【摘 要】
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本文主要完成了在流体力学中应用广泛的一类高阶非线性薄膜方程的李对称群分析,得到了方程的不变群、最优系统以及一些具有特定物理意义的相似解；此外利用不变子空间方法还研究了具有一般形式的三阶非线性微分算子及带有对流项和源项的非线性交叉扩散方程组,得到了它们在各自所容许的不变子空间中的完全分类.所作的工作具体如下：1.运用经典李群方法研究了2m阶非线性薄膜方程,得到相应的李点对称群、优化系统和群不变解,然
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本文主要完成了在流体力学中应用广泛的一类高阶非线性薄膜方程的李对称群分析,得到了方程的不变群、最优系统以及一些具有特定物理意义的相似解；此外利用不变子空间方法还研究了具有一般形式的三阶非线性微分算子及带有对流项和源项的非线性交叉扩散方程组,得到了它们在各自所容许的不变子空间中的完全分类.所作的工作具体如下：1.运用经典李群方法研究了2m阶非线性薄膜方程,得到相应的李点对称群、优化系统和群不变解,然后对一些特定类型的不变解给出了物理解释.2.利用不变子空间方法研究了具有最一般形式的三阶非线性微分算子包括三个方面：首先证明了如果三阶非线性算子F在它所容许的最大维子空间W7上保持不变,则算子F是u以及u关于x的各阶导数的平方形式,并利用不变子空间方法对常系数三阶非线性平方算子在它所容许的最大维不变子空间上进行分类；进一步考虑三阶非线性算子F在它所容许的次于最大维子空间即W6上的分类问题；最后,讨论并给出了容许更低维不变子空间Wn（n=3,4,5）的三阶非线性平方算子的分类定理.3.进一步推广不变子空间方法,将它用于带有对流项和源项的非线性交叉扩散方程组的分类.在这些方程组中,向量微分算子（F1,F2）容许不变子空间Wn11×Wn22,且由下面的常系数线性常微分方程组定义,其中2,得到了方程组在不变子空间中的大量分类结果.
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