在实际应用中,研究电流变流体,非线性弹性力学,电流变学以及图像恢复等问题时,经典的Lebesgue和Sobolev空间已经不再适用,因为这类问题具有非齐次性,它们是一类带有变指数增长条件的非线性问题。所以这时我们需要在变指数的Lebesgue和Sobolev空间的理论下进行讨论。　　本文主要在变指数的Lp(x)和W1,p(x)的理论下,讨论一类具临界变指数增长椭圆方程的非线性边值问题。　　本文的主要内容分为两部分:　　1.考虑所研究的方程解的存在性。在方程满足假定的条件下,根据山路引理,将分三步完成存在性的证明。首先考虑能量泛函I是否存在(PS)序列,其次,证明(PS)序列是有界的。由于所研究的方程带有临界变指数,因此嵌入W1,p(Ω)→Lp*(x)(Ω)不是紧的,所以最后本文将利用推广的集中紧致性原理和S+型算子的定义,证明出有界的(PS)序列有强收敛的子列。进而能够得到所研究方程的弱解的存在性。　　2.在合适的假定条件下考虑所研究方程解的多重性。首先,利用对称临界点原理,在空间W1,p(x)G(Ω)中考虑能量泛函I的临界点问题,然后利用喷泉定理分三步考虑能量泛函I是否存在一列趋向于正无穷的临界值,从而可以得到方程解的多重性。