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圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其所包含的几何性质，用定义解题是一种重要的基本方法，如：在解决圆锥曲线上的点与焦点连线（焦半径）的问题或题目中出现“准线”、“离心率”这样的条件时，能及时地返回定义（用定义解题），往往会收到事半功倍之效果。
以下就一些解析几何有关问题举例说明。
例1：设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是_________。
解法一：由双曲线方程知a＝2，b＝1
∴c＝，因此|F1F2|＝2
由于双曲线是轴对称图形，设P点为（x， ），由已知有F1P⊥F2P，
∴kF1P·kF2P＝-1，即·＝－1，得x2＝
∴S△F1PF2＝|F1F2|＝··1/＝1
解法二：∵（|PF1|－|PF2|）2＝4a2＝16，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝20
则|PF1|－|PF2|＝[|PF1|2＋|PF2|2－（|PF1|－|PF2|）2]＝（20－16）＝2
∴S△F1PF2＝1
说明：解法二利用了双曲线（第一）定义和勾股定理，思路清晰，运算简便，远较解法一简单。
例2：动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（ ）
A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解法一：由题意得，动点P到M（2，0）的距离等于这点到直线x＝-2的距离，由定义知，P点轨迹是抛物线，故选D。
解法二：设P点坐标为（x，y），则|x＋4|－＝2。
当x≥-4时，化简得y2＝8x；当x＜-4时，无解
∴P点轨迹是抛物线y2＝8x
说明：解法一由抛物线定义直接得到结论，比解法二好。
例3：求出经过点M（1，2）且以y轴为准线、离心率为的椭圆左顶点的轨迹方程。
分析：条件中出现“准线”、“焦半径”、“离心率e”，可用第二定义求解，注意到PF也是焦半径，故| PF |应等于P到准线（y轴）距离的一半。
解：如图，由题意得：椭圆在y轴右侧，且长轴与x轴平行
设椭圆左顶点为P（x，y），由e＝0.5知左焦点是F（x，y）
又因M到准线y轴的距离是1，所以由椭圆定义有＝
即（x－1）2＋（y－2）2＝（）2
所求方程为 9（x－）2＋4（y－2）2＝1
例4：线段AB＝3，其两端点在抛物线y2＝x上，求AB中点M到y轴的最短距离，并求出距离最短时M点的坐标。
分析：线段AB并非焦点弦，但可作出过A、B的焦点弦AF、BF，在△ABF中利用三角形边的不等关系求解。
解：如图，设曲线焦点为F，M（x，y）
A、B、M到准线x＝－的距离分别是a、x＋、b，由|AB|＝3≤|AF|＋|BF|＝a＋b＝2（x＋）得x≤5，即当AB经过焦点时，M到y轴的距离最小为，此时作MN⊥x轴于N，在Rt△MNF中易求得MN＝，即M的坐标为（，±）。
说明：此题中虽未出现“焦半径”、“准线”之类的条件，但上述解法结合了平面几何图形的几何性质并巧妙利用抛物线的定义，得到了比标准答案中的解法简单得多的解法，实乃充分利用基本定义解题的典型范例。
例5：已知F1，F2是双曲线C：－＝1的焦点，P是双曲线上一点，且|PF1|×|PF2|＝164，求∠F1PF2。
解：如图，由条件得|F1F2|＝2×＝10
由余弦定理有cos∠F1PF2＝
＝＝
∴∠F1PF2＝60o
说明：|PF1|×|PF2|＝k（k为正的常数）是一个常见的已知条件，不管在椭圆或双曲线的问题中，遇此条件，都可考虑用（第一）定义求解。
例6：有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球d（万千米时），经过地球和彗星的直线与抛物线的夹角为30°，求彗星与地球的最短距离。
解法一：设彗星轨道方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F（，0），彗星位于点P（x0，y0）处，直线PF的方程为y＝（x－）。
解方程组，得x＝
即xo＝，|PF|＝x0＋＝＋＝（4±2）p
则（4±2）p＝d，得p＝d
由于顶点为抛物线上的点到准线距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点。焦点到抛物线顶点的距离为＝d，所以彗星与地球的最短距离是d或d万千米（P点在F点的左边与右边时，所求距离取不同的值）。
解法二：设彗星轨道方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F（，0），彗星位于点P，由抛物线定义得：|PF|＝p±d＝d
∴p＝d，以下说明同解法一。
很显然，解法二较之解法一（标准答案解法）简便。
练习题：
1、过一定点且与一条定直线相切的动圆圆心的轨迹是什么曲线？（答：抛物线）
2、抛物线C的顶点为O，AB是过焦点F的弦，点A、B在抛物线的准线上的射影分别是C、D，求∠CFD。（答：90°）
3、求以定点A为焦点，定直线L为准线的椭圆短轴端点的轨迹。
（作者单位：427100湖南省桑植县第四中学）
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以下就一些解析几何有关问题举例说明。
例1：设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是_________。
解法一：由双曲线方程知a＝2，b＝1
∴c＝，因此|F1F2|＝2
由于双曲线是轴对称图形，设P点为（x， ），由已知有F1P⊥F2P，
∴kF1P·kF2P＝-1，即·＝－1，得x2＝
∴S△F1PF2＝|F1F2|＝··1/＝1
解法二：∵（|PF1|－|PF2|）2＝4a2＝16，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝20
则|PF1|－|PF2|＝[|PF1|2＋|PF2|2－（|PF1|－|PF2|）2]＝（20－16）＝2
∴S△F1PF2＝1
说明：解法二利用了双曲线（第一）定义和勾股定理，思路清晰，运算简便，远较解法一简单。
例2：动点P到直线x＋4＝0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是（ ）
A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解法一：由题意得，动点P到M（2，0）的距离等于这点到直线x＝-2的距离，由定义知，P点轨迹是抛物线，故选D。
解法二：设P点坐标为（x，y），则|x＋4|－＝2。
当x≥-4时，化简得y2＝8x；当x＜-4时，无解
∴P点轨迹是抛物线y2＝8x
说明：解法一由抛物线定义直接得到结论，比解法二好。
例3：求出经过点M（1，2）且以y轴为准线、离心率为的椭圆左顶点的轨迹方程。
分析：条件中出现“准线”、“焦半径”、“离心率e”，可用第二定义求解，注意到PF也是焦半径，故| PF |应等于P到准线（y轴）距离的一半。
解：如图，由题意得：椭圆在y轴右侧，且长轴与x轴平行
设椭圆左顶点为P（x，y），由e＝0.5知左焦点是F（x，y）
又因M到准线y轴的距离是1，所以由椭圆定义有＝
即（x－1）2＋（y－2）2＝（）2
所求方程为 9（x－）2＋4（y－2）2＝1
例4：线段AB＝3，其两端点在抛物线y2＝x上，求AB中点M到y轴的最短距离，并求出距离最短时M点的坐标。
分析：线段AB并非焦点弦，但可作出过A、B的焦点弦AF、BF，在△ABF中利用三角形边的不等关系求解。
解：如图，设曲线焦点为F，M（x，y）
A、B、M到准线x＝－的距离分别是a、x＋、b，由|AB|＝3≤|AF|＋|BF|＝a＋b＝2（x＋）得x≤5，即当AB经过焦点时，M到y轴的距离最小为，此时作MN⊥x轴于N，在Rt△MNF中易求得MN＝，即M的坐标为（，±）。
说明：此题中虽未出现“焦半径”、“准线”之类的条件，但上述解法结合了平面几何图形的几何性质并巧妙利用抛物线的定义，得到了比标准答案中的解法简单得多的解法，实乃充分利用基本定义解题的典型范例。
例5：已知F1，F2是双曲线C：－＝1的焦点，P是双曲线上一点，且|PF1|×|PF2|＝164，求∠F1PF2。
解：如图，由条件得|F1F2|＝2×＝10
由余弦定理有cos∠F1PF2＝
＝＝
∴∠F1PF2＝60o
说明：|PF1|×|PF2|＝k（k为正的常数）是一个常见的已知条件，不管在椭圆或双曲线的问题中，遇此条件，都可考虑用（第一）定义求解。
例6：有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球d（万千米时），经过地球和彗星的直线与抛物线的夹角为30°，求彗星与地球的最短距离。
解法一：设彗星轨道方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F（，0），彗星位于点P（x0，y0）处，直线PF的方程为y＝（x－）。
解方程组，得x＝
即xo＝，|PF|＝x0＋＝＋＝（4±2）p
则（4±2）p＝d，得p＝d
由于顶点为抛物线上的点到准线距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点。焦点到抛物线顶点的距离为＝d，所以彗星与地球的最短距离是d或d万千米（P点在F点的左边与右边时，所求距离取不同的值）。
解法二：设彗星轨道方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F（，0），彗星位于点P，由抛物线定义得：|PF|＝p±d＝d
∴p＝d，以下说明同解法一。
很显然，解法二较之解法一（标准答案解法）简便。
练习题：
1、过一定点且与一条定直线相切的动圆圆心的轨迹是什么曲线？（答：抛物线）
2、抛物线C的顶点为O，AB是过焦点F的弦，点A、B在抛物线的准线上的射影分别是C、D，求∠CFD。（答：90°）
3、求以定点A为焦点，定直线L为准线的椭圆短轴端点的轨迹。
（作者单位：427100湖南省桑植县第四中学）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”