摘 要：本文根据“不交叉”游戏的规则对从给定的可平面图中找到一个平面嵌入，并从中得到一个与其对应的平面图进行研究。同时应用握手定理、库拉托斯基定理对游戏中给定的平面图进行分析；应用拓扑变换原理、欧拉公式，建立了反正切函数评价模型。针对问题一，我们给出（a）图的图论表示及其邻接矩阵，并计算出了图中每个顶点的度数，找到了一个不同于（b）的平面图；最后根据库拉托斯基定理证明出（a）图是可平面图。
　　针对问题二，我们根据库拉托斯基定理、握手定理建立评价模型，分析交叉连线图的难易程度。根据库拉托斯基定理证明得出：消去2度顶点不影响可平面图的平面化。由此可认为，游戏的难度取决于顶点的数量、边的数量与2度顶点的个数，从而进一步定义难度指数并建立反正切函数评价模型。再由握手定理计算出六个截图中边的数量，通过评价模型分别计算六个截图内2度顶点个数、难度指数及难度值等数据，从而得出六个图形的难易程度。
　　针对问题三，我们采用生成模型。由问题二知，图形中顶点总数和边数一定时，2度顶点个数不同则难度不同，因此可生成两个2度顶点个数不同的可平面图。利用该生成模型，编辑生成代码，作出两种难度的交叉连线图，并利用问题二中的评价模型计算出两种不同难度等级的交叉连线图的难度。
　　关键词：平面嵌入 库拉托斯基定理 握手定理 反正切函数评价模型 生成模型 三角形框架解题法 拓扑变换原理 欧拉公式
　　一、问题重述
　　风靡的益智类游戏如“火线对决”游戏、“不交叉”游戏、“交叉线”游戏等，需要玩家通过解决错综复杂的谜题提高个人思维能力，锻炼大脑；具体方法为拖动线段顶点使已给图形在矩阵网格中的所有线段互不交叉。从数学上讲，“火线对决”、“不交叉”、“交叉线”之类的游戏，其实就是对于给定的可平面图，找到一个平面嵌入，从而得到与其对应的一个平面图。图的可平面性判定可依据库拉托斯基定理。
　　游戏中所给图形往往极其复杂，因此应用数学定理，建立数学建模，对给定的可平面图快速且正确地找到平面嵌入将为解题提供理论依据。
　　根据题目1，对给出的平面嵌入的示例，（a）为可平面图，（b）为与（a）相对应的一个平面图，写出（a）的图论表示G=（V，E），邻接矩阵表示A=（aij）8×8，以及所有顶点的度，并找出与（b）不同的一個平面图，同时利用库拉托斯基定理证明（a）图是可平面图。
　　根据题目2，对于给定的交叉连线图，构建数学模型，制定评价图形难易程度的方法。
　　根据题目3，分析如何生成一个相应的交叉连线图且为可平面图，建立生成模型，构造两种不同难度等级的交叉连线图。
　　二、模型建立与求解
　　1.问题一模型的建立与求解：
　　（1）.（a）的图论表示G=（V，E），其中
　　V={1，2，3，4，5，6，7，8}
　　E={（1，2），（1，5），（1，7），（1，8），（2，3），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（4，6），（5，7），（6，8）}
　　（2）.邻接矩阵
　　（3）.由图（a）知，d[1]=4；d[2]=4；d[3]=3；d[4]=2；d[5]=4；d[6]=2；d[7]=2；d[8]=2；
　　（4）.如下图：
　　（5）.证明：
　　由（1）的（3）知，（a）图中，度数≥4的顶点只有1，2，5三个点。 因此，（a）图不是K5的剖分。
　　又（a）图中，度数≥3的顶点只有1，2，3，5四个点，因此，（a）图不是K3，3的剖分。
　　综上，由库拉托斯基定理知，（a）图是可平面图.
　　2.问题二模型的建立与求解：
　　首先证明，消去2度顶点不影响可平面图的平面化：
　　设图G是平面图，对消去G所有的2度顶点得到图G1，则G1是G的子图，G1的子图也是的G子图，故G1及其子图都不是K5和K3，3的同胚。由库拉托斯基定理知，所以G1是可平面的。
　　我们认为，游戏的难度取决于顶点的数量、边的数量与2度n=顶点的个数，设点数，m=边数，p=2度顶点个数，定义难度指数x：
　　设难度系数为y，建立反正切函数评价模型：
　　该函数的意义在于：当x充分大时，难度y会无限接近100但不会超过100，这是因为：
　　评价函数图像如下：
　　由问题二给出的截图知，点数n∈[6，18]，由握手定理计算得边数m∈[10，31]，2度顶点p∈[2，6]，且n，m，p∈N+。六个截图内各数据如下：
　　综上，得出评价结论：难度由小到大排序：a　　3.问题三模型的建立与求解：
　　由问题二中模型知，游戏中顶点总数和边数一定时，2度顶点个数不同则难度不同，因此可生成两个2度顶点个数不同的可平面图。编辑随机生成代码，可根据顶点数量、边数和2度顶点数修改代码，生成所需的图。