在椭圆偏微分方程中,方程解的几何性质一直以来都是人们感兴趣的问题.常秩定理的精妙理论对偏微分方程解的几何性质,尤其是对解的凸性的研究通常具有重要意义.而解的凸性研究中,解的水平集的凸性的研究是最受关注的问题之一.本文分为两个主要部分：一是讨论在二维流形上偏微分方程△u=2的解的某个函数v=g(u)的Hessian矩阵的秩是常数；二是研究在平面区域上高斯曲率流方程平行解的水平集的几何性质.本文的主要定理为：定理1.设Ω为s2中一区域,u∈C4(Ω)满足方程△u=2,令v=-(-u)1/2,若在区域Ω中v的Hessian矩阵是半正定的,即w=：(vij)≥0,则在Ω中此矩阵的秩是常数.定理2.若R2中的区域Ω是有界光滑的,且v∈C4(Ω)n C2(Ω)是方程在区域Ω中的一个解,假设对任意x∈Ω,都有|▽v|≠0,令若对任意的t,水平集rt是严格凸的,则函数是一个凸函数.这里b00是曲线的曲率,h是水平集的支撑函数.