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【摘 要】本文主要介绍牛顿迭代法及不同的改进迭代格式的收敛性，并进行了比较分析，阐明在不同条件下迭代格式和收敛性的优缺点及收敛效率。
【关键词】牛顿法 改进迭代格式 收敛阶 收敛效率
一、基本内容回顾[经典牛顿迭代法（CN）]
牛顿法的基本思想是在目标函数的极小点的近似点附近将二阶泰勒展开，用展开的二次函数去逼近，将这个二次函数的极小点作为的一个新的近似点。用一系列二次函数的极小点去逼近的极小点。
设二阶连续可微，是的一个近似点。由泰勒公式有：
取前面两项近似的代替有：若，则存在，由此解出就是二次函数的极小点。
即，（1） 我们将作为的一个新的近似点。给定的初始近似点后，迭代点列由公式（1）产生。称公式（1）为牛顿迭代公式，相应的算法称为牛顿法。牛顿法是局部收敛的且具有二阶收敛速度。二次收敛到单根，线性收敛到重根。
二、牛顿法的几种改进格式效率指数及收敛阶判断准则
为了研究几种改进格式的收敛速度和效率指数，引进如下两个概念：定义1设序列收敛于极限，如果存在常数和，使，则称的收敛阶数为，称为收敛因子，也称为渐进误差常数。特别，当时称线性序列收敛于极限，时是超线性收敛，时称为平方收敛。越大，收敛速度越快。定义2设迭代序列收敛阶数为，每次迭代的计算量为，则称为迭代序列的效率指数。
三、效率指数
算法 收敛阶 每次迭代计算量 效率指数
经典牛顿法（CN） 2 2n 0.347/n
牛顿类迭代法 2 2n 0.347/n
修正牛顿法 3、5 3n 0.3662/n
弦截法 1.618 2n 0.2406/n
改进弦截法（PC） 2.618 4n 0.2406/n
二次插值迭代格式 1.839 3n 0.231/n
推广的牛顿迭代法 3 3n 0.3662/n
HN法和MN法 3 3n 0.3662/n
SN法 3 4n 0.2747/n
GN法 3 3n 0.3662/n
AM法 6 5n 0.384/n
四、结论
经典牛顿算法收敛速度快，格式简单，效率较高，但是这个苛刻条件限制了它的使用，牛顿类迭代法产生的迭代序列比牛顿法有更高的精度，弦割法和牛顿迭代法的P. C.格式的效率一致的，因此，牛顿迭代法的P.C.格式并没有对弦割法起到优化的作用。利用抛物插值多项式推出的迭代格式（即二次插值迭代格式）的计算效率最低，从而计算量最大.推广的牛顿法、牛顿迭代法的效率较高，但是它们有个共同的缺点是都要计算导数，如果函数的导数非常复杂或求导非常的麻烦的时候，这两种方法的计算量就会大大增加，它的优势就体现不出来了，这种情况下我们可以用弦割法和牛顿迭代法的P.C.格式。HN算法对初值的要求高，而对其它函数不是很敏感，SN算法和GN算法，GN算法较优，它对不同的初始值，迭代次数不会剧烈变化。AM算法总体上比CN算法和GN算法的迭代次数少，计算的函数个数少，收敛性好，收敛速度快。
参考文献：
[1]朱静芬，韩丹夫.“牛顿类”迭代的收敛性和误差估计[J].浙江大学学报理学版，2005.11。
[2]肖光强，方壮，余显志.对牛顿迭代法条件的一个改进[J].湖北民族学院学报（自然科学版），2008.4.
[3]苏岐芳.五阶收敛的牛顿迭代改进法[J].河南师范大学学报（自然科学版）2009.7（4）22-24.
[4]于明明， 吴开谡， 张 妍.牛顿迭代法与几种改进格式的效率指数[J].数学的实践与认识，2008.9.
[5]白晓燕，李炜，陈红.一个新的六阶收敛牛顿法[J].杭州电子科技大学学报，2009.6：80-83.
作者简介：
马辉，男，1981-，讲师，主要从事计算数学研究。
项目来源：吉林农业科技学院青年基金项目
【关键词】牛顿法 改进迭代格式 收敛阶 收敛效率
一、基本内容回顾[经典牛顿迭代法（CN）]
牛顿法的基本思想是在目标函数的极小点的近似点附近将二阶泰勒展开，用展开的二次函数去逼近，将这个二次函数的极小点作为的一个新的近似点。用一系列二次函数的极小点去逼近的极小点。
设二阶连续可微，是的一个近似点。由泰勒公式有：
取前面两项近似的代替有：若，则存在，由此解出就是二次函数的极小点。
即，（1） 我们将作为的一个新的近似点。给定的初始近似点后，迭代点列由公式（1）产生。称公式（1）为牛顿迭代公式，相应的算法称为牛顿法。牛顿法是局部收敛的且具有二阶收敛速度。二次收敛到单根，线性收敛到重根。
二、牛顿法的几种改进格式效率指数及收敛阶判断准则
为了研究几种改进格式的收敛速度和效率指数，引进如下两个概念：定义1设序列收敛于极限，如果存在常数和，使，则称的收敛阶数为，称为收敛因子，也称为渐进误差常数。特别，当时称线性序列收敛于极限，时是超线性收敛，时称为平方收敛。越大，收敛速度越快。定义2设迭代序列收敛阶数为，每次迭代的计算量为，则称为迭代序列的效率指数。
三、效率指数
算法 收敛阶 每次迭代计算量 效率指数
经典牛顿法（CN） 2 2n 0.347/n
牛顿类迭代法 2 2n 0.347/n
修正牛顿法 3、5 3n 0.3662/n
弦截法 1.618 2n 0.2406/n
改进弦截法（PC） 2.618 4n 0.2406/n
二次插值迭代格式 1.839 3n 0.231/n
推广的牛顿迭代法 3 3n 0.3662/n
HN法和MN法 3 3n 0.3662/n
SN法 3 4n 0.2747/n
GN法 3 3n 0.3662/n
AM法 6 5n 0.384/n
四、结论
经典牛顿算法收敛速度快，格式简单，效率较高，但是这个苛刻条件限制了它的使用，牛顿类迭代法产生的迭代序列比牛顿法有更高的精度，弦割法和牛顿迭代法的P. C.格式的效率一致的，因此，牛顿迭代法的P.C.格式并没有对弦割法起到优化的作用。利用抛物插值多项式推出的迭代格式（即二次插值迭代格式）的计算效率最低，从而计算量最大.推广的牛顿法、牛顿迭代法的效率较高，但是它们有个共同的缺点是都要计算导数，如果函数的导数非常复杂或求导非常的麻烦的时候，这两种方法的计算量就会大大增加，它的优势就体现不出来了，这种情况下我们可以用弦割法和牛顿迭代法的P.C.格式。HN算法对初值的要求高，而对其它函数不是很敏感，SN算法和GN算法，GN算法较优，它对不同的初始值，迭代次数不会剧烈变化。AM算法总体上比CN算法和GN算法的迭代次数少，计算的函数个数少，收敛性好，收敛速度快。
参考文献：
[1]朱静芬，韩丹夫.“牛顿类”迭代的收敛性和误差估计[J].浙江大学学报理学版，2005.11。
[2]肖光强，方壮，余显志.对牛顿迭代法条件的一个改进[J].湖北民族学院学报（自然科学版），2008.4.
[3]苏岐芳.五阶收敛的牛顿迭代改进法[J].河南师范大学学报（自然科学版）2009.7（4）22-24.
[4]于明明， 吴开谡， 张 妍.牛顿迭代法与几种改进格式的效率指数[J].数学的实践与认识，2008.9.
[5]白晓燕，李炜，陈红.一个新的六阶收敛牛顿法[J].杭州电子科技大学学报，2009.6：80-83.
作者简介：
马辉，男，1981-，讲师，主要从事计算数学研究。
项目来源：吉林农业科技学院青年基金项目