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【摘要】中学数学教学最早被理解为传授知识,在这种情况下,过去偏重演绎论证的训练,注重灌输现成的知识。随着对中学数学教学的深入研究,更加注重了在教学中渗透数学思想方法,培养数学全面发展的开拓型人才。在这种情况下,传统的封闭型数学问题不能完全满足对学生思维能力的训练,开放性试题随之产生,并且日益在考试中占有一席之地。
【关键词】开放性试题 创新
随着中国的日益发展,传统的教育模式已经不能适应知识经济的到来,现在知识教学中对确定事实的灌输、唯一答案的寻求,封闭习题的操练,难以适应对创新意识、创新精神、创新能力培养的要求。必须改造我们的教学,将确定的事实、探究真理的方法和开放性、创造性态度融为一体,实现知识教学的革命,素质教育才可能真正深入。
一、开放性试题产生的背景
1、开放性试题产生的国际背景
70年代,由日本学者首先研究,以后得到东西方许多国家数学教育界认同的数学开放题的出现,是人们站在新时代历史的高度上对数学教育改革的新探索,它对培养人的创造性思维和培养创新人才有着积极而重要的作用。
2、开放性试题产生的国内背景
中国的数学教育有自己的历史文化背景和鲜明的民族特点,中国学生在数学奥林匹克竞赛以及国际数学教育评价中的优异测试成绩,一方面表明了中国数学教育在国际教育界享有很好的声誉,我们应该引以自豪:中国在教育投入很少的情况下,学生的数学成绩能居世界前列。另一方面表明中国学生花在数学作业上的时间比其他国家多,但是优秀学生受考试的束缚,创造性不强,数学教学中的创新性不够。中国的学生虽然考试能力很强,但是世界上最好的科学家却往往不是出现在中国。这是不是说明了中国的考试体制不够科学完善?我们需要重新审视我们的考试制度和我们的教学模式。开放性试题的提出,无疑是合乎时宜的,它有利于消除学生的思维定势,提高学生全面思维能力,有利于培养创造性人才和开拓性人才。
3、新教材在全国范围内的普及
高中新教材无论是在教材课文还是在课后练习、习题部分都体现出新的教育理念。如:构建共同基础,提供发展平台;倡导积极主动、勇于探索的学习模式;注重提高学生的数学思维能力;与时俱进地认识“双基”……与以往教材相比,现在用的教材课文中设置了大量供学生课后思考的问题,练习部分也设置了许多探究式的开放性试题。为了体现不同的人在教育上得到不同的发展的理念,开放题就应运而生,它有利于各层次学生显示其教学能力。
二、数学开放性试题的含义
1、何谓数学开放性试题
数学开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的,是指能引起学生发散性思维的一种数学试题,它的条件、问题变化不定型,有的条件隐蔽,有的条件多余,有的结论不一,有的解法多种等。开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力,激发学生独立思考和创新的意识,这是一种新的教育理念的具体体现。开放题是最富有教育价值的一种数学问题的题型,常见的形式有以下几种:
其一是给出条件,没有给出明确的结论,或者结论不确定的问题,需要解题者探索出结论并加以证明。其二是给出结论,没有给出条件的问题。需要解题者分析出应具备的条件,并加以证明。其三是改变已知问题的条件,探讨结论相应地会发生什么变化,或者改变已知问题的结论,探讨条件相应地需要发生什么变化。其四是从实际问题出发,给出一些数据,通过对数据的分析,建立数学模型,使问题得到解决。
2、数学开放性试题的特点
戴再平认为,数学开放题一般具有以下几个特点:
①问题的条件常常是不完备的;②问题的答案是不确定的,且具有层次性;③问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性;④问题的研究具有探索性与发展性;⑤问题的教学具有参与性和学生主体性。
而刘萍认为开放题具有以下特点:
①非完备性:在开放题中,要么条件不充足,要么结论被隐去,要么解题方法和依据不明确,因而其组成要素是不完备的。②不确定性:对于条件开放题而言,其条件可能是多种多样的;对于结论开放题而言,其结论是不确定的;对于策略开放题而言,其解题策略和依据是不唯一的;对于综合开放题而言,它只是给出一定的问题情景,其条件、解题策略和结论都需解题者在情景中去寻找和设定。③发散性:在解答开放题时,必须打破原有的思维模式,展开联想和想象的翅膀,从多角度、多方位寻找答案,因而思维模式和方向呈现出发散性。④探究性:开放题的解答没有固定的、现成的模式可循,解题者必须要进行主动思索,来设计解题方案进行解答,因而,开放题的解决需要具有大胆的探索精神和一定的探索能力。⑤层次性:解答开放题的多样性,决定了它能够满足不同层次学生的需求,使他们都能在自己的能力范围内探索问题,从而体现出层次性。⑥发展性:开放题能够引起学生认知结构发生质的变化,使他们的知识和能力得到较大程度的发展和提高。⑦创新性:在解答开放题的过程中,可能会引出新的问题,也可能会归纳出更一般的问题,因而,开放题有利于培养学生的创新意识和创造能力。
3、开放型试题的类型
其类型包括条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型、解法开放型、情景开放型、设计开放型、信息开放型、实践开放型等。
(1)条件开放型
如果一个数学开放题,其未知的要素是假设,则称为条件型开放题.这类开放题中往往给出结论,要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。
第一种情况:条件(信息)选择型开放性试题,此类试题的特点是题目中提供多种信息 ,其中用于解题的信息为有用信息,对解题无用的信息为多余(或干扰)信息;解题的关键是:识别各种信息,排除干扰思路的多余信息,联系旧知,合理有序地选择运用有用信息。
例1:f(x)是定义域为R的一个函数, 给出下列五个论断:①f(x)的值域为R;②f(x)是R上的单调递减函数;③f(x)是奇函数;④f(x)在任意区间[a,b](af(b);⑤f(x)有反函数以其中某一论断为条件,另一论断为结论(例如:⑤①),至少写出你认为正确的3个命题。
解析:本题考察对于函数性质的理解,据单调性的定义,不难知道:②④等价,又由于单调函数必有反函数,所以,不难写出3个正确命题:②⑤;④⑤;②④(或④②)。
进一步思考,函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系,而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系。所以,可以知道,只有上述3个正确命题。
第二种情况:条件增补型开放型试题:
此类试题的特点是:解答题目的条件不够,需要增加补充必要的条件才能正确解出合理的答案,补充的条件可能是一个,也可能是多个的组合。解题的关键是:认真审题,把握内在联系,根据解题途径增加补充恰当的条件。
三、高中数学开放题的教育价值
高中数学开放题,弄清它的含义、分类,一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育,充分发挥开放题的教育价值。笔者认为开放题具有以下教育价值:
1、开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围
由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性,不同的学生常常有不同的解题策略和得到不同的结果,这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间,学生之间通过开放性问题的讨论,能体会到同一个数学问题可以从不同的角度去观察,可以有不同的解决方式,相互之间受到有益的启发。同时,学生之间的讨论过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。学生在数学学习的交流中不断地进行讨论、表达,有利于倡导民主的教学氛围。
2、开放题的教学有利于学生体验成功,树立信心
由于学生对开放性试题的解答彼此可以是互不相同的,学生采用的策略也可以是不相同的,解答完开放题后学生的概括能力和知识运用能力得以提高,并且在解答过程中树立了信心,体验到成功的乐趣。
3、开放题的教学有利于培养学生的思维能力
(1)开放题为学生的积极思维创造设了丰富的问题情境
由于开放题的多样性、层次性和探索性,它提供给学生的问题情境比封闭题所能提供的问题情境更加丰富、更加复杂,很多实际生活题中的问题情境对学生富有很大的挑战性。因此,更能激发学生的积极思考和大胆的想象。解决数学开放题常常需要学生变换思维的方式和角度,这将有利于培养学生思想的广阔性、灵活性和深刻性,无论是学生的形象思维还是逻辑思维能力都能得到培养和发展。
(2)开放题的教学为学生提供了创新的机会,有利于培养学生创新思维能力。
解决高中数学开放题容易激起创造欲望。在学生解决开放题的过程中,通过分析后独立提出了一种新的解题方法或独立构造出一种新的方案,这本身就是一种创造。
在高中数学开放题的教学中,教师往往引导学生根据所给的已知条件以及经验和方法,对问题广泛联想,积极探索、猜想,以便寻找规律,使问题得到合理解决。
数学开放题由于具有探索性和多样性,不同的问题应有不同的解题策略,需要不断研究和推敲,常常要不循常规、勇于创新,考虑的问题存在着多种可能性。这样,有利于倡导民主的教学氛围,有利于学生体验成功,树立信心有利于培养思维的独创性、多向性和灵活性,从而提高了学生的创新思想能力.
【参考文献】
北京市开放型问题研讨组;对开放型问题的认识[J],数学通讯,1994年第3期
罗增儒:数学解题学引论[M],陕西师范大学出版社
戴再平:高中数学开放性试题[M],上海教育出版社
刘淼:例谈数学开放性试题的解法[J],数学教学通讯,2005年第7期
刘萍:数学开放题与学生主体意识的培养[J],中学数学教学,1999(1)
冯俊:惟有观念“放开”才看得见教学“开放”[J],中学数学,2006年第2期
辛玉忠:开放性试题在数学教学中的作用,枣庄师专学报 ,2001年10月
雷建萍:浅谈数学开放性问题及其教学[J],学科教学, 2004年7月
王思俭:高考数学试题中的开放型题 [J],中学数学月刊, 2000年第2期
高建兴、 李映芬:数学开放题教研在师专大有作为,保山师专学报,2001年10月
(作者单位:725000陕西省安康市第二中学)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】开放性试题 创新
随着中国的日益发展,传统的教育模式已经不能适应知识经济的到来,现在知识教学中对确定事实的灌输、唯一答案的寻求,封闭习题的操练,难以适应对创新意识、创新精神、创新能力培养的要求。必须改造我们的教学,将确定的事实、探究真理的方法和开放性、创造性态度融为一体,实现知识教学的革命,素质教育才可能真正深入。
一、开放性试题产生的背景
1、开放性试题产生的国际背景
70年代,由日本学者首先研究,以后得到东西方许多国家数学教育界认同的数学开放题的出现,是人们站在新时代历史的高度上对数学教育改革的新探索,它对培养人的创造性思维和培养创新人才有着积极而重要的作用。
2、开放性试题产生的国内背景
中国的数学教育有自己的历史文化背景和鲜明的民族特点,中国学生在数学奥林匹克竞赛以及国际数学教育评价中的优异测试成绩,一方面表明了中国数学教育在国际教育界享有很好的声誉,我们应该引以自豪:中国在教育投入很少的情况下,学生的数学成绩能居世界前列。另一方面表明中国学生花在数学作业上的时间比其他国家多,但是优秀学生受考试的束缚,创造性不强,数学教学中的创新性不够。中国的学生虽然考试能力很强,但是世界上最好的科学家却往往不是出现在中国。这是不是说明了中国的考试体制不够科学完善?我们需要重新审视我们的考试制度和我们的教学模式。开放性试题的提出,无疑是合乎时宜的,它有利于消除学生的思维定势,提高学生全面思维能力,有利于培养创造性人才和开拓性人才。
3、新教材在全国范围内的普及
高中新教材无论是在教材课文还是在课后练习、习题部分都体现出新的教育理念。如:构建共同基础,提供发展平台;倡导积极主动、勇于探索的学习模式;注重提高学生的数学思维能力;与时俱进地认识“双基”……与以往教材相比,现在用的教材课文中设置了大量供学生课后思考的问题,练习部分也设置了许多探究式的开放性试题。为了体现不同的人在教育上得到不同的发展的理念,开放题就应运而生,它有利于各层次学生显示其教学能力。
二、数学开放性试题的含义
1、何谓数学开放性试题
数学开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的,是指能引起学生发散性思维的一种数学试题,它的条件、问题变化不定型,有的条件隐蔽,有的条件多余,有的结论不一,有的解法多种等。开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力,激发学生独立思考和创新的意识,这是一种新的教育理念的具体体现。开放题是最富有教育价值的一种数学问题的题型,常见的形式有以下几种:
其一是给出条件,没有给出明确的结论,或者结论不确定的问题,需要解题者探索出结论并加以证明。其二是给出结论,没有给出条件的问题。需要解题者分析出应具备的条件,并加以证明。其三是改变已知问题的条件,探讨结论相应地会发生什么变化,或者改变已知问题的结论,探讨条件相应地需要发生什么变化。其四是从实际问题出发,给出一些数据,通过对数据的分析,建立数学模型,使问题得到解决。
2、数学开放性试题的特点
戴再平认为,数学开放题一般具有以下几个特点:
①问题的条件常常是不完备的;②问题的答案是不确定的,且具有层次性;③问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性;④问题的研究具有探索性与发展性;⑤问题的教学具有参与性和学生主体性。
而刘萍认为开放题具有以下特点:
①非完备性:在开放题中,要么条件不充足,要么结论被隐去,要么解题方法和依据不明确,因而其组成要素是不完备的。②不确定性:对于条件开放题而言,其条件可能是多种多样的;对于结论开放题而言,其结论是不确定的;对于策略开放题而言,其解题策略和依据是不唯一的;对于综合开放题而言,它只是给出一定的问题情景,其条件、解题策略和结论都需解题者在情景中去寻找和设定。③发散性:在解答开放题时,必须打破原有的思维模式,展开联想和想象的翅膀,从多角度、多方位寻找答案,因而思维模式和方向呈现出发散性。④探究性:开放题的解答没有固定的、现成的模式可循,解题者必须要进行主动思索,来设计解题方案进行解答,因而,开放题的解决需要具有大胆的探索精神和一定的探索能力。⑤层次性:解答开放题的多样性,决定了它能够满足不同层次学生的需求,使他们都能在自己的能力范围内探索问题,从而体现出层次性。⑥发展性:开放题能够引起学生认知结构发生质的变化,使他们的知识和能力得到较大程度的发展和提高。⑦创新性:在解答开放题的过程中,可能会引出新的问题,也可能会归纳出更一般的问题,因而,开放题有利于培养学生的创新意识和创造能力。
3、开放型试题的类型
其类型包括条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型、解法开放型、情景开放型、设计开放型、信息开放型、实践开放型等。
(1)条件开放型
如果一个数学开放题,其未知的要素是假设,则称为条件型开放题.这类开放题中往往给出结论,要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件。
第一种情况:条件(信息)选择型开放性试题,此类试题的特点是题目中提供多种信息 ,其中用于解题的信息为有用信息,对解题无用的信息为多余(或干扰)信息;解题的关键是:识别各种信息,排除干扰思路的多余信息,联系旧知,合理有序地选择运用有用信息。
例1:f(x)是定义域为R的一个函数, 给出下列五个论断:①f(x)的值域为R;②f(x)是R上的单调递减函数;③f(x)是奇函数;④f(x)在任意区间[a,b](af(b);⑤f(x)有反函数以其中某一论断为条件,另一论断为结论(例如:⑤①),至少写出你认为正确的3个命题。
解析:本题考察对于函数性质的理解,据单调性的定义,不难知道:②④等价,又由于单调函数必有反函数,所以,不难写出3个正确命题:②⑤;④⑤;②④(或④②)。
进一步思考,函数的值域与单调性、奇偶性并无直接联系,而且单调性与是否存在反函数之间也不是等价的关系。所以,可以知道,只有上述3个正确命题。
第二种情况:条件增补型开放型试题:
此类试题的特点是:解答题目的条件不够,需要增加补充必要的条件才能正确解出合理的答案,补充的条件可能是一个,也可能是多个的组合。解题的关键是:认真审题,把握内在联系,根据解题途径增加补充恰当的条件。
三、高中数学开放题的教育价值
高中数学开放题,弄清它的含义、分类,一个重要的目的就是要利用开放题对学生进行教育,充分发挥开放题的教育价值。笔者认为开放题具有以下教育价值:
1、开放题的教学有利于倡导民主的教学氛围
由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性,不同的学生常常有不同的解题策略和得到不同的结果,这为学生与学生之间进行交流提供了较大的空间,学生之间通过开放性问题的讨论,能体会到同一个数学问题可以从不同的角度去观察,可以有不同的解决方式,相互之间受到有益的启发。同时,学生之间的讨论过程是学生对数学开放题进行分析、综合、比较等思维活动的过程。学生在数学学习的交流中不断地进行讨论、表达,有利于倡导民主的教学氛围。
2、开放题的教学有利于学生体验成功,树立信心
由于学生对开放性试题的解答彼此可以是互不相同的,学生采用的策略也可以是不相同的,解答完开放题后学生的概括能力和知识运用能力得以提高,并且在解答过程中树立了信心,体验到成功的乐趣。
3、开放题的教学有利于培养学生的思维能力
(1)开放题为学生的积极思维创造设了丰富的问题情境
由于开放题的多样性、层次性和探索性,它提供给学生的问题情境比封闭题所能提供的问题情境更加丰富、更加复杂,很多实际生活题中的问题情境对学生富有很大的挑战性。因此,更能激发学生的积极思考和大胆的想象。解决数学开放题常常需要学生变换思维的方式和角度,这将有利于培养学生思想的广阔性、灵活性和深刻性,无论是学生的形象思维还是逻辑思维能力都能得到培养和发展。
(2)开放题的教学为学生提供了创新的机会,有利于培养学生创新思维能力。
解决高中数学开放题容易激起创造欲望。在学生解决开放题的过程中,通过分析后独立提出了一种新的解题方法或独立构造出一种新的方案,这本身就是一种创造。
在高中数学开放题的教学中,教师往往引导学生根据所给的已知条件以及经验和方法,对问题广泛联想,积极探索、猜想,以便寻找规律,使问题得到合理解决。
数学开放题由于具有探索性和多样性,不同的问题应有不同的解题策略,需要不断研究和推敲,常常要不循常规、勇于创新,考虑的问题存在着多种可能性。这样,有利于倡导民主的教学氛围,有利于学生体验成功,树立信心有利于培养思维的独创性、多向性和灵活性,从而提高了学生的创新思想能力.
【参考文献】
北京市开放型问题研讨组;对开放型问题的认识[J],数学通讯,1994年第3期
罗增儒:数学解题学引论[M],陕西师范大学出版社
戴再平:高中数学开放性试题[M],上海教育出版社
刘淼:例谈数学开放性试题的解法[J],数学教学通讯,2005年第7期
刘萍:数学开放题与学生主体意识的培养[J],中学数学教学,1999(1)
冯俊:惟有观念“放开”才看得见教学“开放”[J],中学数学,2006年第2期
辛玉忠:开放性试题在数学教学中的作用,枣庄师专学报 ,2001年10月
雷建萍:浅谈数学开放性问题及其教学[J],学科教学, 2004年7月
王思俭:高考数学试题中的开放型题 [J],中学数学月刊, 2000年第2期
高建兴、 李映芬:数学开放题教研在师专大有作为,保山师专学报,2001年10月
(作者单位:725000陕西省安康市第二中学)
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文