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摘 要：表征在教学中的运用是为了促进新知的生成，为了构建联系新知的系统，加深对概念的认识和理解。不同的表征方式之间不一定存在严格的先后发展顺序，要学会分析已有经验和认知能力等多元表征对教学的影响，加强表征转换，帮助学生建立反映概念本质的内在表征，真正实现对知识学习的意义建构。
关键词：概念；多元表征；转换
美国学者莱许指出：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式——图像、书面语言、符号语言、现实情景等，也同样发挥了十分重要的作用。”不同的表征方式之间不一定存在严格的先后发展顺序，而是应重视它们之间的互相转换。这成为当前概念教学的共识。苏教版二年级下册“有余数除法的认识”作为笔算除法的起始课，笔者在教学中发现学生存在这样的认知障碍：分有剩余为什么可以列除法算式；怎样列出形如10÷3=3……1的除法算式；“余数为什么要比除数小”等。如何突破这些障碍，下面以《有余数除法的认识》一课为例，结合概念教学的表征方式进行探讨。
一、 把握起点，多元并重，初步感知“平均分时有剩余”的现象
本课学生学习的逻辑起点是二年级上册表内乘除法的有关知识，在将表内除法的知识迁移到有余数除法时，学生对分有剩余的情况可以列除法算式存有疑惑，认为“没有分完、不够分”不属于平均分。若只用实物操作表征，学生感受就不充分，思维停留在较浅的层面，导致学生机械地识记概念；而如果只用图像来表征，学生因缺少了生活经验的支撑而出现程式化的叙述，教学的难度加深。因此，有必要让学生在多元表征中感知“平均分时有剩余”的现象。
师：同学们，现在有10支铅笔，分给小朋友，要想每人分得同样多，应该怎么分呢？
学生动手操作，用小棒代替铅笔摆一摆。
生1：我是这样分的，每人分2支，可以分给5人。
生2：每人分5支，分给2人。
教师板书：
生3：每人分1支，分给10人。
师：为什么你们不每人分3支铅笔呢？
生1：因为每人分3支，还有剩余的，分不完。
生2：因为每人分3支，10支铅笔不够分。
生3：因为每人分3支，就不是平均分了。
师：就让我们动手分一分吧。
师：你能說说这幅图表示的意思吗？
生：10支铅笔，每人分3支，可以分给3个人，还剩下1支。
完成板书：
师：结合图示和表格，比一比这种分法和前面的两种分法，你有什么发现？
生：第3种分法不是正好分完的。
师：它们一种是正好分完，一种是还有剩余。除了刚才分的这三种情况，你还能怎么分？
完成板书：
提供学习情景，让学生经历动手分一分——实物操作表征，用小棒代替铅笔——图像表征，用自己的话叙述——语言表征概念的含义。对于一个数学概念，往往可以通过多元的形式来表征它，即从不同的视角对其本质进行视觉化或体验化的阐述。如利用图像进行表征可以更直观、更形象地表达，在进行视觉化表征的同时，言语表征解释图意，也为符号表征——有余数除法算式的得出做好铺垫。
二、加强转换，个性表征，让“有余数除法算式”自然生成
概念教学在帮助学生建立概念多元表征的同时，要根据需要在不同表征之间做出相应的转换。在多元表征中不能忽视占主体地位的学生，学生作为独立的个体，对新学习的概念做出表述或者做出定义，也会有独特的想法。这些具有个性的答案，反映出学生头脑中对这一知识的表征，有利于教师取得第一手资料，改进教学，实现新的发展。
师：你能用一道除法算式表示摆的结果吗？
生1：10÷2=5（人）。
生2：10÷5=2（人）。
师：你能把这种有剩余的情况也用除法算式表示出来吗？在自己的本子上写一写。
学生作品展示：
师：同学们很有创意，用不同的方法表示了剩余的“1”，剩下的1支到底写在哪里？怎么写呢？
生（急切地）：我知道，是用“……”表示。
师：在商和余数中间有的用“多”，有的用“余”，有的用“剩”，还有的用6个小圆点，你认为哪种表示方法简捷一些？
生：6个小圆点。
师：6个小圆点好比语文中的省略号，把汉字表示的语言简化了，它是我们的数学语言。
师：这个“1”叫？
生1：剩余的数。
生2：余数。
生3：平均分时，当有剩余且不够再分时，剩下的部分就是余数。
师：由10÷3=3（人）……1（支），你想到怎样的画面？这道算式表示什么意思？
生1：10支铅笔，每人分3支，还多出1支。
生2：10表示铅笔的总数，除数3表示每人分得的支数，商3表示可以分3人，1是余数，表示多出来的1支。
这一环节中，教师引导学生从语言表征转换到符号表征，学生在阐述除法算式的意义时，完成了从符号表征到情境表征、语言表征之间的转换，体现了“有余数除法算式”数学化的过程，也反映了意义建构的过程，实现了从更高抽象水平重新认识原有知识和经验。
三、科学组合，合理表征，理解“余数要比除数小”
在“余数要比除数小”这一知识点教学时，教师大都这样处理：呈现例题，学生实物操作表征后列出12÷4=3（个）等五道除法算式。提问：比较除法算式中的余数和除数，你有什么发现？学生一眼看出1、2、3都比4小，“顺利”得出结论。学生从数据大小比较上感知余数<除数。没有经历规律得出的过程，并不能真正理解余数为什么要比除数小这一结论的内在含义。不妨由实物操作表征改为体验表征，圈一圈，填一填，感知并发现规律。（图9） 学生在作业纸上完成。
生：9÷4=2（个）……1（根）。
师：如果在这9根小棒上再增加一根变成10根小棒，仍然是每4根摆一个正方形，你能看图列出算式吗？出示直观图。
生：10÷4=2（个）……2（根）。
师：如果再增加一根变成11根，你能看图列出算式吗？
生：11÷4=2（个）……3（根）。
师：如果变成12根小棒呢？出示直观图。（图10）
收集并呈现学生的3种答案：
师：说说你的想法。
（引发讨论：余数为什么不能为4？）
生：满4根又可以摆一个正方形了。
直观图变为：
师：那继续放13根呢？算式是什么？14根？15根？16根？……
学生相互说一说后，再汇报。
9÷4=2（个）……1（根）。
10÷4=2（个）……2（根）。
11÷4=2（个）……3（根）。
12÷4=3（个）。
13÷4=3（个）……1（根）。
14÷4=3（个）……2（根）。
15÷4=3（个）……3（根）。
16÷4=4（个）。
师：照這样继续下去，你有什么发现？为什么？
生：余数总是1、2、3。
引疑：为什么余数总是1、2、3而不是其他的数？余数可能是4或5吗？为什么？
生1（齐声）：不能，如果余数等于或大于除数，那又可以再拼一个正方形了。
生2：余数要小于除数或者除数大于余数。
追问：用一堆小棒摆三角形，如果有剩余，可能会剩几根？如果摆五边形，可能会剩几根？
对于一个数学概念，往往可以通过多元的形式来表现或记载它。但提高课堂教学效率不单单是多元的表征、个性化的表征，高效、调整传递素材信息的关键是不同表征的科学组合和呈现。
四、沟通联系，完整表征，深化对“有余数除法意义”的理解
多元表征之间是相通的，不同形式的多元表征互为验证、互为补充，它们所要表达的内容与实质是相同的，由此开展开放、完整的教学过程，将学生已有的知识经验与抽象的概念建立起联系，引领学生完整地认识概念的本质。
例如，巩固练习中。
1. 自主设计分物问题，对比建立除法模型。
请用你喜欢的方式表示出分物有剩余和没有剩余这两种情况，并列出算式。
2. 根据11÷2=5……1这一道除法算式，请你讲述一个故事。
练习中，自主设计平均分物品的问题能帮助学生主动思考，加深对两种情况及对应除法算式的理解。学生在纸上画一画、分一分，通过个性化的表达，巩固了除法新结构。有学生根据算式用文字表征，清晰地呈现包含除与等分除两种不同的情况；有学生根据已有的经验画出图像来表示，并能用语言尝试对概念的内涵做出解释。
总之，表征在数学中的运用是为了促进新知的生成，为了构建联系新知的系统，加深对概念的认识和理解。教学中，过于追求表征形式的多样化，就脱离了知识本质的需要。我们要学会分析已有经验和认知能力等多元表征对教学的影响，加强表征之间的转换，帮助学生建立反映概念本质的内在表征，真正引领学生对知识学习的意义建构。
关键词：概念；多元表征；转换
美国学者莱许指出：“实物操作只是数学概念发展的一个方面，其他的表述方式——图像、书面语言、符号语言、现实情景等，也同样发挥了十分重要的作用。”不同的表征方式之间不一定存在严格的先后发展顺序，而是应重视它们之间的互相转换。这成为当前概念教学的共识。苏教版二年级下册“有余数除法的认识”作为笔算除法的起始课，笔者在教学中发现学生存在这样的认知障碍：分有剩余为什么可以列除法算式；怎样列出形如10÷3=3……1的除法算式；“余数为什么要比除数小”等。如何突破这些障碍，下面以《有余数除法的认识》一课为例，结合概念教学的表征方式进行探讨。
一、 把握起点，多元并重，初步感知“平均分时有剩余”的现象
本课学生学习的逻辑起点是二年级上册表内乘除法的有关知识，在将表内除法的知识迁移到有余数除法时，学生对分有剩余的情况可以列除法算式存有疑惑，认为“没有分完、不够分”不属于平均分。若只用实物操作表征，学生感受就不充分，思维停留在较浅的层面，导致学生机械地识记概念；而如果只用图像来表征，学生因缺少了生活经验的支撑而出现程式化的叙述，教学的难度加深。因此，有必要让学生在多元表征中感知“平均分时有剩余”的现象。
师：同学们，现在有10支铅笔，分给小朋友，要想每人分得同样多，应该怎么分呢？
学生动手操作，用小棒代替铅笔摆一摆。
生1：我是这样分的，每人分2支，可以分给5人。
生2：每人分5支，分给2人。
教师板书：
生3：每人分1支，分给10人。
师：为什么你们不每人分3支铅笔呢？
生1：因为每人分3支，还有剩余的，分不完。
生2：因为每人分3支，10支铅笔不够分。
生3：因为每人分3支，就不是平均分了。
师：就让我们动手分一分吧。
师：你能說说这幅图表示的意思吗？
生：10支铅笔，每人分3支，可以分给3个人，还剩下1支。
完成板书：
师：结合图示和表格，比一比这种分法和前面的两种分法，你有什么发现？
生：第3种分法不是正好分完的。
师：它们一种是正好分完，一种是还有剩余。除了刚才分的这三种情况，你还能怎么分？
完成板书：
提供学习情景，让学生经历动手分一分——实物操作表征，用小棒代替铅笔——图像表征，用自己的话叙述——语言表征概念的含义。对于一个数学概念，往往可以通过多元的形式来表征它，即从不同的视角对其本质进行视觉化或体验化的阐述。如利用图像进行表征可以更直观、更形象地表达，在进行视觉化表征的同时，言语表征解释图意，也为符号表征——有余数除法算式的得出做好铺垫。
二、加强转换，个性表征，让“有余数除法算式”自然生成
概念教学在帮助学生建立概念多元表征的同时，要根据需要在不同表征之间做出相应的转换。在多元表征中不能忽视占主体地位的学生，学生作为独立的个体，对新学习的概念做出表述或者做出定义，也会有独特的想法。这些具有个性的答案，反映出学生头脑中对这一知识的表征，有利于教师取得第一手资料，改进教学，实现新的发展。
师：你能用一道除法算式表示摆的结果吗？
生1：10÷2=5（人）。
生2：10÷5=2（人）。
师：你能把这种有剩余的情况也用除法算式表示出来吗？在自己的本子上写一写。
学生作品展示：
师：同学们很有创意，用不同的方法表示了剩余的“1”，剩下的1支到底写在哪里？怎么写呢？
生（急切地）：我知道，是用“……”表示。
师：在商和余数中间有的用“多”，有的用“余”，有的用“剩”，还有的用6个小圆点，你认为哪种表示方法简捷一些？
生：6个小圆点。
师：6个小圆点好比语文中的省略号，把汉字表示的语言简化了，它是我们的数学语言。
师：这个“1”叫？
生1：剩余的数。
生2：余数。
生3：平均分时，当有剩余且不够再分时，剩下的部分就是余数。
师：由10÷3=3（人）……1（支），你想到怎样的画面？这道算式表示什么意思？
生1：10支铅笔，每人分3支，还多出1支。
生2：10表示铅笔的总数，除数3表示每人分得的支数，商3表示可以分3人，1是余数，表示多出来的1支。
这一环节中，教师引导学生从语言表征转换到符号表征，学生在阐述除法算式的意义时，完成了从符号表征到情境表征、语言表征之间的转换，体现了“有余数除法算式”数学化的过程，也反映了意义建构的过程，实现了从更高抽象水平重新认识原有知识和经验。
三、科学组合，合理表征，理解“余数要比除数小”
在“余数要比除数小”这一知识点教学时，教师大都这样处理：呈现例题，学生实物操作表征后列出12÷4=3（个）等五道除法算式。提问：比较除法算式中的余数和除数，你有什么发现？学生一眼看出1、2、3都比4小，“顺利”得出结论。学生从数据大小比较上感知余数<除数。没有经历规律得出的过程，并不能真正理解余数为什么要比除数小这一结论的内在含义。不妨由实物操作表征改为体验表征，圈一圈，填一填，感知并发现规律。（图9） 学生在作业纸上完成。
生：9÷4=2（个）……1（根）。
师：如果在这9根小棒上再增加一根变成10根小棒，仍然是每4根摆一个正方形，你能看图列出算式吗？出示直观图。
生：10÷4=2（个）……2（根）。
师：如果再增加一根变成11根，你能看图列出算式吗？
生：11÷4=2（个）……3（根）。
师：如果变成12根小棒呢？出示直观图。（图10）
收集并呈现学生的3种答案：
师：说说你的想法。
（引发讨论：余数为什么不能为4？）
生：满4根又可以摆一个正方形了。
直观图变为：
师：那继续放13根呢？算式是什么？14根？15根？16根？……
学生相互说一说后，再汇报。
9÷4=2（个）……1（根）。
10÷4=2（个）……2（根）。
11÷4=2（个）……3（根）。
12÷4=3（个）。
13÷4=3（个）……1（根）。
14÷4=3（个）……2（根）。
15÷4=3（个）……3（根）。
16÷4=4（个）。
师：照這样继续下去，你有什么发现？为什么？
生：余数总是1、2、3。
引疑：为什么余数总是1、2、3而不是其他的数？余数可能是4或5吗？为什么？
生1（齐声）：不能，如果余数等于或大于除数，那又可以再拼一个正方形了。
生2：余数要小于除数或者除数大于余数。
追问：用一堆小棒摆三角形，如果有剩余，可能会剩几根？如果摆五边形，可能会剩几根？
对于一个数学概念，往往可以通过多元的形式来表现或记载它。但提高课堂教学效率不单单是多元的表征、个性化的表征，高效、调整传递素材信息的关键是不同表征的科学组合和呈现。
四、沟通联系，完整表征，深化对“有余数除法意义”的理解
多元表征之间是相通的，不同形式的多元表征互为验证、互为补充，它们所要表达的内容与实质是相同的，由此开展开放、完整的教学过程，将学生已有的知识经验与抽象的概念建立起联系，引领学生完整地认识概念的本质。
例如，巩固练习中。
1. 自主设计分物问题，对比建立除法模型。
请用你喜欢的方式表示出分物有剩余和没有剩余这两种情况，并列出算式。
2. 根据11÷2=5……1这一道除法算式，请你讲述一个故事。
练习中，自主设计平均分物品的问题能帮助学生主动思考，加深对两种情况及对应除法算式的理解。学生在纸上画一画、分一分，通过个性化的表达，巩固了除法新结构。有学生根据算式用文字表征，清晰地呈现包含除与等分除两种不同的情况；有学生根据已有的经验画出图像来表示，并能用语言尝试对概念的内涵做出解释。
总之，表征在数学中的运用是为了促进新知的生成，为了构建联系新知的系统，加深对概念的认识和理解。教学中，过于追求表征形式的多样化，就脱离了知识本质的需要。我们要学会分析已有经验和认知能力等多元表征对教学的影响，加强表征之间的转换，帮助学生建立反映概念本质的内在表征，真正引领学生对知识学习的意义建构。