平面直角坐标系是沟通平面向量的代数性质和几何性质的桥梁，在平面向量的教学过程中引导学生运用好坐标系这一工具，将收到化繁为简，事半功倍的效果.下面以近几年的高考试题为例，例证向量的坐标形式在平面向量问题求解中的应用价值.
　　一、平面向量基本定理的应用
　　例1 （2008年广东理）在平行四边形ABCD中，
　　AC与BD交于点O，E是线段
　　OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若
　　AC=a，
　　BD=b，则AF=（ ）
　　（A） 14a+12
　　b （B） 23
　　a+13b
　　（C） 12a+14
　　b
　　（D） 13a+23
　　b
　　图1
　　解析：将平行四边形ABCD特殊化为矩形，并且限定
　　AB=4，AD=2，根据平面向量基本定理，平面内的任一向量都可以表示为基底的唯一线性组合.
　　i，j
　　是最常用的基底，只要恰当地建立坐标系，基底表示问题就转化为二元一次方程组的求解.
　　解：将平行四边形ABCD特殊化为矩形，并且限定
　　AB=4，AD=2，
　　以AB，AD为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则
　　A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），O（2，1），E（1，32），
　　AC=（4，2），BD=（-4，2），
　　所以AE所在直线方程为：y=32x，DC所在直线方程为：
　　y=2，则直线AE与直线DC的交点为F（43，2），
　　所以AF=（43，2）.
　　设AF=λAC+μBD，
　　则（43，2）=λ（4，2）+μ（-4，2）
　　解得：
　　43
　　=4λ-4μ
　　2=2λ+2μ
　　，
　　解得：
　　λ=23
　　μ=13
　　.
　　所以AF=
　　23
　　a+13b.
　　二、求平面向量的数量积
　　图2
　　例2 （2013年新课标卷2）如图2，已知正方形ABCD的边长为2，E为
　　CD的中点，则
　　AE·BD=.
　　解析：根据平面向量基本定理，平面内的任一向量都可以表示为基底的唯一线性组合.
　　i，j
　　是最常用的基底，只要恰当地建立坐标系，将平面几何中的数量积问题转化为坐标运算求解.
　　解：以
　　AB，AD为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，则
　　A（0，0）
　　，B（2，0），C（2，2），D（0，2），E（1，2），所以AE=（1，2），BD=（-2，2），
　　所以AE·BD=1×（-2）+2×2=2.
　　变式：已知正方形ABCD的边长为2，点E是
　　CD边上的动点，则
　　DE·AD的值为.
　　三、求最值问题
　　图3
　　例3 （2009年安徽卷）给定两个长度为1的平面向量
　　OA和
　　OB，它们的夹角为
　　120°，如图3所示，点C在以O为圆心的圆弧
　　AB上变动，若
　　OC=xOA+y
　　OB其中x，y∈R，则x+y的最大值是.
　　解析：根据平面向量基本定理，平面内的任一向量都可以表示为基底的唯一线性组合. i，j是最常用的基底，只要恰当地建立坐标系，可以利用向量坐标形式将含参最值问题转化为函数的最值问题.
　　解：如图以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则
　　A（1，0），因为∠AOB=120°.
　　所以点B坐标为（-12，32
　　），
　　设
　　∠AOC=α（α∈[0，2π3]），则点C坐标为（cosα，sinα），
　　所以OA=（1，0），OB=（-12
　　，32），OC
　　=（cosα，sinα）.
　　又因为OC=xOA+yOB
　　，所以（cosα，sinα）=x（1，0）+y（-12
　　，32）.
　　所以cosα=x-12y
　　sinα=32y
　　，
　　解得：
　　x=33
　　sinα+cosα
　　y=233
　　sinα
　　.
　　所以x+y=3sinα+cosα（α∈
　　[0，2π3]）.
　　所以x+y=2sin（α+π6）（α∈[0，2π3]）.
　　所以x+y∈[1，2]，所以x+y的最大值为2.
　　总之，合理利用平面向量的坐标形式对于解决平面几何中的向量计算问题可以达到化繁为简，降低问题的目的.