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用分数乘、除法解决问题一直是小学数学教学的一个重点，也是难点。许多教师在教学时，大多是通过让学生根据关键句，写出数量关系式，再根据关系式列出算式。不少学生能正确列出算式，但未必能道出其中的原因，对于为什么要找单位“1”、关键句中隐含了哪些条件等问题都缺少知识之间的沟通，必然导致对问题理解的不深刻。如何沟通才能凸显其中蕴涵的数量关系，以达到对用分数乘除法解决问题的深刻理解。徐利治先生说：“数学直觉既是抽象思维的起点，又是抽象思维的归宿。通过抽象性思维，对数学对象的本质有所洞察，有所概括，这样就形成了更高层次的直觉，从而又可进行更高层次的创造性思维活动。”画图是一个“去情境化”的过程，利用直观表达的图进行比较，抽去了情境，利于学生发现问题的本质，有助于学生进行比较、交流与反思，从而促进对知识的深度理解，知识之间因此结合得更紧密，解决问题的能力就会大大提高，使学生达到完全融会贯通的地步。基于以上认识，在复习时可通过线段图，让学生在比较、交流中沟通不同方法、不同数量关系之间的联系。
教学片段：
一、复习用分数乘法解决的问题
1.出示图1。
师：从图中你知道什么条件？要求什么问题？
师：你能根据图中的条件和问题把它还原成一道文字表达的问题吗？
生：求60的是多少？
生：把60平均分成3份，求两份是多少？
师：怎么计算？
生：60×或60÷3×2
师：两种算法有什么联系？
生：计算60×时，把60和3约分就是60除以3。
[设计意图：一是复习分数乘法的意义，二是学生可通过图示，回忆三年级学过的“求一个数的几分之几是多少”，沟通分数乘法与整数除法之间的联系，对分数的理解就更广了。]
2.出示图2。
师：这幅图由两条线段构成，知道为什么要画两条线段吗？能不能说说图示表达了什么意思？
学生列式计算：60×=40（人）
3.沟通与整数中“求一个数的几倍是多少问题”的联系。
师：其实，它跟我们以前学过的一种问题有联系，你们还记得吗？
生：是“求一个数的几倍是多少”的问题。（动态变成图3）
师：它们都有哪些联系呢？
生1：都用乘法计算
生2：这里的3倍可以用来表示。
生3：都是同一个已知的数比，结果是整数就用倍来表示，不到1倍时就用分数几分之几来表示，所以求一个数的几倍或几分之几都用乘法。
师：这个已知的数在分数中我们叫单位“1”，在几倍问题中称为一倍数，实际上它们都表示一个比较的标准。
[设计意图：与“求一个数的几倍是多少”比较，能促进学生对分数乘法意义的理解。通过直观图形的比较，使学生对“求一个数的几分之几可以用乘法计算”的理解有了一个生长点，实现了与已有知识之间的无缝对接。]
4.比较。（同时出示图1和图2。）
师：比一比第1题与第2题有什么相同之处？
生：单位“1”都是已知的。
生：都是求单位“1”的几分之几是多少，用乘法。
师：又有什么不同的地方？
生：第1题中的分数表示的是部分与整体的关系，第2题中的分数表示的是两个量之间的关系。
生：第1题是已知整体求部分，第2题是已知标准求另一个量。
5.稍复杂的分数乘法问题。
出示图4、图5。
师：分别说说从图中你知道了哪些信息？可以怎样列式？
学生列出算式（第4题）：①60-60×；②60×（1-）；③60÷3×1。
第5题算式略。
师：第①、②两种方法有什么区别与联系？
生：第一种方法是先求用去的，再用总数减用去的得到剩下的；第2种方法是先求出剩下的分率，再用单位“1”乘剩下的分率得到剩下的。
生：都要用单位“1”乘分率得到一个量。
6.比较。同时出示图1、图2、图4、图5。
师：这四道题有什么相同点？
生：单位“1”都是已知的，单位“1”乘分率等于所求问题。
师：为什么第1题和第4题乘的分率不同？
生：因为所求问题不同。所求问题不同，乘的分率也不同。
师：也就是问题跟分率要一致，在数学中我们称之为对应。
二、复习用分数除法解决的问题
1.出示图6。
师：从图中你能知道哪些条件？
生：全长平均分成了4份，这样的3份是120米，求全长是多少？
生：把全长看成是单位“1”，全长的是120米，求全长是多少？
师：怎样列式？
生：120÷3×4。
师：也可以先除后乘。跟前面的一样吗？
生：这是通过部分先求一份，再求单位“1”的总份数，而分数乘法问题中是先把单位“1”平均分，再数其中的部分有这样的几份。
生：全长×=120米，所以全长=120÷。
生：这两种算法还是有联系的，120÷=120×=120÷3×4。
出示图7，教学过程同上。
2.出示图8、图9。
师：说一说这两幅图分别表示什么意思？能根据图中给出的条件和问题列出算式吗？
3.比较。同时出示图6、图7、图8、图9。
师：这四道题有什么相同的地方？
生：都是求单位“1”。
生：用的都是除法，都是用具体数量除以分率。
师指第6、8两题，为什么所除的分率不同？
生：因为具体数量不同。
生：分率要跟具体数量相对应。
三、分数乘除法问题的比较
同时出示图1、图2、图6、图7。
师：看图比较，你能发现什么吗？
生：第1、2题是已知单位“1”，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法；第6、7两题是相反的，已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”，用除法。
生：都可以先除后乘，先求一份是多少，再求几份或总数。
……
教学反思：
一、在比较中沟通联系
本课教学，通过比较沟通了分数乘、除法问题之间的联系；复杂问题与简单问题之间的联系。这里并没有让学生简单地比较得出解决分数问题的一种套路，即单位“1”已知，用乘法，乘所求问题对应的分率；单位“1”未知，用除法或方程……如果学生在解决问题后就此终止，不对解决问题的过程进行回顾和反思，不对各种方法进行评价，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。教学中，把重点放在通过线段图的直观，引导学生进行交流与反思，在原有知识中沟通了学生对分数意义不同维度之间的联系，获得对分数问题的真正理解。
二、在直观中感悟数学思想方法
以往教学分数乘、除法问题时也重视比较，即先通过文字表达的题组解决问题，最后比较异同，再归结出分数乘、除法问题的解决思路，学生易形成分数问题的解题套路，它是一种以提高解题正确率为目的的比较。学生在掌握了套路后，往往不仔细地阅读和理解题意就进行列式。而通过直观的线段图进行比较，抽去了情境，有利于学生发现问题的本质，有助于学生进行比较、交流与反思，从而促进对知识的深度理解，有利于学生感悟分数乘、除法问题中的量率对应思想。对于量率对应，虽然不要求对学生明确提出，但是学生自己在解决问题、交流的过程中有很好地感悟，这对分数意义的理解很有帮助。
作者单位
江苏省南通市通州区西亭小学
◇责任编辑：谷晓华◇
教学片段：
一、复习用分数乘法解决的问题
1.出示图1。
师：从图中你知道什么条件？要求什么问题？
师：你能根据图中的条件和问题把它还原成一道文字表达的问题吗？
生：求60的是多少？
生：把60平均分成3份，求两份是多少？
师：怎么计算？
生：60×或60÷3×2
师：两种算法有什么联系？
生：计算60×时，把60和3约分就是60除以3。
[设计意图：一是复习分数乘法的意义，二是学生可通过图示，回忆三年级学过的“求一个数的几分之几是多少”，沟通分数乘法与整数除法之间的联系，对分数的理解就更广了。]
2.出示图2。
师：这幅图由两条线段构成，知道为什么要画两条线段吗？能不能说说图示表达了什么意思？
学生列式计算：60×=40（人）
3.沟通与整数中“求一个数的几倍是多少问题”的联系。
师：其实，它跟我们以前学过的一种问题有联系，你们还记得吗？
生：是“求一个数的几倍是多少”的问题。（动态变成图3）
师：它们都有哪些联系呢？
生1：都用乘法计算
生2：这里的3倍可以用来表示。
生3：都是同一个已知的数比，结果是整数就用倍来表示，不到1倍时就用分数几分之几来表示，所以求一个数的几倍或几分之几都用乘法。
师：这个已知的数在分数中我们叫单位“1”，在几倍问题中称为一倍数，实际上它们都表示一个比较的标准。
[设计意图：与“求一个数的几倍是多少”比较，能促进学生对分数乘法意义的理解。通过直观图形的比较，使学生对“求一个数的几分之几可以用乘法计算”的理解有了一个生长点，实现了与已有知识之间的无缝对接。]
4.比较。（同时出示图1和图2。）
师：比一比第1题与第2题有什么相同之处？
生：单位“1”都是已知的。
生：都是求单位“1”的几分之几是多少，用乘法。
师：又有什么不同的地方？
生：第1题中的分数表示的是部分与整体的关系，第2题中的分数表示的是两个量之间的关系。
生：第1题是已知整体求部分，第2题是已知标准求另一个量。
5.稍复杂的分数乘法问题。
出示图4、图5。
师：分别说说从图中你知道了哪些信息？可以怎样列式？
学生列出算式（第4题）：①60-60×；②60×（1-）；③60÷3×1。
第5题算式略。
师：第①、②两种方法有什么区别与联系？
生：第一种方法是先求用去的，再用总数减用去的得到剩下的；第2种方法是先求出剩下的分率，再用单位“1”乘剩下的分率得到剩下的。
生：都要用单位“1”乘分率得到一个量。
6.比较。同时出示图1、图2、图4、图5。
师：这四道题有什么相同点？
生：单位“1”都是已知的，单位“1”乘分率等于所求问题。
师：为什么第1题和第4题乘的分率不同？
生：因为所求问题不同。所求问题不同，乘的分率也不同。
师：也就是问题跟分率要一致，在数学中我们称之为对应。
二、复习用分数除法解决的问题
1.出示图6。
师：从图中你能知道哪些条件？
生：全长平均分成了4份，这样的3份是120米，求全长是多少？
生：把全长看成是单位“1”，全长的是120米，求全长是多少？
师：怎样列式？
生：120÷3×4。
师：也可以先除后乘。跟前面的一样吗？
生：这是通过部分先求一份，再求单位“1”的总份数，而分数乘法问题中是先把单位“1”平均分，再数其中的部分有这样的几份。
生：全长×=120米，所以全长=120÷。
生：这两种算法还是有联系的，120÷=120×=120÷3×4。
出示图7，教学过程同上。
2.出示图8、图9。
师：说一说这两幅图分别表示什么意思？能根据图中给出的条件和问题列出算式吗？
3.比较。同时出示图6、图7、图8、图9。
师：这四道题有什么相同的地方？
生：都是求单位“1”。
生：用的都是除法，都是用具体数量除以分率。
师指第6、8两题，为什么所除的分率不同？
生：因为具体数量不同。
生：分率要跟具体数量相对应。
三、分数乘除法问题的比较
同时出示图1、图2、图6、图7。
师：看图比较，你能发现什么吗？
生：第1、2题是已知单位“1”，求单位“1”的几分之几是多少，用乘法；第6、7两题是相反的，已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”，用除法。
生：都可以先除后乘，先求一份是多少，再求几份或总数。
……
教学反思：
一、在比较中沟通联系
本课教学，通过比较沟通了分数乘、除法问题之间的联系；复杂问题与简单问题之间的联系。这里并没有让学生简单地比较得出解决分数问题的一种套路，即单位“1”已知，用乘法，乘所求问题对应的分率；单位“1”未知，用除法或方程……如果学生在解决问题后就此终止，不对解决问题的过程进行回顾和反思，不对各种方法进行评价，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。教学中，把重点放在通过线段图的直观，引导学生进行交流与反思，在原有知识中沟通了学生对分数意义不同维度之间的联系，获得对分数问题的真正理解。
二、在直观中感悟数学思想方法
以往教学分数乘、除法问题时也重视比较，即先通过文字表达的题组解决问题，最后比较异同，再归结出分数乘、除法问题的解决思路，学生易形成分数问题的解题套路，它是一种以提高解题正确率为目的的比较。学生在掌握了套路后，往往不仔细地阅读和理解题意就进行列式。而通过直观的线段图进行比较，抽去了情境，有利于学生发现问题的本质，有助于学生进行比较、交流与反思，从而促进对知识的深度理解，有利于学生感悟分数乘、除法问题中的量率对应思想。对于量率对应，虽然不要求对学生明确提出，但是学生自己在解决问题、交流的过程中有很好地感悟，这对分数意义的理解很有帮助。
作者单位
江苏省南通市通州区西亭小学
◇责任编辑：谷晓华◇