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摘 要： 从客观角度而言，投入产出数学模型是从定量的范畴反映企业生产投入和最大产出关系的函数表达式。本文运用了实证研究法，对公司生产函数所包含的各个要素进行认证和分析，收集了美林公司8年来的一系列数据，验证了美林公司的生产函数，探究了构建航空工业公司投入产出数学模型的可操作途径。
关键词： 投入产出；数学模型；美林公司
【中图分类号】 F223 【文献标识码】 B 【文章编号】 2236-1879（2017）13-0146-02
1 引言
生产函数也称收益函数，是反映生产过程中生产要素的投入与产出之间关系的数学模型，表示一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产所使用的各种生产要素的数量与它们所产生的最大产量之间的关系。它是一种投入产出数学模型，是研究复杂生产决策问题的工具。
建立美林投入产出数学模型，就要对公司生产过程、生产要素配置进行研究，分析和设计各个生产要素，并通过各要素量值推演和验证公司生产函数。
2 公司生产要素分析
2.1资产要素的分类与选择。
公司资产划分为流动性资产和固定性资产。流动性资产，这里特指资产负债表中以存货为代表的流动资产项目下的内容。这类资产的变现能力较强，资产本身安全性好，运营过程中风险较小，在一定程度上代表原材料、半成品和成品的投入，应该将其作为一个投入要素，用K1表示。
固定性资产，是对应于流动性资产以外的所有资产，这里特指以固定资产为代表的非流动资产。这类资产的变现能力较差，资产本身的安全性不如流动资产，运营过程中存在一定经营风险，在一定程度上能够反映公司的加工、制造技术水平，应该将其作为一个投入要素，用K2表示。
2.2劳动要素的分类与选择。
生产型劳动力，特指直接从事生产、加工过程的工人，包括基本生产工人、辅助生产工人等。这类人员是公司生产的骨干力量，直接决定着产量水平，应该将其作为一个投入要素，用L1表示。
智力型劳动力，特指从事技术、工艺、管理工作的技术人员，包括设计员、工艺员、技术员、各专业管理人员、辅助人员等。这类人员是公司技术与管理的骨干力量，间接决定着产量水平，也应该将其作为一个投入要素，用L2表示。
劳动力的单位可以采用实物指标-人，表示投入人力的多少；也可以采用价值指标-万元，表示投入劳动力的成本价值，以便更客观地反映人力资源要素的投入价值。
2.3产出变量的定义。
公司的產出指标有三类：一是实物指标，单位是件、套、架……；二是工作量指标，单位是工时（小时）；三是价值指标，单位是万元、亿元等。在飞机生产过程中，生产单位工作量的考核内容和考核方式
大同小异，有的实行计时工资制，按工时统计和考核；有的实行计件工资制，按件数进行考核；大部分实行价值指标考核，按工业总产值来考核。
联系公司实际情况，按价值指标进行考核的适用性较强，实物指标和工作量指标通过换算可以转化成价值指标。这样，即统一了核算尺度，又可以消除不同型号飞机生产任务量有差异的影响。所以，选择工业总产值来反映产出的能力，具有通用性和代表性，用Q表示。
综上分析，围绕飞机生产过程的产出变量Q选择了6个生产要素变量，分别是流动性资产K1、固定性资产K2、生产型劳动力L1，智力型劳动力L2，技术进步T和知识N。其中：资产K=K1+K2，劳动力L =L1+L2。
3 生产要素抽样设计与数据处理
3.1选择研究总体和要素范围。
在抽样选择上，挑选与飞机生产密切相关的、可以度量的重要要素为代表进行研究。
首先进行初级抽样，选择研究的单位与群体，确定了与飞机生产密切相關的两个独立单位-公司本部和美林国际。
然后进行次级抽样，选定所研究的生产要素。根据现代生产要素理论，选择的公司生产要素为资产、劳动力、技术进步和知识。
3.2选择抽样方法。
常用的抽样方法有4种：随机抽样、分层随机抽样、聚类抽样和系统抽样。在本次研究中，根据研究对象的特征，选择系统抽样方法，对上述确定的研究总体进行整体取样。
在公司实际生产过程中，各种投入要素的量值与对应产值的量值是一个连续不间断的对应关系，通常以月末的时点数来表示，如统计报表、会计报表等。同时，飞机生产性质决定了每年末的时点数最具有代表性，可以比较全面地反映每年一个生产周期内的投入与产出状况。因此，选择年末的时点数为样本，代表公司总体投入与产出的数量。
3.3确定样本规模。
从美林发展历程看，从2006年开始，公司就进入了一个快速发展阶段，一直持续至今。取这一阶段为研究对象比较有现实意义。同时，按照数学计算要求，为了进行统计回归计算，应选择不少于10年期间数据。综上，选择2006年一2016年的数据为样本规模。
3.4收集与处理各要素变量的数据。
采用现存统计数据分析法收集各要素变量数据，这属于实证研究中非试验研究部分的无干扰研究方法中的一种。根据样本收集公司现有统计数据，再对收集的数据进行适当处理，将数据按要素归类分成6类：K1， ，K2，L1， ，L2， T和N.
4 投入产出模型的形成与优化
完成了生产要素的设计、抽样和数据收集后，就可以对公司的生产函数进行定义，选择函数形式，然后用回归法求得公司的生产函数模型。
4.1选择公司生产函数的形式
生产函数最常见的二种形式是齐次函数和科布--道格拉斯函数（指数型）。通常的作法是事先选择其中一种，按照选定的函数形式回归。这种选择方式简单易行，但回归出的生产函数可能不是与现实最贴配的。 在本次研究中，分别用二种生产函数进行回归，然后再验证两个函数的显著性，取其中一个与实际更吻合的作为最后求得的公司生产函数。采用这种方式选择生产函数类型稍显复杂，但求得的生产函数是最真实的。
4.2回归公司生产函数
根據收集的数据，按照多元生产要素生产函数的回归方法，分别回归指数型和线性型生产函数。遵循先易后难的原则，分步构建二要素、三要素和四要素的生产函数。一方面，由简单到复杂，便于逐渐深入解决问题；另一方面，作为各种生产要素之间相关性的一个初步检查，对各种生产要素与产出的相关性进行定性分析，从中选出相关性较强的要素函数。
依次回归指数型二要素的函数2个，三要素的函数6个，四要素的函数5个，共计回归13个。经初步分析，剔除含有明显逻辑错误的函数，筛选出2个回归方程。
同理，回归线性齐次生产函数13个（过程从略）。
4.3检验回归生产函数的显著性和相关性。
采用方差分析和F值法进行检验，指数型生产函数的相關性、显著性都优于线性型生产函数。所以，选取指数型生产函数（2）式为候选的公司生产函数。且其F = 27. 54> F0.01（4.5） = 11.39。这表明：在要素变量设计时，选取这4个操作变量是成功的。
偏相关系数计算结果： ，表示工业总产值与流动性资产呈正相关关系，相关程度较小： ，且大于其它系数，表示工业总产值与性资产呈正相关关系，相关程度最高； ，表示工业总产值与人工成本总额呈正相关关系，相关程度一般；，表示工业总产值与研发投入呈正相关关系，但相关程度最低。
4.4再次回归生产函数方程
是偏相关系数中绝对值最小的一个，把变量X4对应的研发要素剔除，用剩下的流动性资产、固定性资产和人工成本总额3个要素与工业总产值一并重新建立回归方程，对其对数式
做显著性检验，F=44.05> F0.01（3， 6）=9.78，结果特别显著。从而表明，公司近10年的工业总值与流动性资产、固定性资产、人工成本总额（含知识要素）这3个要素有特别显著的线性关系。
新推导出的公司三要素生产函数
恰好与已有三要素生产函数（1）式吻合。这个结果表明：回归计算出的三要素、四要素生产函数的结果具有一致性。同时，也达到了依次回归二要素、三要素和四要素的生产函数以求相互印证的目的。
5 结束语
通过对美林公司飞机生产过程和生产要素的分析。采用系统抽样方法，求得由流动性资产、固定性资产、人工成本总额（含知识要素）3要素构成的美林公司生产函数，为公司科学定量定性的分析投入产出提供了理论依据。合理、全面地应用投入产出函数，必将为公司赢得更大的经济效益和社会效益，使公司的生产经营更上一层楼。
参考文献
[1] 第一讲 投入产出法的基本原理及其数学模型[J]. 刘惠生. 煤炭经济研究. 2016（01）
[2] 投入产出对称数学模型的建立和应用[J]. 刘起运. 数量经济技术经济研究. 2016（04）
[3] 企业投入产出优化数学模型的建立[J]. 刘大威. 冶金经济与管理. 2016（03）
作者简介：
[1] 胡珍妮（1981-），女（汉），陕西西安，西安交通工程学院，学士学位，讲师，主要从事高等数学、物理教育研究。
[2] 赵倩（1984-），女（汉），陕西西安，西安交通工程学院，学士学位，讲师，主要从事电学类教育研究。
关键词： 投入产出；数学模型；美林公司
【中图分类号】 F223 【文献标识码】 B 【文章编号】 2236-1879（2017）13-0146-02
1 引言
生产函数也称收益函数，是反映生产过程中生产要素的投入与产出之间关系的数学模型，表示一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产所使用的各种生产要素的数量与它们所产生的最大产量之间的关系。它是一种投入产出数学模型，是研究复杂生产决策问题的工具。
建立美林投入产出数学模型，就要对公司生产过程、生产要素配置进行研究，分析和设计各个生产要素，并通过各要素量值推演和验证公司生产函数。
2 公司生产要素分析
2.1资产要素的分类与选择。
公司资产划分为流动性资产和固定性资产。流动性资产，这里特指资产负债表中以存货为代表的流动资产项目下的内容。这类资产的变现能力较强，资产本身安全性好，运营过程中风险较小，在一定程度上代表原材料、半成品和成品的投入，应该将其作为一个投入要素，用K1表示。
固定性资产，是对应于流动性资产以外的所有资产，这里特指以固定资产为代表的非流动资产。这类资产的变现能力较差，资产本身的安全性不如流动资产，运营过程中存在一定经营风险，在一定程度上能够反映公司的加工、制造技术水平，应该将其作为一个投入要素，用K2表示。
2.2劳动要素的分类与选择。
生产型劳动力，特指直接从事生产、加工过程的工人，包括基本生产工人、辅助生产工人等。这类人员是公司生产的骨干力量，直接决定着产量水平，应该将其作为一个投入要素，用L1表示。
智力型劳动力，特指从事技术、工艺、管理工作的技术人员，包括设计员、工艺员、技术员、各专业管理人员、辅助人员等。这类人员是公司技术与管理的骨干力量，间接决定着产量水平，也应该将其作为一个投入要素，用L2表示。
劳动力的单位可以采用实物指标-人，表示投入人力的多少；也可以采用价值指标-万元，表示投入劳动力的成本价值，以便更客观地反映人力资源要素的投入价值。
2.3产出变量的定义。
公司的產出指标有三类：一是实物指标，单位是件、套、架……；二是工作量指标，单位是工时（小时）；三是价值指标，单位是万元、亿元等。在飞机生产过程中，生产单位工作量的考核内容和考核方式
大同小异，有的实行计时工资制，按工时统计和考核；有的实行计件工资制，按件数进行考核；大部分实行价值指标考核，按工业总产值来考核。
联系公司实际情况，按价值指标进行考核的适用性较强，实物指标和工作量指标通过换算可以转化成价值指标。这样，即统一了核算尺度，又可以消除不同型号飞机生产任务量有差异的影响。所以，选择工业总产值来反映产出的能力，具有通用性和代表性，用Q表示。
综上分析，围绕飞机生产过程的产出变量Q选择了6个生产要素变量，分别是流动性资产K1、固定性资产K2、生产型劳动力L1，智力型劳动力L2，技术进步T和知识N。其中：资产K=K1+K2，劳动力L =L1+L2。
3 生产要素抽样设计与数据处理
3.1选择研究总体和要素范围。
在抽样选择上，挑选与飞机生产密切相关的、可以度量的重要要素为代表进行研究。
首先进行初级抽样，选择研究的单位与群体，确定了与飞机生产密切相關的两个独立单位-公司本部和美林国际。
然后进行次级抽样，选定所研究的生产要素。根据现代生产要素理论，选择的公司生产要素为资产、劳动力、技术进步和知识。
3.2选择抽样方法。
常用的抽样方法有4种：随机抽样、分层随机抽样、聚类抽样和系统抽样。在本次研究中，根据研究对象的特征，选择系统抽样方法，对上述确定的研究总体进行整体取样。
在公司实际生产过程中，各种投入要素的量值与对应产值的量值是一个连续不间断的对应关系，通常以月末的时点数来表示，如统计报表、会计报表等。同时，飞机生产性质决定了每年末的时点数最具有代表性，可以比较全面地反映每年一个生产周期内的投入与产出状况。因此，选择年末的时点数为样本，代表公司总体投入与产出的数量。
3.3确定样本规模。
从美林发展历程看，从2006年开始，公司就进入了一个快速发展阶段，一直持续至今。取这一阶段为研究对象比较有现实意义。同时，按照数学计算要求，为了进行统计回归计算，应选择不少于10年期间数据。综上，选择2006年一2016年的数据为样本规模。
3.4收集与处理各要素变量的数据。
采用现存统计数据分析法收集各要素变量数据，这属于实证研究中非试验研究部分的无干扰研究方法中的一种。根据样本收集公司现有统计数据，再对收集的数据进行适当处理，将数据按要素归类分成6类：K1， ，K2，L1， ，L2， T和N.
4 投入产出模型的形成与优化
完成了生产要素的设计、抽样和数据收集后，就可以对公司的生产函数进行定义，选择函数形式，然后用回归法求得公司的生产函数模型。
4.1选择公司生产函数的形式
生产函数最常见的二种形式是齐次函数和科布--道格拉斯函数（指数型）。通常的作法是事先选择其中一种，按照选定的函数形式回归。这种选择方式简单易行，但回归出的生产函数可能不是与现实最贴配的。 在本次研究中，分别用二种生产函数进行回归，然后再验证两个函数的显著性，取其中一个与实际更吻合的作为最后求得的公司生产函数。采用这种方式选择生产函数类型稍显复杂，但求得的生产函数是最真实的。
4.2回归公司生产函数
根據收集的数据，按照多元生产要素生产函数的回归方法，分别回归指数型和线性型生产函数。遵循先易后难的原则，分步构建二要素、三要素和四要素的生产函数。一方面，由简单到复杂，便于逐渐深入解决问题；另一方面，作为各种生产要素之间相关性的一个初步检查，对各种生产要素与产出的相关性进行定性分析，从中选出相关性较强的要素函数。
依次回归指数型二要素的函数2个，三要素的函数6个，四要素的函数5个，共计回归13个。经初步分析，剔除含有明显逻辑错误的函数，筛选出2个回归方程。
同理，回归线性齐次生产函数13个（过程从略）。
4.3检验回归生产函数的显著性和相关性。
采用方差分析和F值法进行检验，指数型生产函数的相關性、显著性都优于线性型生产函数。所以，选取指数型生产函数（2）式为候选的公司生产函数。且其F = 27. 54> F0.01（4.5） = 11.39。这表明：在要素变量设计时，选取这4个操作变量是成功的。
偏相关系数计算结果： ，表示工业总产值与流动性资产呈正相关关系，相关程度较小： ，且大于其它系数，表示工业总产值与性资产呈正相关关系，相关程度最高； ，表示工业总产值与人工成本总额呈正相关关系，相关程度一般；，表示工业总产值与研发投入呈正相关关系，但相关程度最低。
4.4再次回归生产函数方程
是偏相关系数中绝对值最小的一个，把变量X4对应的研发要素剔除，用剩下的流动性资产、固定性资产和人工成本总额3个要素与工业总产值一并重新建立回归方程，对其对数式
做显著性检验，F=44.05> F0.01（3， 6）=9.78，结果特别显著。从而表明，公司近10年的工业总值与流动性资产、固定性资产、人工成本总额（含知识要素）这3个要素有特别显著的线性关系。
新推导出的公司三要素生产函数
恰好与已有三要素生产函数（1）式吻合。这个结果表明：回归计算出的三要素、四要素生产函数的结果具有一致性。同时，也达到了依次回归二要素、三要素和四要素的生产函数以求相互印证的目的。
5 结束语
通过对美林公司飞机生产过程和生产要素的分析。采用系统抽样方法，求得由流动性资产、固定性资产、人工成本总额（含知识要素）3要素构成的美林公司生产函数，为公司科学定量定性的分析投入产出提供了理论依据。合理、全面地应用投入产出函数，必将为公司赢得更大的经济效益和社会效益，使公司的生产经营更上一层楼。
参考文献
[1] 第一讲 投入产出法的基本原理及其数学模型[J]. 刘惠生. 煤炭经济研究. 2016（01）
[2] 投入产出对称数学模型的建立和应用[J]. 刘起运. 数量经济技术经济研究. 2016（04）
[3] 企业投入产出优化数学模型的建立[J]. 刘大威. 冶金经济与管理. 2016（03）
作者简介：
[1] 胡珍妮（1981-），女（汉），陕西西安，西安交通工程学院，学士学位，讲师，主要从事高等数学、物理教育研究。
[2] 赵倩（1984-），女（汉），陕西西安，西安交通工程学院，学士学位，讲师，主要从事电学类教育研究。