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合情推理（归纳推理、类比推理）与演绎推理在近些年的高考试题中主要以客观题的形式出现，虽然难度不是特别大，但很多同学却常因为失误而丢分．本文将通过具体例子对错误进行分类剖析，希望对同学们的学习有警示作用．
一、归纳不准失误
归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，是由部分到整体、由个别到一般的推理，我们一般用于解决与正整数[n]有关的问题．解答这类题目，我们常犯的错误主要出现在对已知有限项规律的总结是否准确上面．
1. 审题失误导致出错．
例1 观察下列等式：
（1）[cos2α]=[2cos2α][-1]；
（2）[cos4α]=[8cos4α][-8cos2α]+1；
（3）[cos6α]=[32cos6α][-48cos4α]+[18cos2α][-1]；
（4）[cos8α]=[128cos8α][-256cos6α]+[160cos4α][-32cos2α]+1；
（5）[cos10α]=[mcos10α][-1280cos8α]+[1120cos6α][+ncos4α]+[pcos2α][-1].
则[m][-n][+p]= ．
错解 观察等式可知，[cosα]的最高次的系数2、8、32、128构成了公比为4的等比数列，故[m]=128[×]4=512；[cos2α]的系数依次为2,[-8=-2×22],[18=2×32],[-32=-2×42],所以[p]=2[×][52]=50；[cos4α]的系数依次为[8=23],[-48=-3×24],[160=5×25],所以[n]=[-7×26=-448],所以[m][-n][+p]=1010.
剖析 上面的解答犯了审题失误的错误．初看起来似乎很有道理，但只要我们用具体的[α]值代入，就会发现它是错的．
正解 观察等式可知，[cosα]的最高次的系数2、8、32、128构成了公比为4的等比数列，故[m]=128[×]4=512；
取[α]=0，则[cosα=1]，[cos10α=1]代入等式（5），得1=[m-]1280+1120+[n]+[p][-1]，即[n]+[p]=[-350]①；取[α]=[π3]，则[cosα=12]，[cos10α=-12]代入等式（5），得[-12]=[m(12)10][-1280(12)8]+[1120(12)6]+[n(12)4]+[p(12)2][-1]，即[n]+[4p]=[-200]②.
联立①②，得[n]=[-400]，[p]=50.
所以[m][-n][+p]=962．
点拨 从有限项观察出的规律并不一定是正确的，我们有必要进行验证．
2. 思考不周导致出错．
例2 观察下列等式：
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第[n]个等式为 ．
错解 通过观察，我们易发现规律：（1）等式右边依次为[12、32、52、72、⋯;]（2）每行等式最左侧的数为行数且每行的数字个数依次为[1、3、5、7、⋯]．因此，第[n]行等式左边从[n]开始，共有[2n-1]个数，所以到[n+2n-1=3n-1]结束，等式右边的数为[(2n-1)2]．
∴应填[n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n-1)=(2n-1)2]
剖析 上面的思路是正确的，但最后的处理不够严谨，第[n]行等式左边共有[2n-1]个数，应该从[n]开始，到[3n-2]结束．
正解 正确的应该填
[n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n-2)=(2n-1)2]．
点拨 有关正整数[n]的推理，我们一定要细心，像本题的错解就十分可惜！
3. 草率收兵导致出错．
例3 观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（ ）
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
错解 由55=3125，56=15625，57=78125，…可以推知当指数[n]为奇数时，[5n]的末三位数为125，又[2011=3×670+1]，因此52011的末四位数为3125，因此答案选A．
剖析 上面的解答是错误的，它的推理过程过于草率．其实[5n(n∈Z,n≥5)]的末四位数是呈周期为4的周期性变化．
正解 由题目条件[55=3125,56=15625,][57=78125,]
我们还可以计算
[58=390625,59=1953125,510=9765625]，
由此知[5n(n∈Z,n≥5)]的末四位数是呈周期为4的周期性变化，又[2011=4×502+3]，因此52011的末四位数为8125.
点拨 当已知部分个数太少时，我们由归纳推理得出的结果就可能是错误的．本题错解可能是惧怕后面的计算，从而仅从前三项就得出周期为3，是毫无理论依据的，这样做题就非常不应该．
小结 归纳推理是由部分推至整体的一种推理方法， “合乎情理”是关键，即我们作出的归纳首先要适合“部分”，其次归纳的结论要体现“部分”的发展规律．另外，归纳推理得到的结论不一定是正确的，在做题过程中，我们尽可能要进行验证，以确保结论准确无误．
变式训练1 已知[f(x)=x1-x]，[f1(x)=f(x)]，[fn(x)=fn-1fn-1(x)]（[n>1]，且[n∈N∗]），求[f3(x)]的表达式，并猜想[fn(x)]（[n∈N∗]）的表达式．
二、类比不当失误
类比推理是由特殊到特殊的一种推理，它的步骤包括：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征（猜想）；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征；③检验猜想. 这部分的错误主要出现在类比是否妥当上面．
例4 在平面上，设[ha]、[hb]、[hc]是三角形[ABC]三条边上的高，[P]为三角形内任一點，[P]到相应三边的距离分别为[pa]、[pb]、[pc],我们可以得到结论：[paha]+[pbhb]+[pchc]=1,把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论： .
错解 设[Sa]、[Sb]、[Sc]、[Sd]分别是三棱锥[A-BCD]四个面的面积，[P]为三棱锥[A-BCD]内任一点，[P]到相应四个面的距离分别为[pa]、[pb]、[pc]、[pd]，于是我们可以得到结论：[paSa]+[pbSb]+[pcSc]+[pdSd]=1．
剖析 从平面到空间进行类比时缺乏对相应特点的分析，在平面上是三角形内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1，类比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于1．本题如果不考虑比值的特点，就可能误以为类比到空间后是面积之比等，从而得到错误的类比结论．
正解 设[ha]、[hb]、[hc]、[hd]分别是三棱锥[A-BCD]四个面上的高，[P]为三棱锥[A-BCD]内任一点，[P]到相应四个面的距离分别为[pa]、[pb]、[pc]、[pd]，则有[VP-BCD]+[VP-ACD]+[VP-ABD]+[VP-ABC]=[VA-BCD]=[VB-ACD]=[VC-ABD]=[VD-ABC]，即[13SΔBCD⋅pa]+[13SΔACD⋅pb]+[13SΔABD⋅pc]+[13SΔABC⋅pd]=[13SΔBCD⋅ha]=[13SΔACD⋅hb]=[13SΔABD⋅hc]=[13SΔABC⋅hd]，即[paha]+[pbhb]+[pchc]+[pdhd]=1，于是我们可以得到结论：[paha]+[pbhb]+[pchc]+[pdhd]=1．
點拨 类比推理是由此及彼的一种推理，其核心是类比，关键要合情，类比推理得到的结论不一定正确，做题时一定要保证结论的正确性，如本题在三角形中的结论是采用等面积法得到的，在三棱锥中就应该根据等体积法得到，这样不但可以写出相应的结论，而且这个结论还是一个正确的结论．
我们比较常见的题型是由平面几何中的一些定理、公式、结论等类比到立体几何中．一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：
[平面\&点\&线\&圆\&三角形\&角\&面积\&周长\&空间\&线\&面\&球\&三棱锥\&二面角\&体积\&表面积\&]
变式训练2 在平面几何中，有：“若[△ABC]的三边长分别为[a]、[b]、[c]，内切圆半径为[r]，则三角形面积为[SΔABC=12(a+b+c)r]”，拓展到空间，类比上述结论，有“若四面体[ABCD]的中四个面的面积分别为[S1]、[S2]、[S3]、[S4]，内切球的半径为[r]，则四面体的体积为 ”．
三、忽视前提失误
演绎推理是由一般到特殊的推理，它是一种必然性推理，它应该包含三段：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况做出的判断）．这部分的错误主要出现在对两个前提的考虑是否充分上面．
例5 如图，在[ΔABC]中，[AC>BC，CD⊥AB],求证：[∠ACD>][∠BCD]．
错解 在[ΔABC]中， [∵][CD⊥AB]，[AB>BC]，
[∴][AD>BD].
由“大边对大角”易得到[∠ACD]>[∠BCD]，
∴[∠ACD]>[∠BCD]．
剖析 上面的证明过程是错误的．“大边对大角”的前提是“在同一个三角形中”，而题中的[AD、BD]分别在两个三角形中，它忽视了大前提导致出错．
正解 在[ΔABC]中，[∵][CD⊥AB]，
[∴][∠ACD+∠A=∠BCD+∠B]．
又[AC>BC⇒∠B>∠A ]，
[∴][∠ACD]>[∠BCD]．
点拨 演绎推理的前提和结论之间蕴含关系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．
变式训练3 已知[a]>0,[b]>0,求证：[ab]+[ba][≥][a]+[b]．
【参考答案】
1．[fn(x)=x1-2n-1x(x∈N∗)]
2．[VABCD=13(S1+S2+S3+S4)r]
3．[ab]+[ba][-][a]+[b]
=[aa+bb-ab(a+b)ab]
=[(a+b)(a-b)2ab][≥0]．
一、归纳不准失误
归纳推理分为完全归纳和不完全归纳，是由部分到整体、由个别到一般的推理，我们一般用于解决与正整数[n]有关的问题．解答这类题目，我们常犯的错误主要出现在对已知有限项规律的总结是否准确上面．
1. 审题失误导致出错．
例1 观察下列等式：
（1）[cos2α]=[2cos2α][-1]；
（2）[cos4α]=[8cos4α][-8cos2α]+1；
（3）[cos6α]=[32cos6α][-48cos4α]+[18cos2α][-1]；
（4）[cos8α]=[128cos8α][-256cos6α]+[160cos4α][-32cos2α]+1；
（5）[cos10α]=[mcos10α][-1280cos8α]+[1120cos6α][+ncos4α]+[pcos2α][-1].
则[m][-n][+p]= ．
错解 观察等式可知，[cosα]的最高次的系数2、8、32、128构成了公比为4的等比数列，故[m]=128[×]4=512；[cos2α]的系数依次为2,[-8=-2×22],[18=2×32],[-32=-2×42],所以[p]=2[×][52]=50；[cos4α]的系数依次为[8=23],[-48=-3×24],[160=5×25],所以[n]=[-7×26=-448],所以[m][-n][+p]=1010.
剖析 上面的解答犯了审题失误的错误．初看起来似乎很有道理，但只要我们用具体的[α]值代入，就会发现它是错的．
正解 观察等式可知，[cosα]的最高次的系数2、8、32、128构成了公比为4的等比数列，故[m]=128[×]4=512；
取[α]=0，则[cosα=1]，[cos10α=1]代入等式（5），得1=[m-]1280+1120+[n]+[p][-1]，即[n]+[p]=[-350]①；取[α]=[π3]，则[cosα=12]，[cos10α=-12]代入等式（5），得[-12]=[m(12)10][-1280(12)8]+[1120(12)6]+[n(12)4]+[p(12)2][-1]，即[n]+[4p]=[-200]②.
联立①②，得[n]=[-400]，[p]=50.
所以[m][-n][+p]=962．
点拨 从有限项观察出的规律并不一定是正确的，我们有必要进行验证．
2. 思考不周导致出错．
例2 观察下列等式：
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
…
照此规律，第[n]个等式为 ．
错解 通过观察，我们易发现规律：（1）等式右边依次为[12、32、52、72、⋯;]（2）每行等式最左侧的数为行数且每行的数字个数依次为[1、3、5、7、⋯]．因此，第[n]行等式左边从[n]开始，共有[2n-1]个数，所以到[n+2n-1=3n-1]结束，等式右边的数为[(2n-1)2]．
∴应填[n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n-1)=(2n-1)2]
剖析 上面的思路是正确的，但最后的处理不够严谨，第[n]行等式左边共有[2n-1]个数，应该从[n]开始，到[3n-2]结束．
正解 正确的应该填
[n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n-2)=(2n-1)2]．
点拨 有关正整数[n]的推理，我们一定要细心，像本题的错解就十分可惜！
3. 草率收兵导致出错．
例3 观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（ ）
A．3125 B．5625
C．0625 D．8125
错解 由55=3125，56=15625，57=78125，…可以推知当指数[n]为奇数时，[5n]的末三位数为125，又[2011=3×670+1]，因此52011的末四位数为3125，因此答案选A．
剖析 上面的解答是错误的，它的推理过程过于草率．其实[5n(n∈Z,n≥5)]的末四位数是呈周期为4的周期性变化．
正解 由题目条件[55=3125,56=15625,][57=78125,]
我们还可以计算
[58=390625,59=1953125,510=9765625]，
由此知[5n(n∈Z,n≥5)]的末四位数是呈周期为4的周期性变化，又[2011=4×502+3]，因此52011的末四位数为8125.
点拨 当已知部分个数太少时，我们由归纳推理得出的结果就可能是错误的．本题错解可能是惧怕后面的计算，从而仅从前三项就得出周期为3，是毫无理论依据的，这样做题就非常不应该．
小结 归纳推理是由部分推至整体的一种推理方法， “合乎情理”是关键，即我们作出的归纳首先要适合“部分”，其次归纳的结论要体现“部分”的发展规律．另外，归纳推理得到的结论不一定是正确的，在做题过程中，我们尽可能要进行验证，以确保结论准确无误．
变式训练1 已知[f(x)=x1-x]，[f1(x)=f(x)]，[fn(x)=fn-1fn-1(x)]（[n>1]，且[n∈N∗]），求[f3(x)]的表达式，并猜想[fn(x)]（[n∈N∗]）的表达式．
二、类比不当失误
类比推理是由特殊到特殊的一种推理，它的步骤包括：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征（猜想）；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征；③检验猜想. 这部分的错误主要出现在类比是否妥当上面．
例4 在平面上，设[ha]、[hb]、[hc]是三角形[ABC]三条边上的高，[P]为三角形内任一點，[P]到相应三边的距离分别为[pa]、[pb]、[pc],我们可以得到结论：[paha]+[pbhb]+[pchc]=1,把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论： .
错解 设[Sa]、[Sb]、[Sc]、[Sd]分别是三棱锥[A-BCD]四个面的面积，[P]为三棱锥[A-BCD]内任一点，[P]到相应四个面的距离分别为[pa]、[pb]、[pc]、[pd]，于是我们可以得到结论：[paSa]+[pbSb]+[pcSc]+[pdSd]=1．
剖析 从平面到空间进行类比时缺乏对相应特点的分析，在平面上是三角形内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1，类比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于1．本题如果不考虑比值的特点，就可能误以为类比到空间后是面积之比等，从而得到错误的类比结论．
正解 设[ha]、[hb]、[hc]、[hd]分别是三棱锥[A-BCD]四个面上的高，[P]为三棱锥[A-BCD]内任一点，[P]到相应四个面的距离分别为[pa]、[pb]、[pc]、[pd]，则有[VP-BCD]+[VP-ACD]+[VP-ABD]+[VP-ABC]=[VA-BCD]=[VB-ACD]=[VC-ABD]=[VD-ABC]，即[13SΔBCD⋅pa]+[13SΔACD⋅pb]+[13SΔABD⋅pc]+[13SΔABC⋅pd]=[13SΔBCD⋅ha]=[13SΔACD⋅hb]=[13SΔABD⋅hc]=[13SΔABC⋅hd]，即[paha]+[pbhb]+[pchc]+[pdhd]=1，于是我们可以得到结论：[paha]+[pbhb]+[pchc]+[pdhd]=1．
點拨 类比推理是由此及彼的一种推理，其核心是类比，关键要合情，类比推理得到的结论不一定正确，做题时一定要保证结论的正确性，如本题在三角形中的结论是采用等面积法得到的，在三棱锥中就应该根据等体积法得到，这样不但可以写出相应的结论，而且这个结论还是一个正确的结论．
我们比较常见的题型是由平面几何中的一些定理、公式、结论等类比到立体几何中．一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下：
[平面\&点\&线\&圆\&三角形\&角\&面积\&周长\&空间\&线\&面\&球\&三棱锥\&二面角\&体积\&表面积\&]
变式训练2 在平面几何中，有：“若[△ABC]的三边长分别为[a]、[b]、[c]，内切圆半径为[r]，则三角形面积为[SΔABC=12(a+b+c)r]”，拓展到空间，类比上述结论，有“若四面体[ABCD]的中四个面的面积分别为[S1]、[S2]、[S3]、[S4]，内切球的半径为[r]，则四面体的体积为 ”．
三、忽视前提失误
演绎推理是由一般到特殊的推理，它是一种必然性推理，它应该包含三段：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况做出的判断）．这部分的错误主要出现在对两个前提的考虑是否充分上面．
例5 如图，在[ΔABC]中，[AC>BC，CD⊥AB],求证：[∠ACD>][∠BCD]．
错解 在[ΔABC]中， [∵][CD⊥AB]，[AB>BC]，
[∴][AD>BD].
由“大边对大角”易得到[∠ACD]>[∠BCD]，
∴[∠ACD]>[∠BCD]．
剖析 上面的证明过程是错误的．“大边对大角”的前提是“在同一个三角形中”，而题中的[AD、BD]分别在两个三角形中，它忽视了大前提导致出错．
正解 在[ΔABC]中，[∵][CD⊥AB]，
[∴][∠ACD+∠A=∠BCD+∠B]．
又[AC>BC⇒∠B>∠A ]，
[∴][∠ACD]>[∠BCD]．
点拨 演绎推理的前提和结论之间蕴含关系，只要前提是真实的，推理形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．
变式训练3 已知[a]>0,[b]>0,求证：[ab]+[ba][≥][a]+[b]．
【参考答案】
1．[fn(x)=x1-2n-1x(x∈N∗)]
2．[VABCD=13(S1+S2+S3+S4)r]
3．[ab]+[ba][-][a]+[b]
=[aa+bb-ab(a+b)ab]
=[(a+b)(a-b)2ab][≥0]．