上世纪六十年代，在变分原理基础上发展起来的变分不等式(variational inequality,Ⅵ)理论是偏微分方程的一个重要分支，也是应用数学中一个十分重要的研究领域。在工程应用中存在着一类非线性问题，如经典线性弹性力学中各向同性的薄膜在存在障碍情况下，受到外在荷载时的形变问题，可以用关椭圆型变分不等式来描述。此外诸如弹性接触、弹塑性杆自由扭转、流体润滑、多孔介质定常流渗流等问题也具有相同的数学模型[79]，人们通常称这类问题为障碍问题。在这类问题中，控制方程是由线性椭圆算子所决定，但解被限制在Hilbert空间的凸子集而非子空间上，这就使得其相应的变分原理表现为一种非线性的变分不等式。本文研究这样一类椭圆型变分不等式的数值方法。我们共提出了三种数值方法：无网格方法，修正的水平集方法及基于分片线性系统的迭代方法。其中无网格方法是应用到一类单侧障碍问题，而后两种方法是用于求解双侧障碍问题。　　 本文共包含四章内容。在绪论部分，我们简单介绍了障碍问题的背景及相关结论。　　 在第二部分，我们讨论了障碍问题的无网格数值方法。在障碍问题中，由于接触区域和非接触区域之间的界面的位置和形状事先未知，是自由边界问题[79]。在运用无网格方法中的基本解法(method of fundamental solution，MFS)[5]求解单侧障碍问题时，我们给定边界的初始猜测Γ0，即反映边界的参数{Rκ}后，利用MFS思想得到未知位移函数u(x，y)的基于基本解的逼近形式，根据边界条件确定其中的组合系数，进而建立能量泛函E(u)关于自由边界参数{Rκ}的表达式。根据障碍问题的物理意义，求解能量泛函的极值点Rκ，即真实的自由边界。整个过程通过Uzwa迭代过程完成。在迭代过程中，我们利用了Tikhonov正则化方法[35]求解关于组合系数{lκ}的病态的线性方程组；在将能量泛函的约束优化问题转化为无约束优化后，我们利用最速下降方数值求解，其中迭代步长ακ，我们利用Armijo[102]非精确搜索确定之。在求解障碍问题时，涉及到如何对多连通区域配置源点和配置点使得数值解的误差有较高的收敛阶问题，这个问题无法从理论上给出合理的指导，在本文中，我们采用了常用的方法设置内外虚拟边界后等角度配置源点和配置点[66]。数值例子验证了MFS高精度及高的计算效率。上述内容为文章的第二部分。　　 在文章的第三部分，我们利用一种修正的水平集方法求解双侧障碍问题。水平集方法[76]将界面保持为隐函数在零水平截面上的点集，这种隐函数表达的好处在于可以将界面的拓扑结构变化表示为一个连续变化曲面（线）与一个高度为零的平面（直线）的交集。这样处理的最大好处是即使隐含在水平集函数中的封闭曲线发生了拓扑结构变化（合并或分裂），水平集函数仍然保持为一个有效的函数，并且存在稳定的解。对不断发生拓扑奇异的自由边界追踪问题，传统的水平集方法就是在初始条件ψ(x，0)=ψ0(x)下求解的Hamilton-Jacobi方程ψt+F|▽ψ|=0。一般而言，我们要求水平集函数必须具备一定的光滑性，而在水平集函数的演化过程中水平集会发生振荡而失去光滑性，从而导致计算结果产生较大偏差，因此演化化过程中需要不断地重新初始化。此外，速度F一般而言只在零水平集上有定义，而在其他水平集上可能没有定义，因此，需要将其延拓到整个区域中。K. Majava和X．C.Tai在文献[62]中提出一种修正的水平集方法求解单侧障碍问题。在这种修正的水平集方法中，水平集函数不仅可以表示自由界面，而且可以用来表示表达薄膜位移函数，即变分不等式的解。在求解过程中不需要重新初始化及作速度延拓。我们将这种修正的水平集方法推广到双侧障碍问题，即引入和水平集函数ψ∈H(10)(Ω)相关的Heaviside阶梯泛函H(ψ)并将其光滑化为H∈(ψ)，在此基础上，可将双侧障碍问题的解表示为　　 u(x，y)=Ψ(x，y)+(ψ(x，y)-φ(x，y))H（ψ-1）　　 +ψ(x，y)(φ(x，y)-ψ(x，y))[H（ψ)-H（ψ-1）]．为了避免最速下降方法中搜索迭代步长α困难或取某个固定步长的局限，我们结合水平集方法的思想，给出一种新的求解水平集函数的方法。其主要思想就是引入时间变量t∈R+={t|t≥0}，将迭代求解无约束优化问题看作是目标泛函随着时间单调递减过程。建立关于水平集函数的常微分方程的边值问题后，我们利用常微分方程数值方法中的Runge-Kutta方法求解[103]。由于不需要计算搜索方向和搜索步长，其计算效率比[62]中的最速下降法高，给出的数值例子也验证了这一点，同时也避免了[62]中通过试探后取固定搜索步长的不合理性。　　 文章的最后，我们利用有限维变分不等式问题与非线性互补问题[41]的等价性，将双侧障碍问题表达为分片线性形式后给出了一种迭代方法对其求解。我们证明了分片线性系统的解的存在唯一性。该迭代方法包括两个过程，利用活动集方法(active set method)[46]确定节点指标集N的分解及求解相应的指标集