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本文主要研究有限域运算算法和椭圆曲线数乘运算算法。全文在强调作者所取得研究成果的同时给出了有限域运算理论和椭圆曲线密码体制理论的基本框架。全文共分八章，具体内容如下： 第一章介绍有限域运算，椭圆曲线密码体制及其数乘运算的研究背景、意义和现状，并指出论文的主要研究内容及作者得到的主要研究结果。 第二章给出有限域运算和椭圆曲线密码体制理论的基本知识和相关性质。 第三章研究素数域上取模运算。针对具有特殊形式的模数(如Mersenne数，伪Mersenne数，广义Mersenne数等)，深入分析了其取模运算规律，得到如下结果：对Mersenne数和伪Mersenne数，给出了取模运算转换为模加或模减运算的公式；对模数为任意首一三项式和五项式产生的广义Mersenne数，推导了相应取模运算的复杂度计算解析表达式。根据该表达式，对任意给定的不可约首一三项式和首一五项式，可以根据该多项式的系数分别得出以广义Mersenne数为模数的取模运算所需要的模加法(或模减法)的次数。 第四章研究有限扩域的乘法运算算法。利用广义Mersenne数代替伪Mersenne数，提出了广义最优扩域的概念，并研究其上的快速乘法运算和取模运算，为乘法运算给出了通用的复杂度公式，为取模运算给出了具体的运算公式，推广了Bailey，Mihailescu和Woodbury等在最优扩域上的相应结果。 第五章研究有限扩域的求逆运算算法。深入分析和研究了有限域GF(q)和二元扩域GF(2~m)上的各种求逆运算算法。重点讨论了最优扩域，最优塔域上的求逆算法，并对各种求逆算法的性能进行了分析比较。 第六章研究串、并行正规基乘法器设计算法。基于正规基表示有限域GF(2~m)上元素的方法，以增加异或门(XOR Gates，XG)个数达到减少与门(AND Gates，AG)个数的方式，提出了一个串行乘法器和一个并行乘法器。同时，得到一个Ⅱ型最优正规基乘法器的算法设计，该乘法器要求(2m-2)个XG，m个AG。 第七章研究椭圆曲线数乘运算算法。相同椭圆曲线，采用不同的坐标表示，对应不同的点加公式，不同的点加公式具有不同的计算复杂度。本章分析了不同坐标下点加公式的计算复杂度，并以此为基础，首先分析和比较了数乘运算的点加及倍加方法(add and double methods)，加减方法和窗口方法等三种算法的计算复