 CM,则fg≡t1或者f≡t2g,其中t1和t2分别满足t1n+1=1和t2n+1=1。接下来,我们考察了fnf(z+c)和gng(z+c)分担不动点的情况。定理0.6.假设f和g为有穷级超越整函数,c为非零常数,n≥6为正整数。若fnf(z+c)和gng(z+c)分担zCM,则f≡tg,其中t满足tn+1=1。下面的一个结果,与Zhang[65,Theorem 6]最近的结果相同,但我们采用了不同的证明方法。定理0.7.假设f和9为有穷级超越整函数,c为非零常数,n≥6为正整数。若f(z)n(f(z)-1)f(z+c)和g(z)n(g(z)-1)g(z+c)分担αCM,其中a∈S(f)∩S(g)\{0﹜,则f(z)三9(z)。最近,Heittokangas[26,27]等人证明了有穷级整函数f(z)和f(z+c)分担周期为c的小函数α1 IM和a2 CM,则有f(z)=f(z+c)。在第五章中,我们证明了条件"1CM+1IM"可以被”2IM”取代。同时,我们定义F=fn,考虑了F和F(z+c)分担值的问题。这个问题的研究也可以看做是Briick猜想的差分对应。在最后的一个章节里,我们重新回到微分的情况。考虑了微分多项式分担值的问题,改进了之前的结果。另外,在此章节里,我们还给出了Bruck猜想成立的一种新的情况。