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本文的主要内容可分为两大部分。其一是关于有理数域上的椭圆曲线与整数分解；另一个是虚二次数域上的椭圆曲线与整数分解。在第一部分,我们研究了定义在有理数域上的椭圆曲线E2rD：y2=x3-2rDx及其对偶曲线E’2rD：y2=x3+8rDx,其中D为两个互异奇素数的乘积。在奇偶性猜想下,通过选取参数r∈Z,我们构造了无数多条秩为1且其对偶的沙法列维奇-泰特群(Shafarevich-Tate group)的φ-部分即TS(E’2rD/Q)[φ]平凡的椭圆曲线E2rD,并且证明了我们所构造的椭圆曲线的莫代尔-威伊群(Mordell-Weil group)自由部分生成元的奇数阶点的x-坐标含p,q的阶不同。进一步地,在广义黎曼假设下,可以取到参数r使得r≤clog4D,其中c为某绝对常数。作为它的应用,我们可以通过计算所构造的椭圆曲线的非扭有理点的x-坐标,实现D的分解。在第二部分,我们考虑把利用有理数域上椭圆曲线分解整数的方法推广到虚二次域K上,即将整数分解与椭圆曲线的无限阶K-有理点计算联系起来。作为我们探索的第一步,我们首先考虑奇素数的分解与椭圆曲线的无限阶K-有理点计算问题。基于这种想法,我们研究定义在K=Q((?)),Q((?)),Q((?)),Q((?)),q模8同余3且gcd(p,q)=1等虚二次域上的椭圆曲线Ep：y2=x3+px及其对偶曲线E’p：y2=x3-4px,p为有理奇素数,并根据p在K中分歧情况给出赛莫群的φ(或φ)-部分即S(Φ)(Ep/K)(或S(φ)(E/K))的具体结构。特别地,当K=Q((?)),p满足条件p≡7,11mod16且(p/7)=1时,若Ep/K的秩为1,那么此时莫代尔-威伊群Ep(K)自由部分生成元的奇数阶点的x-坐标含位于p之上的两个素元的阶不同。