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摘要：给出了亚式期权的基本概念并讨论了亚式期权的几种定价方法的优劣。
关键词：亚式期权；Monte Carlo；模拟；简析
中图分类号：O21 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-05-0-01
一、引言
比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。
二、基本概念
亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格.
与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。以连续情形的标的资产价格平均值为例,用A表示算术平均值, G表示几何平均值, S t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动， 则
对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( A - K ,0) ,开始时刻的期权价格为
对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( G - K ,0) ,开始时刻的期权价格为
亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。但亚式期权的定价仍是个公开问题。假定标的资产价格S服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。对几何平均亚式期权,我们已得到它的定价的解析解,但算术平均亚式期权很难存在这种解析解。
三、亚式期权定价分析
（一）连续型亚式期权的定价
Kemna &Vorst (1990)通过改变波动率和敲定价格提出了一个几何平均期权的定价解析公式。几何平均期权可以用一个明确的解析式来计算,因为如果价格服从对数正态分布,那么价格的几何平均值也服从对数正态分布。则几何平均亚式买入和卖出期权的价值就可以得出。
Turnbull & Wakeman (1991) 提出了一种近似计算方法,尽管亚式期权的分布是未知的,但我们可以精确的计算算术平均的概率分布的头两项，然后再假定算术平均的分布是具有相同头两项的对数正态分布。将亚式期权转化为普通期权求解其定价公式。
Zhang(2001)：给出了具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的半显示解,并得到了较好的数值结果,但此方法没有充分利用解在部分区域中有解表达式的特征。
（二）离散型亚式期权定价分析
Hull & White (1993) 在二叉树的模型上增加一个结点,然后运用线性内插法来计算每个结点的近似平均值,最后通过后向折现计算出期权价格。但是,这种方法不能保证收敛性。
Ju（2002）：用泰勒展示的平均特征函数获得近似定价，但定价方法过于复杂且不在Black-Scholes假设条件下。
（三）Monte Carlo模拟方法
当衍生证券没有精确的解析公式时，可用数值计算方法。常用的数值计算方法可分为三个:Monte Carlo 模拟，树图方法和有限差分方法。当衍生证券的持有者在到期前可作出提前执行的决策时，可用后两种方法来计算该衍生证券的价格。而Monte Carlo模拟由于具有比较灵活且易于实现、估计误差及收敛速度与解决问题的维数独立等两个明显优势,能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。
Monte Carlo模拟方法在亚式期权定价中应用的基本思想是:假设标的资产的价格的分布函数已知,将期权的有效期分成若干个小的时间段,从样本中随机抽样来模拟每个时刻股票价格,得到股票价格的一个可能路径,进而可求得期权在到期日的价值。这一结果可看成是到期日期权的价值一个随机样本。不同的路径得到不同的样本,最后对所有的样本求算术平均,就可得到到期日期权的价值,再根据无套利原理,将该值折现到当前时刻,即可得期权当前的价格。亚式期权是与路径相关的，Monte Carlo模拟方法无疑是其定价公式推导的极好应用。
当然，Monte Carlo模拟方法也有其不足的地方，要想误差小，就要进行多次精确的计算导致效率低下。近几年人们在原有的Monte Carlo模拟方法的基础上不断改进，提高效率。
四、总结
前人的工作中已经总结出了许多亚式期权的定价公式，这对我们进一步研究亚式期权起着积极的作用。但由于其特点，各种定价公式始终存在着不足的地方，要求我们不断完善。
参考文献：
[1]叶中行,林建忠.数理金融[M].北京:科学出版社,2000.
[2]约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生产品[M].华夏出版社,1999.
[3]赖欣,冯勤超.亚式期权定价研究综述[J].Modern Business Trade Indust ry,2009,(24).
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：亚式期权；Monte Carlo；模拟；简析
中图分类号：O21 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-05-0-01
一、引言
比标准欧式期权或美式期权和看跌期权盈亏状态更复杂的衍生证券有时称为新型期权。大多数新型期权在场外交易，它们是由金融机构设计以满足市场特殊需求的产品。本文的第一个目的，就是介绍新型期权的一种—亚式期权，这类期权在场外市场广受欢迎，但此类期权较难定价，本文的第二个目的，给出常见的亚式期权的定价方法并作一定的比较。
二、基本概念
亚式期权是市场上常用金融工具, 其到期收益函数与一特定时段内标的资产的某种形式的平均息息相关,即依赖于标的资产价格的某种平均值。可以是一段时间内的连续平均值,也可以是若干个时间点的离散平均值;可以是算术平均,也可以是几何平均. 每一个确定的平均类型都对应着两种亚式期权的形式,即平均资产价格与平均敲定价格,它们都具有欧式期权风格. 不同的是前者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代资产本身的价格;而后者的收益函数是在欧式期权的收益函数中用平均值取代合约的敲定价格.
与普通的期权类似,每种亚式期权都具有看涨和看跌两种交易情形。以连续情形的标的资产价格平均值为例,用A表示算术平均值, G表示几何平均值, S t表示时刻t的资产价格,服从几何布朗运动， 则
对于算术平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max ( A - K ,0) ,开始时刻的期权价格为
对于几何平均情形,看涨平均资产价格期权的到期收益为max( G - K ,0) ,开始时刻的期权价格为
亚式期权的优点是可以缓解市场的投机行为，且相对于普通期权，价格较便宜，常利用其对冲指定时期的风险。但亚式期权的定价仍是个公开问题。假定标的资产价格S服从对数正态分布,一系列对数正态分布变量的几何平均仍服从对数正态分布,而相应算术平均没有可以解析处理的特性,故算术平均亚式期权比几何平均亚式期权的定价要困难得多。对几何平均亚式期权,我们已得到它的定价的解析解,但算术平均亚式期权很难存在这种解析解。
三、亚式期权定价分析
（一）连续型亚式期权的定价
Kemna &Vorst (1990)通过改变波动率和敲定价格提出了一个几何平均期权的定价解析公式。几何平均期权可以用一个明确的解析式来计算,因为如果价格服从对数正态分布,那么价格的几何平均值也服从对数正态分布。则几何平均亚式买入和卖出期权的价值就可以得出。
Turnbull & Wakeman (1991) 提出了一种近似计算方法,尽管亚式期权的分布是未知的,但我们可以精确的计算算术平均的概率分布的头两项，然后再假定算术平均的分布是具有相同头两项的对数正态分布。将亚式期权转化为普通期权求解其定价公式。
Zhang(2001)：给出了具有固定敲定价格的算术平均亚式期权的半显示解,并得到了较好的数值结果,但此方法没有充分利用解在部分区域中有解表达式的特征。
（二）离散型亚式期权定价分析
Hull & White (1993) 在二叉树的模型上增加一个结点,然后运用线性内插法来计算每个结点的近似平均值,最后通过后向折现计算出期权价格。但是,这种方法不能保证收敛性。
Ju（2002）：用泰勒展示的平均特征函数获得近似定价，但定价方法过于复杂且不在Black-Scholes假设条件下。
（三）Monte Carlo模拟方法
当衍生证券没有精确的解析公式时，可用数值计算方法。常用的数值计算方法可分为三个:Monte Carlo 模拟，树图方法和有限差分方法。当衍生证券的持有者在到期前可作出提前执行的决策时，可用后两种方法来计算该衍生证券的价格。而Monte Carlo模拟由于具有比较灵活且易于实现、估计误差及收敛速度与解决问题的维数独立等两个明显优势,能够较好地解决基于多标的变量的高维衍生证券的定价问题。
Monte Carlo模拟方法在亚式期权定价中应用的基本思想是:假设标的资产的价格的分布函数已知,将期权的有效期分成若干个小的时间段,从样本中随机抽样来模拟每个时刻股票价格,得到股票价格的一个可能路径,进而可求得期权在到期日的价值。这一结果可看成是到期日期权的价值一个随机样本。不同的路径得到不同的样本,最后对所有的样本求算术平均,就可得到到期日期权的价值,再根据无套利原理,将该值折现到当前时刻,即可得期权当前的价格。亚式期权是与路径相关的，Monte Carlo模拟方法无疑是其定价公式推导的极好应用。
当然，Monte Carlo模拟方法也有其不足的地方，要想误差小，就要进行多次精确的计算导致效率低下。近几年人们在原有的Monte Carlo模拟方法的基础上不断改进，提高效率。
四、总结
前人的工作中已经总结出了许多亚式期权的定价公式，这对我们进一步研究亚式期权起着积极的作用。但由于其特点，各种定价公式始终存在着不足的地方，要求我们不断完善。
参考文献：
[1]叶中行,林建忠.数理金融[M].北京:科学出版社,2000.
[2]约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生产品[M].华夏出版社,1999.
[3]赖欣,冯勤超.亚式期权定价研究综述[J].Modern Business Trade Indust ry,2009,(24).
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