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摘要：培养学生的符号意识是一项系统工程，教师要帮助学生感悟符号表征可以让数学表达更简洁、让数学思维更简化、让数学结论更一般化等价值，明确符号表征的时机有理解概念时、表达规律时、解决问题时等，经历从通俗的自然语言到规范的统一语言的符号表征过程。
关键词：符号表征;符号意识;数学表达;数学思维
著名数学家罗素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”《义务教育数学课程标準（2011年版）》也将“符号意识”列为十大核心概念之一，并指出：“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”培养学生的符号意识是一项系统工程，符号表征是一个重要着力点。小学数学教学中，教师可帮助学生感悟符号表征的价值，明确符号表征的时机，经历符号表征的过程。
一、感悟符号表征的价值
培养符号意识的首要任务是启发学生对符号建立意义认同，使学生感受到符号的价值，从而能够自觉运用符号表达数学。数学教育家豪森指出：“没有必要引入任何符号或缩写，除非学生自己已经深深感到了这样做的必要性，以至于他们自己提出这方面的建议。或者至少，当教师提供给他们时，他们能够充分体会到它的优越性。”一般而言，符号表征具有如下价值：
（一）让数学表达更简洁
一方面，人们选择或创造一些形式非常简洁的符号表示数学内容，将这些符号根据数学规则组合获得的符号式也是简洁的。比如，乘法分配律可以概括为：一个数乘以两个数的和，可以用这个数分别和这两个加数相乘，再把它们的积相加，结果不变。用符号表征为：（a+b）×c=a×c+b×c。显然，直观上后者比前者看起来更方便，人们在掌握各符号意义的基础上，解读符号表达式也更加快速。
另一方面，通过数学抽象，我们可以舍弃与数学无关的物理属性，只保留数与形的特点，这也是符号表征更加简洁的重要原因。比如，要求学生表示图1所蕴含的规律，学生有这样几种表达方式：从“画图并涂色表示”（如图2）到“用汉字表示颜色”（如图3）再到“用简洁图形表示”（如图4），学生逐渐认识到“是什么物体”或“是什么颜色”与排列的规律无关，抽象概括了周期规律的本质特点，最终发展为用最简洁的符号表示周期规律。
（二）让数学思维更简化
数学家莱布尼茨曾说：“符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，它以惊人的形式节省了思维。”也就是说，形式简洁的符号不仅看起来具有美感，对人们思考数学也有促进作用。
符号表征让思维简化的原因在于，符号具有压缩信息的功能，其中蕴含大量信息，从而有利于人们快速获取信息、有效分析与解决问题。
比如，猜数游戏：“心里想一个两位数，将数的十位数字乘5，加7，再2倍之，个位数字不变，告诉我最后结果，我就能知道你心里想的那个数。”不借助任何符号，学生基本无从思考。而有了符号，问题就变得非常简单，两位数可以用10a+b表示，根据问题中的运算得2（5a+7）+b=（10a+b）+14，可见原数就是用结果减去14得到的差。
（三）让数学结论更一般化
符号更重要的价值在于符号能参与运算和推理过程，从而使获得的结论具有一般性。理解符号表示任意数，学生才能根据数量关系用符号建立代数式，表示数学公式、运算律和数学模型等，从而一般化地表示数学。
实践发现，学生习惯将符号或字母看作某个未知数，一方面是受认知水平的限制，另一方面是学习中缺少恰当的问题情境来激发学生运用符号表示一般数的内需。因为学生接触的都是具体问题，利用具体数字通过运算推理解决问题后，学生不会再深入思考，“符号表示数”的行为便无从产生。所以，教师要善于将具体问题拓展为一般问题，驱动学生将具体数类推为任意数。
比如，“把25乘2，再加上2，把结果乘5，再减10，再除以10，结果得到什么数？再换一个数试试，你发现了什么？”显然，就该道题而言，学生只需要举几个数算一算就能轻松解决，无须符号表示。而将问题拓展为“任意写一个数，把这个数乘2，再加上2，把结果乘5，再减10，再除以10，结果得到什么数？再换一个数试试，你发现了什么，你能发现其中的奥秘吗？”教师便可以引导学生深入思考：①我们还可以选哪些数去计算？②这样的数多吗？怎么将所有的数都表示出来？问题①主要让学生体会可选的数有无数个，问题②则激发学生用符号概括所有数，使得到的数学结论一般化。
二、明确符号表征的时机
符号意识是一种主动使用符号的心理倾向，需要在广泛的运用中养成。因而，教师需抓住并让学生明确可以进行符号表征的时机，引导学生用符号表示数学内容。
（一）理解概念时
概念是抽象的，小学数学概念一般借助文字语言以描述性方式表达，不易理解。将文字概念转化为符号表征，借助图形或字母等符号简洁表示概念，能使抽象的概念变得形象直观，便于学生理解与记忆。
比如，质数和合数的概念，苏教版小学数学教材指出：“2、3、5这几个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。6、8、9这几个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。”教学时，教师可以创设拼长方形的活动，将上述概念转化为符号表征。“用若干面积为1的正方形拼长方形，面积为5的长方形有几种拼法？面积为6的呢？”这引导学生发现：质数只能拼出一种，合数能拼出两种及以上。抽象的概念由此被赋予了形象直观的符号意义。
（二）表达规律时
数学规律概括了一类问题中普遍存在的数的变化特点。掌握和运用数学规律，能减轻思维负担，提高解决问题的效率。数学规律具有概括性和普适性，往往需要借助符号表达才能清晰体现出这一特点。小学数学教材中的运算律、商不变的规律、积的变化规律等均属于数学规律，教师一般会引导学生用符号表示，这是培养学生符号意识的好机会。但遇到非教材内容时，教师容易简单处理，错失培养学生符号意识的契机。 比如，在图5中任意框出“十字架”形的5个数，说出5个数的和与中间的数有什么关系，我们不难通过举例解决问题。但若是引导学生深入思考，“框出其他5个数是不是也有这样的规律”“是不是框出任意5个数都有这样的规律”等，就能激发学生进行符号表征的内需。在这些问题的驱动下，学生能够意识到仅举一个或几个例子是不够的，需要想办法表示所有的情況，即用a表示中间数，用“a-5”“a+5”“a-1”“a+1”分别表示上下左右四个数，5个数相加的和为5a。
（三）解决问题时
解决问题与符号意识密切相关。小学数学教学需要培养学生“四能”。某种程度来说，“提出问题”是用符号抽象和表达问题，“分析问题”要借助符号运算和推理，“解决问题”更是要通过符号建立数学模型，形成解决一类问题的一般方法。
比如，对于“搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要几根小棒？搭3个正方形呢？搭100个这样的正方形呢？”这一问题，搭2个、3个正方形时，学生可以用画一画、数一数解决问题，但搭100个时，学生就需要探索正方形个数与小棒根数之间的关系，根据关系解决问题。显然，这样的问题无穷无尽，所以要启发学生用符号表示正方形个数与小棒根数，从而一般化地解决问题。
总之，遇到需要简洁表示或一般化表达数学的情况，都可以引入符号，让学生结合当下的具体情境，理解运用符号表征的缘由和符号含义，促使学生今后遇到类似情况时自觉运用符号。
三、经历符号表征的过程
符号意识培养的重要手段是带领学生经历用符号表征的过程。我们可引导学生在参与数学活动，建构数学意义的基础上，依次用“通俗的自然语言”“简洁的个体语言”“规范的统一语言”进行数学表达，有序经历用符号表征的过程。
（一）用自然语言通俗表达
教师需要创设情境，引导学生参与数学活动，在活动中理解数学内容的本质，形成内部语言。以此为基础，教师驱动学生出声表达所建构的数学意义。该阶段的表达，学生主要借助自然语言（文字）进行，教师主要的关注点是学生是否形成了正确的理解。
比如，教学“乘法分配律”时，教师先让学生列式解决图6中的问题，学生将两种方法列成等式（6+4）×24=6×24+4×24。然后，让学生比一比，寻找等号两边算式的联系。接着，让学生写几组这样的算式，算一算是否相等。最后，让学生观察这几组算式，得出发现。这最后一步就是引导学生用自然语言表达乘法分配律。值得注意的是，在表达规律前，学生要经历理解规律、建构意义的过程，即经历前面的步骤，这是不可或缺的认知过程。
（二）用个体语言简洁表达
在学生正确理解数学意义，能用自然语言表达的基础上，教师要激发其简洁表达的内需，驱动学生借助汉字、图形、字母等符号简化自然语言。显然，该阶段学生会出现多样化的表达，是个体相对简洁的表示，其重要性不言而喻。正如史宁中教授指出的，“应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号意识的决定性因素”。
比如，教学“乘法分配律”时，在学生已经会用自然语言表达规律的基础上，教师继续启发学生思考：符合这一规律的算式多吗？能写得完吗？能不能用一道简洁的算式将符合规律的所有算式都包括进去。实践发现，学生能想出用含有文字、图形、字母等符号的算式，如（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙，来表达规律。但不难预见，多样化表示又会带来交流的不便，需要进一步改进表达方式。
（三）用统一语言规范表达
教师需要在个体多样化表达的基础上激发统一表达的内需，再引出规范的符号表达，帮助学生理解意义。该过程也可以看作数学表达从多样化到优化的发展。
比如，教学“乘法分配律”时，在学生的多样化表达基础上，教师进一步引发学生思考：大家想出的方法看起来不一样，但其实都是表示乘法分配律，为了交流更加方便，我们将规律统一表示为（a+b）×c=a×c+b×c。
参考文献：
[1] 邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2014.
[2] 朱立明，胡洪强，马云鹏.“符号意识”研究：要素、特征与策略[J].中小学教师培训，2017（4）.
[3] 朱立明，马云鹏.义务教育阶段学生符号意识发展水平的实证研究[J].课程·教材·教法，2018（3）.
[4] 李艳琴，宋乃庆.小学低段数学符号意识测评指标体系的初步构建[J].教育学报，2016（4）.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度课题“小学数学高段教学实施数学抽象研究”（编号：Cb/2020/02/63）的阶段性研究成果。
关键词：符号表征;符号意识;数学表达;数学思维
著名数学家罗素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”《义务教育数学课程标準（2011年版）》也将“符号意识”列为十大核心概念之一，并指出：“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”培养学生的符号意识是一项系统工程，符号表征是一个重要着力点。小学数学教学中，教师可帮助学生感悟符号表征的价值，明确符号表征的时机，经历符号表征的过程。
一、感悟符号表征的价值
培养符号意识的首要任务是启发学生对符号建立意义认同，使学生感受到符号的价值，从而能够自觉运用符号表达数学。数学教育家豪森指出：“没有必要引入任何符号或缩写，除非学生自己已经深深感到了这样做的必要性，以至于他们自己提出这方面的建议。或者至少，当教师提供给他们时，他们能够充分体会到它的优越性。”一般而言，符号表征具有如下价值：
（一）让数学表达更简洁
一方面，人们选择或创造一些形式非常简洁的符号表示数学内容，将这些符号根据数学规则组合获得的符号式也是简洁的。比如，乘法分配律可以概括为：一个数乘以两个数的和，可以用这个数分别和这两个加数相乘，再把它们的积相加，结果不变。用符号表征为：（a+b）×c=a×c+b×c。显然，直观上后者比前者看起来更方便，人们在掌握各符号意义的基础上，解读符号表达式也更加快速。
另一方面，通过数学抽象，我们可以舍弃与数学无关的物理属性，只保留数与形的特点，这也是符号表征更加简洁的重要原因。比如，要求学生表示图1所蕴含的规律，学生有这样几种表达方式：从“画图并涂色表示”（如图2）到“用汉字表示颜色”（如图3）再到“用简洁图形表示”（如图4），学生逐渐认识到“是什么物体”或“是什么颜色”与排列的规律无关，抽象概括了周期规律的本质特点，最终发展为用最简洁的符号表示周期规律。
（二）让数学思维更简化
数学家莱布尼茨曾说：“符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，它以惊人的形式节省了思维。”也就是说，形式简洁的符号不仅看起来具有美感，对人们思考数学也有促进作用。
符号表征让思维简化的原因在于，符号具有压缩信息的功能，其中蕴含大量信息，从而有利于人们快速获取信息、有效分析与解决问题。
比如，猜数游戏：“心里想一个两位数，将数的十位数字乘5，加7，再2倍之，个位数字不变，告诉我最后结果，我就能知道你心里想的那个数。”不借助任何符号，学生基本无从思考。而有了符号，问题就变得非常简单，两位数可以用10a+b表示，根据问题中的运算得2（5a+7）+b=（10a+b）+14，可见原数就是用结果减去14得到的差。
（三）让数学结论更一般化
符号更重要的价值在于符号能参与运算和推理过程，从而使获得的结论具有一般性。理解符号表示任意数，学生才能根据数量关系用符号建立代数式，表示数学公式、运算律和数学模型等，从而一般化地表示数学。
实践发现，学生习惯将符号或字母看作某个未知数，一方面是受认知水平的限制，另一方面是学习中缺少恰当的问题情境来激发学生运用符号表示一般数的内需。因为学生接触的都是具体问题，利用具体数字通过运算推理解决问题后，学生不会再深入思考，“符号表示数”的行为便无从产生。所以，教师要善于将具体问题拓展为一般问题，驱动学生将具体数类推为任意数。
比如，“把25乘2，再加上2，把结果乘5，再减10，再除以10，结果得到什么数？再换一个数试试，你发现了什么？”显然，就该道题而言，学生只需要举几个数算一算就能轻松解决，无须符号表示。而将问题拓展为“任意写一个数，把这个数乘2，再加上2，把结果乘5，再减10，再除以10，结果得到什么数？再换一个数试试，你发现了什么，你能发现其中的奥秘吗？”教师便可以引导学生深入思考：①我们还可以选哪些数去计算？②这样的数多吗？怎么将所有的数都表示出来？问题①主要让学生体会可选的数有无数个，问题②则激发学生用符号概括所有数，使得到的数学结论一般化。
二、明确符号表征的时机
符号意识是一种主动使用符号的心理倾向，需要在广泛的运用中养成。因而，教师需抓住并让学生明确可以进行符号表征的时机，引导学生用符号表示数学内容。
（一）理解概念时
概念是抽象的，小学数学概念一般借助文字语言以描述性方式表达，不易理解。将文字概念转化为符号表征，借助图形或字母等符号简洁表示概念，能使抽象的概念变得形象直观，便于学生理解与记忆。
比如，质数和合数的概念，苏教版小学数学教材指出：“2、3、5这几个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。6、8、9这几个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。”教学时，教师可以创设拼长方形的活动，将上述概念转化为符号表征。“用若干面积为1的正方形拼长方形，面积为5的长方形有几种拼法？面积为6的呢？”这引导学生发现：质数只能拼出一种，合数能拼出两种及以上。抽象的概念由此被赋予了形象直观的符号意义。
（二）表达规律时
数学规律概括了一类问题中普遍存在的数的变化特点。掌握和运用数学规律，能减轻思维负担，提高解决问题的效率。数学规律具有概括性和普适性，往往需要借助符号表达才能清晰体现出这一特点。小学数学教材中的运算律、商不变的规律、积的变化规律等均属于数学规律，教师一般会引导学生用符号表示，这是培养学生符号意识的好机会。但遇到非教材内容时，教师容易简单处理，错失培养学生符号意识的契机。 比如，在图5中任意框出“十字架”形的5个数，说出5个数的和与中间的数有什么关系，我们不难通过举例解决问题。但若是引导学生深入思考，“框出其他5个数是不是也有这样的规律”“是不是框出任意5个数都有这样的规律”等，就能激发学生进行符号表征的内需。在这些问题的驱动下，学生能够意识到仅举一个或几个例子是不够的，需要想办法表示所有的情況，即用a表示中间数，用“a-5”“a+5”“a-1”“a+1”分别表示上下左右四个数，5个数相加的和为5a。
（三）解决问题时
解决问题与符号意识密切相关。小学数学教学需要培养学生“四能”。某种程度来说，“提出问题”是用符号抽象和表达问题，“分析问题”要借助符号运算和推理，“解决问题”更是要通过符号建立数学模型，形成解决一类问题的一般方法。
比如，对于“搭1个正方形需要4根小棒，搭2个正方形需要几根小棒？搭3个正方形呢？搭100个这样的正方形呢？”这一问题，搭2个、3个正方形时，学生可以用画一画、数一数解决问题，但搭100个时，学生就需要探索正方形个数与小棒根数之间的关系，根据关系解决问题。显然，这样的问题无穷无尽，所以要启发学生用符号表示正方形个数与小棒根数，从而一般化地解决问题。
总之，遇到需要简洁表示或一般化表达数学的情况，都可以引入符号，让学生结合当下的具体情境，理解运用符号表征的缘由和符号含义，促使学生今后遇到类似情况时自觉运用符号。
三、经历符号表征的过程
符号意识培养的重要手段是带领学生经历用符号表征的过程。我们可引导学生在参与数学活动，建构数学意义的基础上，依次用“通俗的自然语言”“简洁的个体语言”“规范的统一语言”进行数学表达，有序经历用符号表征的过程。
（一）用自然语言通俗表达
教师需要创设情境，引导学生参与数学活动，在活动中理解数学内容的本质，形成内部语言。以此为基础，教师驱动学生出声表达所建构的数学意义。该阶段的表达，学生主要借助自然语言（文字）进行，教师主要的关注点是学生是否形成了正确的理解。
比如，教学“乘法分配律”时，教师先让学生列式解决图6中的问题，学生将两种方法列成等式（6+4）×24=6×24+4×24。然后，让学生比一比，寻找等号两边算式的联系。接着，让学生写几组这样的算式，算一算是否相等。最后，让学生观察这几组算式，得出发现。这最后一步就是引导学生用自然语言表达乘法分配律。值得注意的是，在表达规律前，学生要经历理解规律、建构意义的过程，即经历前面的步骤，这是不可或缺的认知过程。
（二）用个体语言简洁表达
在学生正确理解数学意义，能用自然语言表达的基础上，教师要激发其简洁表达的内需，驱动学生借助汉字、图形、字母等符号简化自然语言。显然，该阶段学生会出现多样化的表达，是个体相对简洁的表示，其重要性不言而喻。正如史宁中教授指出的，“应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生符号意识的决定性因素”。
比如，教学“乘法分配律”时，在学生已经会用自然语言表达规律的基础上，教师继续启发学生思考：符合这一规律的算式多吗？能写得完吗？能不能用一道简洁的算式将符合规律的所有算式都包括进去。实践发现，学生能想出用含有文字、图形、字母等符号的算式，如（甲+乙）×丙=甲×丙+乙×丙，来表达规律。但不难预见，多样化表示又会带来交流的不便，需要进一步改进表达方式。
（三）用统一语言规范表达
教师需要在个体多样化表达的基础上激发统一表达的内需，再引出规范的符号表达，帮助学生理解意义。该过程也可以看作数学表达从多样化到优化的发展。
比如，教学“乘法分配律”时，在学生的多样化表达基础上，教师进一步引发学生思考：大家想出的方法看起来不一样，但其实都是表示乘法分配律，为了交流更加方便，我们将规律统一表示为（a+b）×c=a×c+b×c。
参考文献：
[1] 邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2014.
[2] 朱立明，胡洪强，马云鹏.“符号意识”研究：要素、特征与策略[J].中小学教师培训，2017（4）.
[3] 朱立明，马云鹏.义务教育阶段学生符号意识发展水平的实证研究[J].课程·教材·教法，2018（3）.
[4] 李艳琴，宋乃庆.小学低段数学符号意识测评指标体系的初步构建[J].教育学报，2016（4）.
*本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度课题“小学数学高段教学实施数学抽象研究”（编号：Cb/2020/02/63）的阶段性研究成果。