一、选择题
　　1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其中尺寸分成若干组，
　　［a，b］是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a－b|等于（ ）
　　（A） hm （B）hm
　　（C）mh（D）与m，h无关
　　2．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量
　　m
　　＝(a，b)，n
　　＝（1，－2），则向量m
　　与向量n
　　垂直的概率是（ ）
　　（A）16（B）
　　112
　　（C）19（D）
　　118
　　3．有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( )
　　（A）C14C28C312C416C1040
　　（B）C24C18C312C416C1040
　　（C）C24C18C112C416C1040
　　（D）C14C38C412C216C1040
　　4．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人为( )
　　（A） 81（B） 152
　　（C） 182（D） 202
　　5．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是( )
　　（A）35 （B）
　　310
　　（C）23（D）2750
　　6．2009年的2月有28天，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31天，其余月均有30天，若从12个月中随机抽取3个月，恰有一个月有30天的概率是（ ）
　　（A）722
　　（B）
　　2855
　　（C）2155
　　（D）
　　12
　　7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ）
　　（A） 151（B）168
　　（C）1306（D）1408
　　8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为( )
　　（A） 1（B） 2
　　（C） 3（D） 4
　　9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的期望为2，则2a＋13b的最小值为( )
　　（A）323 （B）283
　　（C）143 （D）163
　　10．图1中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是( )
　　（A）445 （B）136
　　（C）415 （D）815
　　11．已知随机变量X分布列如下表(n∈N*)：
　　则表中x为( )
　　（A）1n(n＋1)（B）1(n－1)(n－2)
　　（C）1n（D）1n＋1
　　12．已知一组函数y＝2sin(ωx＋
　　φ
　　)(ω＞0，0＜φ≤2π)，其中ω在集合{2,3,4}中任取一个数，φ在集合{π3，π2，
　　2π3
　　，π，4π3，
　　5π3，2π}中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后得到函数y＝2sinωx的图象的概率是( )
　　（A）821 （B）13
　　（C）4105 （D）130
　　二、填空题
　　13．已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均数是
　　14．某校高中研究性学习小组对本地区2006年至2008年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图2），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭
　　万盒．
　　15．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其他得分情况），则ab的最大值为
　　．
　　16．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知
　　a2=2a1
　　，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为
　　．
　　三、解答题
　　17．某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A`、B两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题.若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为
　　12，13.问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大？说明理由.
　　18．将两颗骰子先后各抛一次，a，b表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.(Ⅰ)若点(a，b)落在不等式组
　　 x＞0
　　y＞0
　　x＋y≤4表示的平面区域内的事件记为A，求事件A的概率；(Ⅱ)若点(a，b)落在直线x＋y＝m上，且使此事件的概率最大，求m的值.
　　19．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝710．(Ⅰ)求文娱队的人数；(Ⅱ)写出ξ的概率分布列并计算Eξ．
　　20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.
　　（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
　　（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？
　　（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ.
　　21．某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是
　　45和34.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.
　　(Ⅰ)求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；
　　(Ⅱ)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；
　　(Ⅲ)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.
　　22．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.
　　参考答案
　　
　　 一、选择题
　　1．(C) 解析:频率分布的直方图中频率组距＝高度，所以|a－b|＝mh.
　　2．(B) 解析：掷骰子是独立事件，因为
　　m
　　•
　　n
　　＝a－2b＝0，所以a＝2b，a＝2，4，6，b=1，2，3，所求概率为112.
　　3．(A) 解析：依题意，各层次数量之比为4∶3∶2∶1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个.
　　4．(C) 解析：设总共有x人教师，由于抽样采用的是系统抽样，所以每一层次抽到的概率是相等的，所以可得
　　x－26－104x＝1656，解得x＝182.
　　5．(C) 解析：设事件A：从0到10岁，事件B：10岁到15岁，A与B互斥，C：0到15岁，所以P(C)＝P(A)•P(B)，所以P(B)＝0.60.9＝23.
　　6．(B) 解析： 3个月中恰有1个月有30天的情况有两种：①两个月31天，1个月30天；②31天，30天，28天，各有1个月，故所求概率
　　P=
　　C27C14+C17C14C11
　　C312
　　=2855
　　.
　　7．(B) 解析：古典概型问题，基本事件总数为
　　C318＝18×17×163×2×1＝17×16×3，能组成以3为公差的等差数列有(1，4，7)、（2，5，8）、…、（12，15，18）共12组，因此概率P＝
　　1217×16×3＝168.
　　8．(D) 解析：由题意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不需要直接求出x、y，只要求出｜x－y｜，设x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4.
　　9．(D) 解析：由题3a＋2b＝2，其中0＜a＜23，0＜b＜1，所以2a＋
　　13b＝3a＋2b2•(2a＋13b)＝3＋
　　13＋2ba＋a2b≥103＋2＝
　　163.(当且仅当a＝2b＝12时取等号)．
　　10．(D) 解析：将六个接线点随机地平均分成三组，共有
　　C26C24C22A33＝15种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有C14•C12•C11＝8种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是815.
　　11．(C) 解析：根据分布列的性质：x＝1－
　　［P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n－1)］＝1－［11•2＋12•3＋…＋1(n－1)n］＝1－［(1－
　　12)＋(12－
　　13)＋…＋(1n－1－
　　1n)］＝1n.
　　因为n∈
　　N*，所以表格中概率P(X)均为非负，满足分布列的第一条性质：Pi≥0，i＝1，2,…,n.
　　12．(C) 解析：这一组函数共有3×7＝21个，从中任意抽取2个共有C221=210种不同的方法，其中从这些函数中任意抽取两个，向右平移
　　π6
　　个单位得到函数y＝2sinωx的图象有三种情形，则有
　　C22＝3种取法；向右平移π3个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有三种情形，则有C23＝3种取法；向右平移
　　π2个单位得到函数y＝2sinωx的图象有两种情形，则有C22＝1种取法；向右平移
　　23π
　　个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有两种情形，则有
　　C22＝1种取法；故所求概率是3＋3＋1＋1210＝4105.
　　二、填空题
　　13．3a＋2 解析：因为
　　1n
　　∑ni=1
　　xi=a,所以1n
　　∑ni=1
　　(3xi+2)=
　　1n
　　［∑ni=1
　　(3xi)+∑ni=12］
　　=1n
　　［3∑ni=1xi+2n
　　］
　　=3•1n
　　∑ni=1
　　xi+2=3a+2.
　　
　　14．85 解析：每年平均销售盒饭为
　　13(30×1＋45×2＋90×1.5)＝85(万盒).
　　15．16 解析：由已知得3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，所以ab＝16•3a•2b≤16(3a＋2b2)
　　=16.
　　16．160 解析：直方图中，所有矩形面积之和为1，等差数列公差为a1，等差数列各项和为10a1＝1，所以a1＝0.1，最大的矩形为0.4，频数为400×0.4＝160.
　　三、解答题
　　17．解:设先答A、B所得奖金分别为ξ和η，则
　　P(ξ＝0)＝1－12＝12，P(ξ＝a)＝12(1－
　　13)＝13，P(ξ＝3a)＝12×13＝16，所以Eξ＝56a.
　　P(η＝0)＝1－13＝23，P(ξ＝2a)＝13(1－12)＝16，P(ξ＝3a)＝13×12＝16，所以Eη＝56a.
　　由此知，先答哪题获奖金的期望一样大.
　　18．解：(Ⅰ)x＋y＝4上有3个点，x＋y＝3上有2个点，x＋y＝2上有1个点，事件总数为
　　36，
　　故事件A的概率为636
　　=16
　　.
　　(Ⅱ)当点P(a，b)落在直线x＋y＝m上，所以a＋b＝m，
　　当a＋b＝2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12时，点P(a，b)的个数分别为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，所以当a＋b＝7时事件的概率最大为16，所以m＝7.
　　19．解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．(Ⅰ)因为P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝710，
　　所以P(ξ＝0)＝310，即
　　C27-2x
　　C27-x=
　　310,
　　所以(7－2x)(6－2x)(7－x)(6－x)＝310，解得x＝2，故文娱队共有5人．
　　(Ⅱ)ξ的概率分布列为
　　P(ξ＝1)＝C12C13C25＝35，P(ξ＝2)＝C22C25＝110，所以Eξ＝0×310＋1×35＋2×110＝45．
　　20．解:(Ⅰ)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2，
　　由题意得：
　　 P1•(1－P2)＋P2•(1－P1)＝512
　　1－(1－P1)(1－P2)＝1112
　　，[JB)]
　　解得P1＝34，P2＝23或P1＝23，P2＝34，
　　所以P＝P1P2＝12，即一个零件经过检测为合格品的概率为12.
　　(Ⅱ)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C45(
　　12
　　)4－C55(12)5＝1316.
　　(Ⅲ)依题意知ξ～B(4，12)，Eξ＝4×12＝2，Dξ＝4×12×
　　12＝1.
　　21．解:(Ⅰ)记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，
　　P(A1)＝1－A1[TX-]＝1－(45)3＝61125.
　　(Ⅱ)记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则
　　P(A2)＝C23(45)2
　　(1－45)＝48125，P(B1)＝C23(45)2(1－45)＝C13•34•(1－34)2＝964.
　　所以P(A2B1)＝P(A2)•P(B1)＝48125×964＝27500
　　两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为27500.
　　(Ⅲ)记“乙恰好测试4次后，被撤销上岗资格”为事件A3，P(A3)＝(34)2•(14)2＋14•34•(
　　14)2＝364.
　　22．解：用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，
　　且P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.
　　（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是1－P(
　　)＝1－P([AKA-])P([AKB-])P([AKC-])＝1－(
　　12)3＝78.
　　（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3.
　　P(ξ=0)=
　　P([AKA-]B[AKC-])
　　+P()+
　　P()
　　=P([AKA-])P(B)P([AKC-])+
　　P([AKA-])P([AKB-])P(C)
　　+P
　　([AKA-])P([AKB-])P([AKC-])=
　　(12
　　)3+
　　(12
　　)2+(12
　　)3=
　　38.
　　P(ξ=1)=P(A[AKB-]C)+
　　P(AB[AKC-])+
　　P(A)
　　=P(A)P([AKB-])P(C)+P(A)P(B)P([AKC-])+
　　P(A)P([AKB-])P([AKC-])=
　　(12
　　)3+
　　(12)3+
　　(12)3=
　　38.
　　P(ξ=2)=P([AKA-]BC)=P([AKA-])P(B)P(C)=
　　18.
　　P(ξ=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=
　　18.
　　山东省枣庄第二中学（277400） 杨 静