本文主要研究了关于Maass尖形式傅里叶系数在整变量三元二次型中的均值分布。论文主要运用经典圆法与指数和来估计该均值问题的上界,丰富了关于傅里叶系数性质的结果,并对其进一步研究有重要的理论意义。令f是具有拉普拉斯特征值1/4+v²的Maass尖形式。首项系数为1的标准化的f的傅里叶展开式为其中Ks（y）s=1/2+it的K-Bessel函数。关于f的L函数定义为当Re＞ 1时,上述级数是一致收敛的,见[10]。利用K. Chandrasekharan和R.Narasimhan[1]中的定理,我们可以得到在后面的证明中,我们需要利用这个上界。三元二次型m₁²+m₂²+m₃²吸引了很多学者的关注并且得到了广泛的研究。比如,Vinogradov [13]和Chen [2]独立地研究了著名的球体问题并且得到了渐近公式后来,Chamizo [3]和Iwaniec[11]把余项中的指数2/3改进为29/44,Heath-Brown [9]又改进为 21/32。许多学者研究了大量关于三元二次型的问题。其中Calderon和de Velasco[4]研究了关于d（n）的三元二次型的均值问题,并建立了渐近公式令定义最近,Guo和Zhai [7]改进了关于d（n）的三元二次型的均值估计,得到并且Zhao [14]把其中的余项进一步改进为O（x²log⁷ x）。基于上述结论,在本文中,我们研究关于Maass尖形式傅里叶系数在整变量三元二次型m₁²+m₂²+m₃²及四元二次型m₁²+m₂²+m₃²+m₄²中的均值分布。我们通过下面的结论给出它们的上界。定理1.令我们有S₃（X） =O(X^5/2log⁵X).定理2.令我们有S₄（X） = O（X³log⁶X）.为了证明定理结论,我们利用与Zhao[14]相似的方法。事实上,我们要使用Hardy-Littlewood-Kloosterman圆法,同时也需要利用关于λ（n）的Voronoi求和公式。不同的是,这里的J-Bessel函数和K-Bessel函数的渐近公式更复杂,这会使得Maass尖形式的傅里叶系数与指数和的混合估计更加困难。