论文部分内容阅读
摘 要：本文通过例举十二个有代表性的数学问题，突出了整体思想在解题过程中的重要性。运用整体思想解决问题，能使我们轻易摆脱局部对象一时难以弄清的细节，开阔视野，拓宽思路，优化思维品质。
关键词：整体思想 优化解题过程
数学思想方法是对数学知识内容和所使用的方法的本质认识。它是从某些具体数学问题的认识过程中提炼出来的一些观点，在后续的研究和解题实践中被反复证实其正确性后带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。在新课标中，虽然数学思想方法没有作为独立的教学内容，但在数学教学中数学思想方法的逐步渗透，却是新课标明确要求的。
整体思想是一种重要的数学思想。整体思想就是把问题看成一个完整的整体，注重问题的整体结构和结构改造的思维过程，运用整体思想可以改进和优化解题过程，也常使不少在常规思路下难以解决的问题找到了简洁的解法。
运用整体思想考察问题，可使我们不纠缠于局部细节，而能拓宽思路，开阔视野，洞察问题中整体与局部的关系，起到一举解决问题的作用，所以整体思想是解决数学问题常用的数学思想方法，本文举例谈谈整体思想在解题中的应用。
故6个式子不可能都是正的。
例5一个水池装有标号为①②③④⑤五个水管，它们有的是进水管，有的是出水管，下面表中提供了水管工作情况的信息。
若将所有水管同时打开，几小时可将空池注满。
解析：这类题日常在数学竞赛中看到，通常我们考虑到方程组，设各水管注水效率分别为x、y、z、u、t（出水管的效率为负值），由题意可列方程组。
现在是4个方程解5个未知数，但是我们并不关心每个水管的效率或单独注满水池的时间，只关心它们效率的总和或全部打开的注水时间，于是我们把全部水管看作一个总体，考虑它们的效率之和。
比较两种解法，优劣一目了然。
例8桶中装有20千克纯酒精，倒出a千克，加入a千克水，然后再倒出a千克混合液，再加入a千克水，这时桶内溶液含纯酒精5千克，求a。
解析：这是一道相当流行的应用题。（原来题目中用的单位是升，笔者曾做过一个实验，20ml酒精与20ml水混合后，液体总量不是40ml，而是约38.6ml，这是因为分子间有空隙，因此用升做单位使题目失去科学性，现改为质量单位千克。）
常规思路为按操作顺序20千克减去第一次倒出的纯酒精，再减去第二次倒出液体中所含的纯酒精，等于剩下溶液中所含的5千克純酒精，可列方程：
20-a- =5，从中解出a＝10。
这一解法学生在理解上有一定困难。当我津津有味地讲完这一解法时，我的一位学生提出一个极妙的解法：把第一次倒出再加水后的混合液当作一个整体，它与第二次倒出剩下部分未加水时的溶液是同一种溶液，其酒精的质量分数相同，有 = ，很快求出a＝10。
真是石破天惊，学生得到这一解法真使我兴奋不已，整体思想在这里大放异彩！
例9甲、乙两人相距100米，他们1米/秒相同的速度相向而行，一只狗以2米/秒的速度从甲身边跑向乙，遇乙后立即转向甲跑，如此往复，直到甲乙相遇为止，问狗一共跑了多少米？
解析：按常规思考，以分段计算的办法进行，先求狗开始到第一次遇乙所跑的路程，再求再次遇到甲所跑的路，如此来回往复……再把各段路相加，具体计算并不一帆风顺，现作整体思考（由于狗的速度已知），要求狗跑的总路程只要知道狗跑的总时间。而这一时间正好是甲乙两人从开始到相遇的时间为50秒，故狗所跑的总路程为2×50＝100（米）。
例10四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，DC＝1，AD＝2，求它的面积。
解析：按常规，总想通过分割法把它分割若干个易求面积的部分分别求出以解决问题，但这里碰到了困难。从直角和60°角使我们联想到特殊的直角三角形，原来的四边形ABCD是一个直角三角形整体的一部分，我们将图形补全为一个整体，延长BC、AD相交于E，这样易求出
这种整体补形解决问题的例子很多，如：
一个六边形，每个内角均为120°，连续四条边的长依次为1，2，2，1，求这个六边形的面积。
这个六边形是一个正三角形整体的一部分，可将各边延长，补形成正三角形PQR，问题就易于解决了。
例11正方形内有2007个点，与正方形的顶点共2011个点，这些点无三点共线，求以这些点为顶点把正方形分割成的小三角形的个数。
若从整体思考，把所有小三角形作为一个整体，它们填满了整个正方形，这些三角形的内角填满了正方形的四角和内部每个点为顶点的周角，因此内角总和为4×90°＋2007×360°＝2008×360°＝4016×180°，故有4016个小三角形。
两种不同的解法，使人有“横看成岭侧成峰”的感觉。第一种解法直接从三角形个数增加的规律上思考，注重局部细节分析。第二种解法对全部三角形从整体上作内角总和的考虑。虽各有千秋，但我们认为第二种解法更为简洁明快些，也正是体现了整体思想的优势。
通过以上多个例子，说明运用整体思想解决问题时，总是从整体着眼，再考察局部对象的特征，从而摆脱了局部对象一时难弄清的细节，开阔了视野，看清了问题的脉络，找出其内在规律，把不易求解的结构改造成易于求解的新结构，使解题过程有了质的飞跃。从中我们的智慧在思维的碰撞中得以启迪，思维品质得到了优化。我们要积极引导学生养成整体分析的思维习惯，提高他们的整体意识，促进教学能力的不断提高。
参考文献：
［１］刘兼，孙晓天.主编全日制义务教育数学课程标准解读.北京师范大学出版社.
［２］任樟辉.数学思维论.广西教育出版社，1990.
［３］胡兴余.从补美角度选择思维起点.中学数学杂志，2001.1.
［４］曹耀宗.初中数学奥林匹克竞赛题精讲.南京出版社，1993.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
关键词：整体思想 优化解题过程
数学思想方法是对数学知识内容和所使用的方法的本质认识。它是从某些具体数学问题的认识过程中提炼出来的一些观点，在后续的研究和解题实践中被反复证实其正确性后带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。在新课标中，虽然数学思想方法没有作为独立的教学内容，但在数学教学中数学思想方法的逐步渗透，却是新课标明确要求的。
整体思想是一种重要的数学思想。整体思想就是把问题看成一个完整的整体，注重问题的整体结构和结构改造的思维过程，运用整体思想可以改进和优化解题过程，也常使不少在常规思路下难以解决的问题找到了简洁的解法。
运用整体思想考察问题，可使我们不纠缠于局部细节，而能拓宽思路，开阔视野，洞察问题中整体与局部的关系，起到一举解决问题的作用，所以整体思想是解决数学问题常用的数学思想方法，本文举例谈谈整体思想在解题中的应用。
故6个式子不可能都是正的。
例5一个水池装有标号为①②③④⑤五个水管，它们有的是进水管，有的是出水管，下面表中提供了水管工作情况的信息。
若将所有水管同时打开，几小时可将空池注满。
解析：这类题日常在数学竞赛中看到，通常我们考虑到方程组，设各水管注水效率分别为x、y、z、u、t（出水管的效率为负值），由题意可列方程组。
现在是4个方程解5个未知数，但是我们并不关心每个水管的效率或单独注满水池的时间，只关心它们效率的总和或全部打开的注水时间，于是我们把全部水管看作一个总体，考虑它们的效率之和。
比较两种解法，优劣一目了然。
例8桶中装有20千克纯酒精，倒出a千克，加入a千克水，然后再倒出a千克混合液，再加入a千克水，这时桶内溶液含纯酒精5千克，求a。
解析：这是一道相当流行的应用题。（原来题目中用的单位是升，笔者曾做过一个实验，20ml酒精与20ml水混合后，液体总量不是40ml，而是约38.6ml，这是因为分子间有空隙，因此用升做单位使题目失去科学性，现改为质量单位千克。）
常规思路为按操作顺序20千克减去第一次倒出的纯酒精，再减去第二次倒出液体中所含的纯酒精，等于剩下溶液中所含的5千克純酒精，可列方程：
20-a- =5，从中解出a＝10。
这一解法学生在理解上有一定困难。当我津津有味地讲完这一解法时，我的一位学生提出一个极妙的解法：把第一次倒出再加水后的混合液当作一个整体，它与第二次倒出剩下部分未加水时的溶液是同一种溶液，其酒精的质量分数相同，有 = ，很快求出a＝10。
真是石破天惊，学生得到这一解法真使我兴奋不已，整体思想在这里大放异彩！
例9甲、乙两人相距100米，他们1米/秒相同的速度相向而行，一只狗以2米/秒的速度从甲身边跑向乙，遇乙后立即转向甲跑，如此往复，直到甲乙相遇为止，问狗一共跑了多少米？
解析：按常规思考，以分段计算的办法进行，先求狗开始到第一次遇乙所跑的路程，再求再次遇到甲所跑的路，如此来回往复……再把各段路相加，具体计算并不一帆风顺，现作整体思考（由于狗的速度已知），要求狗跑的总路程只要知道狗跑的总时间。而这一时间正好是甲乙两人从开始到相遇的时间为50秒，故狗所跑的总路程为2×50＝100（米）。
例10四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝60°，DC＝1，AD＝2，求它的面积。
解析：按常规，总想通过分割法把它分割若干个易求面积的部分分别求出以解决问题，但这里碰到了困难。从直角和60°角使我们联想到特殊的直角三角形，原来的四边形ABCD是一个直角三角形整体的一部分，我们将图形补全为一个整体，延长BC、AD相交于E，这样易求出
这种整体补形解决问题的例子很多，如：
一个六边形，每个内角均为120°，连续四条边的长依次为1，2，2，1，求这个六边形的面积。
这个六边形是一个正三角形整体的一部分，可将各边延长，补形成正三角形PQR，问题就易于解决了。
例11正方形内有2007个点，与正方形的顶点共2011个点，这些点无三点共线，求以这些点为顶点把正方形分割成的小三角形的个数。
若从整体思考，把所有小三角形作为一个整体，它们填满了整个正方形，这些三角形的内角填满了正方形的四角和内部每个点为顶点的周角，因此内角总和为4×90°＋2007×360°＝2008×360°＝4016×180°，故有4016个小三角形。
两种不同的解法，使人有“横看成岭侧成峰”的感觉。第一种解法直接从三角形个数增加的规律上思考，注重局部细节分析。第二种解法对全部三角形从整体上作内角总和的考虑。虽各有千秋，但我们认为第二种解法更为简洁明快些，也正是体现了整体思想的优势。
通过以上多个例子，说明运用整体思想解决问题时，总是从整体着眼，再考察局部对象的特征，从而摆脱了局部对象一时难弄清的细节，开阔了视野，看清了问题的脉络，找出其内在规律，把不易求解的结构改造成易于求解的新结构，使解题过程有了质的飞跃。从中我们的智慧在思维的碰撞中得以启迪，思维品质得到了优化。我们要积极引导学生养成整体分析的思维习惯，提高他们的整体意识，促进教学能力的不断提高。
参考文献：
［１］刘兼，孙晓天.主编全日制义务教育数学课程标准解读.北京师范大学出版社.
［２］任樟辉.数学思维论.广西教育出版社，1990.
［３］胡兴余.从补美角度选择思维起点.中学数学杂志，2001.1.
［４］曹耀宗.初中数学奥林匹克竞赛题精讲.南京出版社，1993.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”