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【关键词】认知起点；学科本质；分数模型；数学思考；深度学习
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）09-0062-04
分数概念是小学阶段最难的学习任务之一，是一道“营养丰富但又不太好吃”的数学大餐。“认识一个整体的几分之一”是苏教版小学数学三年级下册的内容，儿童在掌握这部分知识后，既可以实现由一个物体（图形）到一些物体（一个整体）的数学抽象，也可以实现由分数的“面积模型”到“集合模型”的思维过渡。在教学中，如何正确把握分数的本质特征，建构分数的模型，为今后整体建构分数的意义奠定基础？如何基于儿童立场实施教学，让学习真正发生？这些都需要我们不断思考和追问。
一、叩问：儿童的认知起点在哪里？
朱永新教授说过：“要想把学生引到你需要的地方，你得知道学生现在在哪里。”确定了学生学习的起点，了解了学生学习的前概念，再通过多种形式的操作和体验，不断强化、完善、丰富他们对分数概念的正确认识，就形成了教学的主环节，教学的重难点就体现在其中。事实上，我们的学情分析往往基于教师自身的教学经验，但基于教师经验的学情分析是否准确呢？笔者决定在两个班级进行前测，以期更深入、更准确地了解学情，改进教学方案。
（一）第一题
1.前测内容：
下面涂色部分可以用哪个分数表示？
2.数据分析：按两个班级共117人合并统计，第1小题做对的有109人，正确率为93.16%。第2小题做对的有108人，正确率为92.31%。第3小题做对的有34人，正确率为29.06%。对比发现，同为本节课要学习的新内容，第2小题的正确率极高，而第3小题的正确率很低，说明学生的认知“卡”在了这里。
（二）第二题
1.前测内容：
在图中用竖线分一分并涂色表示分数。
2.数据分析：同样，按两个班级合并统计，第1小题分对、涂对的有50人，正确率为42.74%；分局部或没分、涂对的有67人，占57.26%。第2小题分对、涂对的有42人，正确率为35.90%；分局部或没分、涂对的有49人，占41.88%；分错或涂错的有26人，占22.22%。
分析数据可知，对于“认识一个整体的几分之一”这个知识，当图中“具体的数”（数量）和“关系的数”（份数）相一致时，学生理解起来没有问题，他们可由旧知迁移得到答案；当“具体的数”（数量）和“关系的数”（份数）不一致时，学生的认知困难就产生了。因此，造成学生新知学习障碍的原因，既与学生对直观材料“怎么看”“如何分”密切相关，也与他们能否读懂每一幅图所蕴含的数学语言，是否具备透过表面看到内隐关系的能力有关，更与他们能否厘清“具体的数”（数量）和“关系的数”（份数）的本质区别高度关联。
二、慎思：如何让儿童对分数概念的重构顺畅而深刻？
瑞士心理学家皮亚杰的认知建构主义理论认为，新概念的获得过程并不总是一个在原有概念结构上丰富的过程，有时候新概念的获得需要从根本上进行原有知识的重构，而学生总是试图将新概念吸收到原有知识框架之中，这就容易产生认知障碍。通过对前测情况的深层次分析和思考，笔者重新定位了本节课的三个核心认知：
1.建立整体观念：从具体事物走向整体事件。
建立对事物认知的整体观念，即排除具体数量的干扰，把一些物体看成一个整体，这是每一个学生在其个人“认数”学习史上的一个飞跃；帮助学生逐步实现由一个具体事物转向一个事件的思维方式转变，这是分数认知的一个重要支点。要引导学生体会到，不管数学素材里面的物体有多少个，在画上集合圈之后，它就不再是生活中的具体事物，而成了研究数量关系的对象。
2.经历均分过程：从隐性感知走向显性表征。
学生的认知是内隐的、无意识的，能真正读懂“图的语言”和理解意义的不多。这一学情对我们进行教学设计有着重要的参考价值。由于分数是由“分”而生的数，起源于“分”，分数的概念本身就直观而生动地表示了它的特征——是一个动态的过程。因此，我们不能仅仅满足于学生做出判断，教学设计应着力于引导学生经历“分”的过程，从隐性感知走向显性表征，帮助他们透过表面看到内隐的数量关系。
3.运用数学处理：从直观思维走向逻辑抽象。
本节课要让学生正确理解分数这个数学符号的意义，就要在“平均分”的基础上建立分数的“份数模型”，引导学生对直观材料进行数学化处理，再通过深入领悟“一份”与“总份数”的内在联系，理解分数是“先分后数”产生的数，是一种运用数学手段“创造”出来的数。学生自此在数的抽象能力方面有了质的提升，可以将目光聚焦到如何对研究对象进行数学处理上来，一步一步脱离整数背景下的思维束缚，形成新的数学素养和能力。
三、实践：聆听儿童数学思考的真实声音
基于前测分析、儿童立场和数学学科本质，笔者进行了如下教学实践：
环节一：课前交流，经验再现
交流：课前，大家用自己喜欢的方式表示出了1/2，现在我们一起来交流一下。
大部分学生画饼，画各种图形，爱美的女生画一个蝴蝶结，将其中的一半涂色。当然，画出的都是一个物体（图形）的1/2。
环节二：聚焦疑点，思维碰撞
师：小宇和小亮的1/2是这样画的（如下图1和图2所示），大家同意他俩的画法吗？
有一些学生同意，觉得这样表示好像也有一定的道理。但也有一些学生明确反对。
生1：我不同意，我认为他们画的应该用2/4和4/8来表示。
师（追问生1）：你是怎么想的？
生1：我是通过数一数得到的。一共4条鱼，涂色部分有2条，这个分数就应该是2/4。
生2：我也认为这两幅图不能用1/2来表示，两幅图中的数量都不一样，你们看，（他举起自己和同桌的作品），雖然我俩一个画圆形，一个画长方形，但我们画的图形的数量是一样的呀。所以我们画的才能用1/2来表示。 生3：我要请问小宇同学，你画的明明是4个和2个。那么，分母的2和分子的1是从哪里来的？
师：听明白了，你们都是通过数物体的个数得到分数的，是吗？
师（转向小宇和小亮）：你们的想法呢？为什么认为自己画的是1/2？
小宇：我不是一个一个看的，我把这两个看成一组（手指在前两条鱼上面画一个圈），一共有两组。所以，2和1就是这么来的。
有不少学生投去赞同的目光。
小亮：我也没有数个数，我想的是关系，看涂色的这一部分和全部之间的关系，它们是1份和2份的关系。
师（给予肯定）：你们没有数具体数量，而是把它们看成“部分”和“全部”之间的关系，从而得到分数。确实厉害！数学眼光独特！
师（追问）：可是光你们这样想还不行，这个“部分”和“全部”怎么来表示才能让大家都看得明白呢？
学生尝试用个性化的方式来表示。
经过讨论、交流，大家达成一致意见：可以使用简洁的数学符号来表示某种特定意义。从而很自然地引出集合圈和分隔线这两个数学符号。
再次明确：没有“大圆圈”（集合圈），这是4条鱼，看到的是“4”，有了“大圆圈”（集合圈），就不再是“4”，而是“1”，一个整体。
环节三：对比辨析，建构模型
1.出示教材例1，先独立完成再交流。
2.思考：桃的总个数不同，每份的个数也不同，为什么都可以用1/2来表示？
3.完成教材例2，再次思考：都是把6个桃平均分，为什么一次用1/2来表示，一次用1/2来表示？
4.出示一组总数、平均分的份数分别变化的问题，引发学生思考、质疑。
环节四：练习巩固，拓展提升（略）
四、再思：与儿童携手向深度学习漫溯
在教学过程中，教师只有准确分析和精准把握数学学科的核心内容和本质，触及数学知识的核心，才能帮助学生在数学知识的本源处、内核处和关键处探寻、体验、感受，给他们一个有根有据、有趣有味的数学，使数学教学从“数人”走向“树人”。
1.把握起点，搭建儿童上行的斜坡。
皮亚杰认为：由儿童去认识自己原有观点的错误所在，能够激起儿童的求知欲，强化其学习动机，促进其认知结构的发展。本节课中，儿童知识经验的“远点”是“平均分”，“近点”是“对一个物体的几分之几的理解和掌握”，这两方面构成了儿童学习的“原点”。再从儿童的认知特点来分析，小学三年级学生的元认知水平还比较低，在学习分数之初往往会依赖“直觉思维”来认识分数，这也是前面学习所积累的经验，这种经验既是他们学习的基础也是阻碍。教师要读懂儿童的困惑，努力搭建儿童上行的斜坡，打通他们向上生长的通道。
2.体验过程，点燃儿童思维的火把。
基于儿童立场的教学观告诉我们，研究儿童是教学工作的核心。虽然“认识一个整体的几分之一”必须从几何直观开始，但要通过数学抽象来最终实现学习任务，需要经历观察、分析、抽象和概括等思维活动过程。即从观察一些物体出发，运用画一画、分一分、数一数等数学手段和数学符号，逐步深入地探究一个整体中部分量与总量的关系，用“份数模型”重新认识直观材料并建构分数意义。在教学中，要紧紧抓住儿童认知发生冲突的有利契机，引导他们从直觉观察走向符号处理，从符号处理走向数学思考，建构起全新的、稳固的分数认知结构。
3.回归本质，实现数学认知的跃升。
儿童的数学概念学习可以概括为经验、语言、图像和符号四个基本环节。其中，最高层级的符号环节是指经过一定程度的抽象概括，儿童能够掌握和运用数学符号来刻画客观世界。本节课的核心数学符号有四个，即集合圈、分隔线、份数和分数，核心认知是分数概念的本质特征。其中，集合圈、分隔线是对直观材料进行数学处理的显性标识，更是深刻认知的前提和基础，儿童只有充分领悟显性标识的数学意义，才能向更高层级的抽象概括跃升，实现从学科知识到数学核心素养的发展目标。
通过分数概念的教学，笔者深刻体会到，小学数学教学必须从儿童的认知出发，从学科本质入手，由内而外实施。只要让儿童感受乐趣、经历过程、自主探究和体验成功，分数的学习就会成为“一道好吃而又营养丰富的數学美食”。
（作者单位：江苏省盐城市第一小学教育集团盐渎校区）
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）09-0062-04
分数概念是小学阶段最难的学习任务之一，是一道“营养丰富但又不太好吃”的数学大餐。“认识一个整体的几分之一”是苏教版小学数学三年级下册的内容，儿童在掌握这部分知识后，既可以实现由一个物体（图形）到一些物体（一个整体）的数学抽象，也可以实现由分数的“面积模型”到“集合模型”的思维过渡。在教学中，如何正确把握分数的本质特征，建构分数的模型，为今后整体建构分数的意义奠定基础？如何基于儿童立场实施教学，让学习真正发生？这些都需要我们不断思考和追问。
一、叩问：儿童的认知起点在哪里？
朱永新教授说过：“要想把学生引到你需要的地方，你得知道学生现在在哪里。”确定了学生学习的起点，了解了学生学习的前概念，再通过多种形式的操作和体验，不断强化、完善、丰富他们对分数概念的正确认识，就形成了教学的主环节，教学的重难点就体现在其中。事实上，我们的学情分析往往基于教师自身的教学经验，但基于教师经验的学情分析是否准确呢？笔者决定在两个班级进行前测，以期更深入、更准确地了解学情，改进教学方案。
（一）第一题
1.前测内容：
下面涂色部分可以用哪个分数表示？
2.数据分析：按两个班级共117人合并统计，第1小题做对的有109人，正确率为93.16%。第2小题做对的有108人，正确率为92.31%。第3小题做对的有34人，正确率为29.06%。对比发现，同为本节课要学习的新内容，第2小题的正确率极高，而第3小题的正确率很低，说明学生的认知“卡”在了这里。
（二）第二题
1.前测内容：
在图中用竖线分一分并涂色表示分数。
2.数据分析：同样，按两个班级合并统计，第1小题分对、涂对的有50人，正确率为42.74%；分局部或没分、涂对的有67人，占57.26%。第2小题分对、涂对的有42人，正确率为35.90%；分局部或没分、涂对的有49人，占41.88%；分错或涂错的有26人，占22.22%。
分析数据可知，对于“认识一个整体的几分之一”这个知识，当图中“具体的数”（数量）和“关系的数”（份数）相一致时，学生理解起来没有问题，他们可由旧知迁移得到答案；当“具体的数”（数量）和“关系的数”（份数）不一致时，学生的认知困难就产生了。因此，造成学生新知学习障碍的原因，既与学生对直观材料“怎么看”“如何分”密切相关，也与他们能否读懂每一幅图所蕴含的数学语言，是否具备透过表面看到内隐关系的能力有关，更与他们能否厘清“具体的数”（数量）和“关系的数”（份数）的本质区别高度关联。
二、慎思：如何让儿童对分数概念的重构顺畅而深刻？
瑞士心理学家皮亚杰的认知建构主义理论认为，新概念的获得过程并不总是一个在原有概念结构上丰富的过程，有时候新概念的获得需要从根本上进行原有知识的重构，而学生总是试图将新概念吸收到原有知识框架之中，这就容易产生认知障碍。通过对前测情况的深层次分析和思考，笔者重新定位了本节课的三个核心认知：
1.建立整体观念：从具体事物走向整体事件。
建立对事物认知的整体观念，即排除具体数量的干扰，把一些物体看成一个整体，这是每一个学生在其个人“认数”学习史上的一个飞跃；帮助学生逐步实现由一个具体事物转向一个事件的思维方式转变，这是分数认知的一个重要支点。要引导学生体会到，不管数学素材里面的物体有多少个，在画上集合圈之后，它就不再是生活中的具体事物，而成了研究数量关系的对象。
2.经历均分过程：从隐性感知走向显性表征。
学生的认知是内隐的、无意识的，能真正读懂“图的语言”和理解意义的不多。这一学情对我们进行教学设计有着重要的参考价值。由于分数是由“分”而生的数，起源于“分”，分数的概念本身就直观而生动地表示了它的特征——是一个动态的过程。因此，我们不能仅仅满足于学生做出判断，教学设计应着力于引导学生经历“分”的过程，从隐性感知走向显性表征，帮助他们透过表面看到内隐的数量关系。
3.运用数学处理：从直观思维走向逻辑抽象。
本节课要让学生正确理解分数这个数学符号的意义，就要在“平均分”的基础上建立分数的“份数模型”，引导学生对直观材料进行数学化处理，再通过深入领悟“一份”与“总份数”的内在联系，理解分数是“先分后数”产生的数，是一种运用数学手段“创造”出来的数。学生自此在数的抽象能力方面有了质的提升，可以将目光聚焦到如何对研究对象进行数学处理上来，一步一步脱离整数背景下的思维束缚，形成新的数学素养和能力。
三、实践：聆听儿童数学思考的真实声音
基于前测分析、儿童立场和数学学科本质，笔者进行了如下教学实践：
环节一：课前交流，经验再现
交流：课前，大家用自己喜欢的方式表示出了1/2，现在我们一起来交流一下。
大部分学生画饼，画各种图形，爱美的女生画一个蝴蝶结，将其中的一半涂色。当然，画出的都是一个物体（图形）的1/2。
环节二：聚焦疑点，思维碰撞
师：小宇和小亮的1/2是这样画的（如下图1和图2所示），大家同意他俩的画法吗？
有一些学生同意，觉得这样表示好像也有一定的道理。但也有一些学生明确反对。
生1：我不同意，我认为他们画的应该用2/4和4/8来表示。
师（追问生1）：你是怎么想的？
生1：我是通过数一数得到的。一共4条鱼，涂色部分有2条，这个分数就应该是2/4。
生2：我也认为这两幅图不能用1/2来表示，两幅图中的数量都不一样，你们看，（他举起自己和同桌的作品），雖然我俩一个画圆形，一个画长方形，但我们画的图形的数量是一样的呀。所以我们画的才能用1/2来表示。 生3：我要请问小宇同学，你画的明明是4个和2个。那么，分母的2和分子的1是从哪里来的？
师：听明白了，你们都是通过数物体的个数得到分数的，是吗？
师（转向小宇和小亮）：你们的想法呢？为什么认为自己画的是1/2？
小宇：我不是一个一个看的，我把这两个看成一组（手指在前两条鱼上面画一个圈），一共有两组。所以，2和1就是这么来的。
有不少学生投去赞同的目光。
小亮：我也没有数个数，我想的是关系，看涂色的这一部分和全部之间的关系，它们是1份和2份的关系。
师（给予肯定）：你们没有数具体数量，而是把它们看成“部分”和“全部”之间的关系，从而得到分数。确实厉害！数学眼光独特！
师（追问）：可是光你们这样想还不行，这个“部分”和“全部”怎么来表示才能让大家都看得明白呢？
学生尝试用个性化的方式来表示。
经过讨论、交流，大家达成一致意见：可以使用简洁的数学符号来表示某种特定意义。从而很自然地引出集合圈和分隔线这两个数学符号。
再次明确：没有“大圆圈”（集合圈），这是4条鱼，看到的是“4”，有了“大圆圈”（集合圈），就不再是“4”，而是“1”，一个整体。
环节三：对比辨析，建构模型
1.出示教材例1，先独立完成再交流。
2.思考：桃的总个数不同，每份的个数也不同，为什么都可以用1/2来表示？
3.完成教材例2，再次思考：都是把6个桃平均分，为什么一次用1/2来表示，一次用1/2来表示？
4.出示一组总数、平均分的份数分别变化的问题，引发学生思考、质疑。
环节四：练习巩固，拓展提升（略）
四、再思：与儿童携手向深度学习漫溯
在教学过程中，教师只有准确分析和精准把握数学学科的核心内容和本质，触及数学知识的核心，才能帮助学生在数学知识的本源处、内核处和关键处探寻、体验、感受，给他们一个有根有据、有趣有味的数学，使数学教学从“数人”走向“树人”。
1.把握起点，搭建儿童上行的斜坡。
皮亚杰认为：由儿童去认识自己原有观点的错误所在，能够激起儿童的求知欲，强化其学习动机，促进其认知结构的发展。本节课中，儿童知识经验的“远点”是“平均分”，“近点”是“对一个物体的几分之几的理解和掌握”，这两方面构成了儿童学习的“原点”。再从儿童的认知特点来分析，小学三年级学生的元认知水平还比较低，在学习分数之初往往会依赖“直觉思维”来认识分数，这也是前面学习所积累的经验，这种经验既是他们学习的基础也是阻碍。教师要读懂儿童的困惑，努力搭建儿童上行的斜坡，打通他们向上生长的通道。
2.体验过程，点燃儿童思维的火把。
基于儿童立场的教学观告诉我们，研究儿童是教学工作的核心。虽然“认识一个整体的几分之一”必须从几何直观开始，但要通过数学抽象来最终实现学习任务，需要经历观察、分析、抽象和概括等思维活动过程。即从观察一些物体出发，运用画一画、分一分、数一数等数学手段和数学符号，逐步深入地探究一个整体中部分量与总量的关系，用“份数模型”重新认识直观材料并建构分数意义。在教学中，要紧紧抓住儿童认知发生冲突的有利契机，引导他们从直觉观察走向符号处理，从符号处理走向数学思考，建构起全新的、稳固的分数认知结构。
3.回归本质，实现数学认知的跃升。
儿童的数学概念学习可以概括为经验、语言、图像和符号四个基本环节。其中，最高层级的符号环节是指经过一定程度的抽象概括，儿童能够掌握和运用数学符号来刻画客观世界。本节课的核心数学符号有四个，即集合圈、分隔线、份数和分数，核心认知是分数概念的本质特征。其中，集合圈、分隔线是对直观材料进行数学处理的显性标识，更是深刻认知的前提和基础，儿童只有充分领悟显性标识的数学意义，才能向更高层级的抽象概括跃升，实现从学科知识到数学核心素养的发展目标。
通过分数概念的教学，笔者深刻体会到，小学数学教学必须从儿童的认知出发，从学科本质入手，由内而外实施。只要让儿童感受乐趣、经历过程、自主探究和体验成功，分数的学习就会成为“一道好吃而又营养丰富的數学美食”。
（作者单位：江苏省盐城市第一小学教育集团盐渎校区）