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奥苏贝尔说过，影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么。在教学中，教师都会创设导入情境，好的情境是座桥梁，它能架起学生已有经验与新知之间的联系，但若不精心挑选，有时情境也会产生负面干扰。
在数学青年教师第一学段优课评比中，笔者听了两节“角的初步认识”课。同样的教学内容，不同的教学情境，得到的学生认知反馈就大不相同。以下是笔者对两节课中部分教学片段的对比与思考。
一、情境导入中切入的“点”要准
【片段1】
出示苏教版二年级下册P84主题图（如图1）。
师：大家看看，在这些物体中哪里有角？
生：（边说边指出三角尺上的3个角）三角尺上有角。
生：（邊说边指出正方形纸上的4个角）正方形纸片上有角。
生：（边说边指出练习簿封面上的4个角）练习簿封面上有角。
生：（边说边指出剪刀的两个尖尖的头）剪刀上有两个角。
师（赶紧遮掩）：你是不是说，剪刀的两个刀片叉口处有角呢？
【片段2】
师：这是我们学过的图形（如图2），它们里面有角吗？如果我们把这些角描下来，三角形可以描几个角？
生：有3个角。
师：长方形呢？
生：有4个角。
师：这些描下来的图形，虽然样子不同，但它们都被称作——角。说明它们肯定有共同的特征。
【思考】
片段1是从主题图中的生活情境导入，片段2是从学生熟悉的平面图形导入。片段1里有教师避之不及的遮掩，片段2里师生对接从容，效果差异颇大。究其原因，是情境切入的“点”不准。在学生的日常生活里，角可以指动物头顶上长出来的坚硬的东西，也可以指物体边沿相接的地方，还可以指一切像角的东西。片段1中，教师在尚未抽象出数学中角的概念时，就让学生在有干扰的生活情境中指角，不可避免地会发生“生活中的角”和“数学中的角”纠缠不清的情形。而片段2，教师选择了准确的切入“点”——学生熟悉的平面图形中的角，有效避开了生活中的角的干扰。
郑毓信教授认为，学生关于数学概念的心理表征往往具有三点特征或弊病：第一，模糊性;第二，分散性和不一致性;第三，不灵活性。其中第二点是指：“学生关于同一数学概念，内在表征中的各个成分往往没有构成一个整体，在这些不同成分之间还常常存在一定的矛盾，特别是先前已建立的朴素认识，往往与概念的严格定义直接相矛盾。”新概念学习之初，应剔除已有经验与严格定义之间的直接矛盾之处，选择准确的切入“点”，激发学生正面经验。当学生完成概念的构建后，再逐步加入干扰因素，挑起新的认知冲突，让他们尝试运用新学的概念来解释辨析，从而明晰概念的本质，深化对概念的理解。
二、情境导入中涉及的“面”要广
【片段3】
师：怎么指角呢，我们通常用小弧线来表示（如图3）。 来，伸出食指，跟着老师画一画。
（生用画弧线的方式指角）
【片段4】
师：找找看，我们身边的哪些物体上藏着角呢？
生：学习单上。
师：请带着你的学习单上来，指出它的角。（生点出学习单上的4个角）
师：很好，你一下子找到了它的4个角。请再慢一点，把其中的一个角指给大家看。
（生点了学习单上的1个角）
师：同学们请看，她就在这儿点了一下，她其实是找到这个角的什么？（顶点）刚才我们说，角有一个顶点和——（两条边）那么，我们怎样才能将角的完整样子都指出来呢？
该生修正指角的方式后，教师带领全班学生再指一遍，一边指一边说：“先找到顶点，再从顶点出发，指出它的一条边，再指出它的另一条边，最后再画上小弧线，组成一个角。”
师：还有哪里也藏着角呢？
生：电视机的一角（如图4中黑点处）。
师：指一指它的顶点，边呢？
（生迟疑中……）
生：我觉得不对，这个地方是弯的，它的里面有一个角。（生上来指出内框中的角）
师：是的，里面是个真正的角。而外面，在生活中也称它为角，但这个角可不是我们数学中的角，数学中的角有一个顶点和两条直直的边。你们看，生活中的角和数学中的角相同吗？
生（众）：不同。
【思考】
相比较而言，片段3中的指角方式便捷，片段4中的指角方式具体。哪一种指角方式更合理呢？依据范·希尔夫妇的几何思维发展理论，二年级学生对于角的认识，还处于水平1的直观感知阶段，即“看起来像”，而对图形性质特征并不关心。课堂教学的目标是要帮助学生从水平1上升到水平2，即能够描述图形的性质并识别图形，确定图形的特征。这样看来，片段3中的指角方式偏抽象，不能有效反映出学生脑海中的真实图像表征。片段4中的指角方式，通过细腻的活动表征，配合语言描述的调节、内化功能，有效地强化了角的图像表征，深化了角的特征认知。
“指角”环节看似只是教学的细节，但指向的却是角特征的直观体验与深入认知。片段4中，正因为有了指角环节的具体细腻，当学生遭遇生活中的角对数学中的角的纠缠时，表现出了一种自我反省的意识及灵活运用概念甄别判断并说服别人的能力。教师在此顺水推舟地点明生活中的角与数学中的角的区别，帮助学生明晰已有经验与严格定义的不同之处。
三、情境导入中的连“线”要预埋
【片段5】
学生用小棒做活动的角。（不同组学生拿到的小棒有黄、橙两种颜色，代表不同长度）
教师举起一个绿色的活动的角（绿色小棒最长）。
师：看，这是老师做的角，这个角可神奇啦，它的两条边可以自由地张开、合拢。我们叫它——活动的角。看看你们的角可以这样变化吗？想一想，在这样张开、合拢的过程中，变化的是什么呢？同桌讨论讨论。 师：张开时，它变怎么样了？
生：变大了。
师：张得再开一点，它就变得——
生众：更大了。
师：那说明，角的两条边张开得越大，角就变得越大。
（师板书：角的两边张开得大，角就大）
师：那现在，我们把角的两条边合拢，角就变——
生（众）：变小了。
（师板书：角的两边张开得小，角就小）
师：你能做一个比我的角还大的角吗？
（生創作，师选一生的作品进行比较，如图5）
师：她创造的角比老师这个绿色的活动的角大，你们同意吗？
生（众）：不同意。
生：绿色的角大，绿色的角边更长。
师：我们看张口，是哪个角的张口大？
生（少部分）：橙色的。
师：刚才我们说，哪个角的张口大，哪个角就大。对于边的长短问题，后期我们再来讨论。
【片段6】
师：请同学们拿起自己的三角尺，看看三角尺上的3个角，哪个角最大呢？指一指。
（生1演示，如图6）
师：这是他的想法，你们同意吗？
生（众）：不同意。
（生2演示，如图7）
师：到底谁说的是对的呢？让我们来听听他们的想法。（请生2说说想法）
生2：我就是看两边之间宽窄。
师：我们可以换一个词，可以说成，两条边张开的大小。看来，要比较两个角的大小，要看什么呢？
生3：两条边之间的宽窄。
师：请仔细看，三角尺上最大的角在哪里？
生4：我觉得这两个角同样大，它们都是最大的角（如图8），因为这两条边之间张开的宽度是一样的。
【思考】
上述两个教学片段中对于“角的大小与边的长短无关”这一教学难点都未能实现突破。究其原因，是成年人与儿童的视角不同。成年人都知道，角的两条边是由射线组成的，但二年级的学生不知道。在他们眼里，角的边就是“线段”，并且，他们想当然地把角的两边夹着的部分看成了一个“面”，他们对角的大小的判断受着这个假想的“面”的影响。片段6中选择了从三角尺切入，看似选择了学生熟悉之物，但相对于单个的角来说，它却是由3个角组合而成的“复杂图形”，放大的是“面”的表象，增加了分析、说明的难度。在“指出三角尺上最大的角”之前，学生尚不知道角的大小是什么，也不知道如何比较角的大小。在面对同伴的说法“两条边之间的宽窄”和教师修正后的说法“两边张开的大小”时，他们更愿意接受 “两条边之间的宽窄”这一说法，因为对于没有经历角的张开与合拢活动过程的学生来说，“角两边张开的大小”是抽象的，缺乏直观性。而“两条边之间的宽窄”在三角尺这个面上，可以找到直观感知的线段（当然，不一定是正确，这也是引发“三角尺上60°的角和90°的角同样大”争议的原因）。而片段5，用长短不一的小棒做活动的角，在学生尚未明白“角的大小是什么”的时候就开始受到外在的干扰。学生虽然经历对教师做的活动的角张开、合拢的观察，被告知“角张开得大，角就大;角张开得小，角就小”，但依然心存疑虑。
高超的文学作品创作常用“草蛇灰线，伏脉于千里之外”的写作手法，使作品的情节环环相扣，前后呼应，“骤看之，有如无物;及至细寻，其中便有一条线索，拽之通体皆动”。高超的课堂教学艺术也是如此，面对学生的认知难点，教师需要提前备好支撑点。首先，埋好认知的“线”。在画角的环节，告知学生，角的边画多长都行，暗示两边的长短可以无限延伸;其次，给出判定的“理”。给学生提供等长的小棒，让学生做活动的角。在活动的角张合的过程中，让学生发现：角有大有小，角的大小和两条边的张合程度有关;比较角的大小，引导学生学会比较的方法：顶点对齐、一边重合，比另一边的张开度。通过动手操作和语言描述强化学生对角的大小内涵的认知。
总之，教师需要精构情境导入的“点、线、面”，让学生在经历知识的发生、发展过程中，体会数学的情理之美。
参考资料：
[1]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.
（江苏省南通市通州区教师发展中心 226300）
在数学青年教师第一学段优课评比中，笔者听了两节“角的初步认识”课。同样的教学内容，不同的教学情境，得到的学生认知反馈就大不相同。以下是笔者对两节课中部分教学片段的对比与思考。
一、情境导入中切入的“点”要准
【片段1】
出示苏教版二年级下册P84主题图（如图1）。
师：大家看看，在这些物体中哪里有角？
生：（边说边指出三角尺上的3个角）三角尺上有角。
生：（邊说边指出正方形纸上的4个角）正方形纸片上有角。
生：（边说边指出练习簿封面上的4个角）练习簿封面上有角。
生：（边说边指出剪刀的两个尖尖的头）剪刀上有两个角。
师（赶紧遮掩）：你是不是说，剪刀的两个刀片叉口处有角呢？
【片段2】
师：这是我们学过的图形（如图2），它们里面有角吗？如果我们把这些角描下来，三角形可以描几个角？
生：有3个角。
师：长方形呢？
生：有4个角。
师：这些描下来的图形，虽然样子不同，但它们都被称作——角。说明它们肯定有共同的特征。
【思考】
片段1是从主题图中的生活情境导入，片段2是从学生熟悉的平面图形导入。片段1里有教师避之不及的遮掩，片段2里师生对接从容，效果差异颇大。究其原因，是情境切入的“点”不准。在学生的日常生活里，角可以指动物头顶上长出来的坚硬的东西，也可以指物体边沿相接的地方，还可以指一切像角的东西。片段1中，教师在尚未抽象出数学中角的概念时，就让学生在有干扰的生活情境中指角，不可避免地会发生“生活中的角”和“数学中的角”纠缠不清的情形。而片段2，教师选择了准确的切入“点”——学生熟悉的平面图形中的角，有效避开了生活中的角的干扰。
郑毓信教授认为，学生关于数学概念的心理表征往往具有三点特征或弊病：第一，模糊性;第二，分散性和不一致性;第三，不灵活性。其中第二点是指：“学生关于同一数学概念，内在表征中的各个成分往往没有构成一个整体，在这些不同成分之间还常常存在一定的矛盾，特别是先前已建立的朴素认识，往往与概念的严格定义直接相矛盾。”新概念学习之初，应剔除已有经验与严格定义之间的直接矛盾之处，选择准确的切入“点”，激发学生正面经验。当学生完成概念的构建后，再逐步加入干扰因素，挑起新的认知冲突，让他们尝试运用新学的概念来解释辨析，从而明晰概念的本质，深化对概念的理解。
二、情境导入中涉及的“面”要广
【片段3】
师：怎么指角呢，我们通常用小弧线来表示（如图3）。 来，伸出食指，跟着老师画一画。
（生用画弧线的方式指角）
【片段4】
师：找找看，我们身边的哪些物体上藏着角呢？
生：学习单上。
师：请带着你的学习单上来，指出它的角。（生点出学习单上的4个角）
师：很好，你一下子找到了它的4个角。请再慢一点，把其中的一个角指给大家看。
（生点了学习单上的1个角）
师：同学们请看，她就在这儿点了一下，她其实是找到这个角的什么？（顶点）刚才我们说，角有一个顶点和——（两条边）那么，我们怎样才能将角的完整样子都指出来呢？
该生修正指角的方式后，教师带领全班学生再指一遍，一边指一边说：“先找到顶点，再从顶点出发，指出它的一条边，再指出它的另一条边，最后再画上小弧线，组成一个角。”
师：还有哪里也藏着角呢？
生：电视机的一角（如图4中黑点处）。
师：指一指它的顶点，边呢？
（生迟疑中……）
生：我觉得不对，这个地方是弯的，它的里面有一个角。（生上来指出内框中的角）
师：是的，里面是个真正的角。而外面，在生活中也称它为角，但这个角可不是我们数学中的角，数学中的角有一个顶点和两条直直的边。你们看，生活中的角和数学中的角相同吗？
生（众）：不同。
【思考】
相比较而言，片段3中的指角方式便捷，片段4中的指角方式具体。哪一种指角方式更合理呢？依据范·希尔夫妇的几何思维发展理论，二年级学生对于角的认识，还处于水平1的直观感知阶段，即“看起来像”，而对图形性质特征并不关心。课堂教学的目标是要帮助学生从水平1上升到水平2，即能够描述图形的性质并识别图形，确定图形的特征。这样看来，片段3中的指角方式偏抽象，不能有效反映出学生脑海中的真实图像表征。片段4中的指角方式，通过细腻的活动表征，配合语言描述的调节、内化功能，有效地强化了角的图像表征，深化了角的特征认知。
“指角”环节看似只是教学的细节，但指向的却是角特征的直观体验与深入认知。片段4中，正因为有了指角环节的具体细腻，当学生遭遇生活中的角对数学中的角的纠缠时，表现出了一种自我反省的意识及灵活运用概念甄别判断并说服别人的能力。教师在此顺水推舟地点明生活中的角与数学中的角的区别，帮助学生明晰已有经验与严格定义的不同之处。
三、情境导入中的连“线”要预埋
【片段5】
学生用小棒做活动的角。（不同组学生拿到的小棒有黄、橙两种颜色，代表不同长度）
教师举起一个绿色的活动的角（绿色小棒最长）。
师：看，这是老师做的角，这个角可神奇啦，它的两条边可以自由地张开、合拢。我们叫它——活动的角。看看你们的角可以这样变化吗？想一想，在这样张开、合拢的过程中，变化的是什么呢？同桌讨论讨论。 师：张开时，它变怎么样了？
生：变大了。
师：张得再开一点，它就变得——
生众：更大了。
师：那说明，角的两条边张开得越大，角就变得越大。
（师板书：角的两边张开得大，角就大）
师：那现在，我们把角的两条边合拢，角就变——
生（众）：变小了。
（师板书：角的两边张开得小，角就小）
师：你能做一个比我的角还大的角吗？
（生創作，师选一生的作品进行比较，如图5）
师：她创造的角比老师这个绿色的活动的角大，你们同意吗？
生（众）：不同意。
生：绿色的角大，绿色的角边更长。
师：我们看张口，是哪个角的张口大？
生（少部分）：橙色的。
师：刚才我们说，哪个角的张口大，哪个角就大。对于边的长短问题，后期我们再来讨论。
【片段6】
师：请同学们拿起自己的三角尺，看看三角尺上的3个角，哪个角最大呢？指一指。
（生1演示，如图6）
师：这是他的想法，你们同意吗？
生（众）：不同意。
（生2演示，如图7）
师：到底谁说的是对的呢？让我们来听听他们的想法。（请生2说说想法）
生2：我就是看两边之间宽窄。
师：我们可以换一个词，可以说成，两条边张开的大小。看来，要比较两个角的大小，要看什么呢？
生3：两条边之间的宽窄。
师：请仔细看，三角尺上最大的角在哪里？
生4：我觉得这两个角同样大，它们都是最大的角（如图8），因为这两条边之间张开的宽度是一样的。
【思考】
上述两个教学片段中对于“角的大小与边的长短无关”这一教学难点都未能实现突破。究其原因，是成年人与儿童的视角不同。成年人都知道，角的两条边是由射线组成的，但二年级的学生不知道。在他们眼里，角的边就是“线段”，并且，他们想当然地把角的两边夹着的部分看成了一个“面”，他们对角的大小的判断受着这个假想的“面”的影响。片段6中选择了从三角尺切入，看似选择了学生熟悉之物，但相对于单个的角来说，它却是由3个角组合而成的“复杂图形”，放大的是“面”的表象，增加了分析、说明的难度。在“指出三角尺上最大的角”之前，学生尚不知道角的大小是什么，也不知道如何比较角的大小。在面对同伴的说法“两条边之间的宽窄”和教师修正后的说法“两边张开的大小”时，他们更愿意接受 “两条边之间的宽窄”这一说法，因为对于没有经历角的张开与合拢活动过程的学生来说，“角两边张开的大小”是抽象的，缺乏直观性。而“两条边之间的宽窄”在三角尺这个面上，可以找到直观感知的线段（当然，不一定是正确，这也是引发“三角尺上60°的角和90°的角同样大”争议的原因）。而片段5，用长短不一的小棒做活动的角，在学生尚未明白“角的大小是什么”的时候就开始受到外在的干扰。学生虽然经历对教师做的活动的角张开、合拢的观察，被告知“角张开得大，角就大;角张开得小，角就小”，但依然心存疑虑。
高超的文学作品创作常用“草蛇灰线，伏脉于千里之外”的写作手法，使作品的情节环环相扣，前后呼应，“骤看之，有如无物;及至细寻，其中便有一条线索，拽之通体皆动”。高超的课堂教学艺术也是如此，面对学生的认知难点，教师需要提前备好支撑点。首先，埋好认知的“线”。在画角的环节，告知学生，角的边画多长都行，暗示两边的长短可以无限延伸;其次，给出判定的“理”。给学生提供等长的小棒，让学生做活动的角。在活动的角张合的过程中，让学生发现：角有大有小，角的大小和两条边的张合程度有关;比较角的大小，引导学生学会比较的方法：顶点对齐、一边重合，比另一边的张开度。通过动手操作和语言描述强化学生对角的大小内涵的认知。
总之，教师需要精构情境导入的“点、线、面”，让学生在经历知识的发生、发展过程中，体会数学的情理之美。
参考资料：
[1]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.
（江苏省南通市通州区教师发展中心 226300）