【摘 要】
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本文主要研究下面一类稳态形式的非线性薛定谔方程(?)其中λ>0是参数,位势函数V(x)具有双势阱.本文讨论了非线性项f(u)的两种情形:一种情形是f(u)在无穷远处是渐近线性的;另一种情形是f(u)在无穷远处是超线性的,但是不要求满足Ambrosetti-Rabinowitz型超线性条件(简称(AR)条件).在这两种情形下,本文应用约束变分方法和Ekeland变分原理,证明上述方程(P)都存
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本文主要研究下面一类稳态形式的非线性薛定谔方程(?)其中λ>0是参数,位势函数V(x)具有双势阱.本文讨论了非线性项f(u)的两种情形:一种情形是f(u)在无穷远处是渐近线性的;另一种情形是f(u)在无穷远处是超线性的,但是不要求满足Ambrosetti-Rabinowitz型超线性条件(简称(AR)条件).在这两种情形下,本文应用约束变分方法和Ekeland变分原理,证明上述方程(P)都存在最小能量变号解,即方程(P)的所有变号解中能量最小的变号解.本文主要内容包含以下几个部分:第一部分主要讨论方程(P)的研究背景和意义,以及已有的相关文献结果.第二部分介绍文中常用的记号和需要用到的一些基本定义和定理.第三部分主要证明一些必要引理.当非线性项f(u)为渐近线性时,我们不能够直接得到非空的约束集合Mλ.因此,本部分利用位势函数V(x)具有双势阱和构造法来证明约束集合Mλ非空.第四部分提供一种新的方法来处理当稳态非线性薛定谔方程在非线性项f(u)不满足(AR)条件下,应用Ekeland变分原理和隐函数定理证明其最小能量变号解的存在性.第五部分在总结本文内容的基础上,提供了一些开展后续研究的思路.
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