论文部分内容阅读
【关键词】 斐波那契数列 信息技术 探究
【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889（B）.2011.02.021
《普通高中数学课程标准》设置了数学建模和数学探究的学习活动。计算机技术和数学软件的飞速发展使人们对“数学课程与信息技术的整合”有了更深刻的理解，我们可以且应该用计算机“做数学”、“表现数学”，帮助学生学习数学、理解数学、欣赏数学，让学生在已有的认知结构基础上去发现和建构新知识。这样的数学实验提供了一种全新的数学教学手段和模式，受到了大中小学广泛的关注。
人民教育出版社和江苏教育出版社出版的课标教材都介绍了斐波那契数列；人民教育出版社教材中的研究性学习课题“上楼问题的数列模型”是一个与斐波那契数列密切相关的经典名题。我们选择斐波那契数列作为高中二年级数学探究性学习课题，设计了一节数学探究实验展示课。
一、 教学目标
1. 知识方面：使学生理解斐波那契数列，掌握斐波那契数列通项公式的求法，能应用斐波那契数列解决日常生活中的一些问题。
2. 能力方面：培养学生的观察能力、发现能力、解决实际问题的能力和审美意识。
3. 品质素养方面：使学生体会数学来源于生活的大众数学思想，培养学生的实践能力和应用意识。
二、 重点难点
重点：斐波那契数列、斐波那契数列的应用。
难点：斐波那契数列通项公式的求法，将实际问题转化为数学问题。
三、 教学手段
多媒体辅助教学。
四、 教学过程
（一） 创设情境
今天这节课我们来看一个有趣的问题，它最初是由一名意大利数学家斐波那契在13世纪初提出的：兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第八个月共有多少对兔子（若生下的小兔都不死的话）？
先让学生自由讨论，教师再辅以课件分析。
我们用●表示一对大兔，用○表示一对小兔，则可逐月统计得到每月的兔子对数：
如此推算下去，我们不难得出下面结果：
∴第八个月共有21对兔子。
如果我们用un表示第n月后的兔子数，则有：
{un}：1，2，3，5，8，13，21，…
这个数列被称为斐波那契数列，我们这节课就来研究这个有趣的数列问题。
（二） 提出问题
问题1上述问题，两年后有多少对兔子？三年后、五年呢？
学生发现继续用上面这种方法来推算，似乎有些“笨”，而且越往后越复杂。学生自然会想有无简单的办法推算。
问题2请观察斐波那契数列，你发现了什么规律？
学生讨论后，不难得出该数列中各项有如下递推关系：
u1=u2=1un=un-1+un-2（n≥3）（1）
教师在鼓励学生的同时指出：在当时，这个简单的递推关系却是在斐氏死后近四百年才由一名叫奇拉特的数学家发现的。
由于这一发现，生小兔问题引起人们的极大兴趣。最重要的是，计算这列数给我们带来一定的方便。我们可以轻而易举地计算两年后、三年后、五年后……的兔子对数。
问题3若要计算十年、二十年以后的兔子数，我们就不得不计算它前面所有项的兔子对数，用递推关系，是不是又出现了繁琐？这时我们迫切地想知道：若已知月份数，能够马上计算出兔子对数吗？
学生马上想到要推导斐波那契数列的通项公式。
（三） 数学实验
【数学实验是指学生按照教师提出的要求，亲自用电脑完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据中反映出的规律性，对实验结果做出清楚的描述。它是整个教学过程中的核心环节。作为中学数学实验工具的常用数学软件有几何画板、Mathematica、MathCAD、EXCEL等。】
请同学们用Mathematica数学软件，在电脑上完成相应的实验：
计算出斐波那契数列的前20项并作出其散点图，观察斐波那契数列的图像，连接相邻的点作折线图。
问题4仔细观察图像，它与哪一种已知函数图像很近似？
学生发现：fibonacci[i]随i增加的速度很快，猜想是按指数式增长。
也有学生进一步取对数后再观察，可以发现图像近似一条直线。
（四） 归纳猜想
【学生在理解了学习课题后，通过直观观察、实验分析、数学灵感等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出猜想。本环节是整个教学过程中的关键环节，是数学实验的高潮阶段，同时也是培养学生合情推理能力的过程。】
学生通过实验、观察可得出如下猜想：
猜想1：un=an （2）
并且由递推关系un=un-1+un-2得出
an=an-1+an-2，即a2=a+1，解出两根
这是一个耐人寻味的等式：等式左边是正整数，右边却是由无理数来表达的。
有学生用实验验证了这个斐波那契数列的通项公式。
（五） 推理论证
【提出猜想之后，需要通过演绎推理的方法来证明猜想的正确性或通过举出反例的方法来否定猜想。验证猜想的过程实际上是培养学生求实的学习态度和严谨的逻辑推理能力的过程。这是数学实验不可缺少的环节，是获得正确结论的关键步骤。】
要求学生用数学归纳法证明通项公式。
（六）拓展应用
斐波那契数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中有着非常广泛的应用，如树枝生长问题、蜜蜂进蜂房问题、上楼方式问题……许许多多的事物中都隐含着斐波那契数。启发学生善于将这些实际问题转化成数学问题。
应用1．树枝生长问题
波兰数学家史坦因豪斯的名著《数学万花筒》中有这样一个问题：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝便可每年长出一条新枝。如此下去，十年后树枝将有多少？(由学生回答，这个问题只是斐波那契数列问题的简单变化)
应用2．蜜蜂进蜂房问题
一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到n号蜂房，但只允许它自左向右（不许反方向倒走），则它爬到各号蜂房的路线数各是多少？
学生探讨，老师再进行分析、启发：
设蜜蜂从蜂房A出发，爬到i （i=1，2，…，n）号蜂房的路线数为ui，我们可将爬到n号蜂房的方式分为两类：一类是不经过n-1号蜂房而直接从n-2号蜂房进入第n号蜂房，路线数有un-2条；另一类是经过n-1号蜂房进入第n号蜂房，路线数有un-1条，所以un=un-1+un-2（u1=１，u2=2）。
应用3．反问兔子问题
兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第几个月可以得到360对兔子？
（1） 用递推公式
u1=u2=1un=un-1+un-2（n≥3）
通过利用循环结构编写计算机程序，运行后即可得出结果为14。
（2）作为斐波那契数列通项公式的应用。
拓展1. 上楼方式问题
上楼梯时，若允许每次跨一级或两级，那么楼梯级数为12时上楼的方式数是多少？（数学竞赛题）一般地，楼梯级数为n时上楼的方式数是多少？（这个问题等价于斐波那契数列问题）
若允许每次跨一级或两级或三级，那么对于楼梯级数为n时的上楼方式数是多少？
（可建立上楼问题递推数列模型：
fn+3=fn+2+fn+1+fn，以及f1=1，f2=2，f3=4，利用循环结构编写一个计算机程序计算）。
拓展2. 杨辉三角形与斐波那契数列
把杨辉三角形中的数据排列在表格中，自左下至右上斜线相加。直觉告诉我们，和数列可能是斐波那契数列。
学生通过观察和归纳得出了斐波那契数列通项的组合表达式的猜想：
（其中k=［n/2］是不超过n/2的最大整数）。这一猜想的发现使整个教学过程又达到了一个高潮，这说明学生已经有了一定的洞察力和数学灵感。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系，到底有哪些联系呢？
拓展4. 斐波那契螺旋
由正方形可以构成一系列的长方形，其边长为斐波那契数列的连续项。在正方形内绘出一个圆的1/4，就可以得到一条螺线，这样的螺线被称为斐波那契螺旋。
展示从网上下载的丰富资源，同时指出：斐波那契螺旋在自然界中随处可见，如蜘蛛网、向日葵、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等。
斐波那契数列涉及的知识极为广博，美国曾在1963年创办了《斐波那契季刊》专门研究该数列。建议同学们通过浏览互联网(如http://www.1088.com.cn/math/005)或查阅有关书籍收集资料，观察植物的叶序、菠萝的鳞片、钢琴键盘……进一步研究斐波那契数列。数学知识来源于生活，只要我们细心观察，就会发现数学的美妙。
【教学反思】
运用现代教育技术能向学生提供丰富多彩的教学内容，使教学内容形象化、生活化，创设良好的问题情境，拓宽学生的视野，激发学生的学习兴趣，增进学生对数学的理解，鼓励学生探究，最终提高数学教学的质量。
基于计算机信息技术的数学实验课的引入，给高中数学课注入了活力，更能给予学生一个“完整的数学”。教师使用计算机来辅助完成教学任务，通过数学实验来降低问题的难度，不用太多的语言，而是让学生自己动手实验、观察发现、猜想验证、合情推理、得出结论。
本节课教师从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供了充分地从事数学活动和交流的机会，在分析和解决生兔子问题、树枝生长问题、上楼方式问题、蜜蜂进蜂房问题时，学生表现出了极大的热情和兴趣。
新教学模式呼唤高素质的教师，数学教师要能像使用粉笔、黑板、常规教具一样使用计算机来辅助完成教学任务，充分发挥计算机在数学实验教学中的优势。目前教师队伍可能难以适应发展的要求，要提高教师信息技术应用能力，才能更好地使数学实验课进入中学数学课堂。
（作者蒋晓云系桂林师范高等专科学校教授、基础教育研究中心主任，桂林市21世纪园丁工程导师、基础教育改革专家成员组成员，广西教师教育网络联盟中学数学课程自治区专家组成员，广西中心校校长培训项目自治区级专家）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【文献编码】 doi:10.3969/j.issn.0450-9889（B）.2011.02.021
《普通高中数学课程标准》设置了数学建模和数学探究的学习活动。计算机技术和数学软件的飞速发展使人们对“数学课程与信息技术的整合”有了更深刻的理解，我们可以且应该用计算机“做数学”、“表现数学”，帮助学生学习数学、理解数学、欣赏数学，让学生在已有的认知结构基础上去发现和建构新知识。这样的数学实验提供了一种全新的数学教学手段和模式，受到了大中小学广泛的关注。
人民教育出版社和江苏教育出版社出版的课标教材都介绍了斐波那契数列；人民教育出版社教材中的研究性学习课题“上楼问题的数列模型”是一个与斐波那契数列密切相关的经典名题。我们选择斐波那契数列作为高中二年级数学探究性学习课题，设计了一节数学探究实验展示课。
一、 教学目标
1. 知识方面：使学生理解斐波那契数列，掌握斐波那契数列通项公式的求法，能应用斐波那契数列解决日常生活中的一些问题。
2. 能力方面：培养学生的观察能力、发现能力、解决实际问题的能力和审美意识。
3. 品质素养方面：使学生体会数学来源于生活的大众数学思想，培养学生的实践能力和应用意识。
二、 重点难点
重点：斐波那契数列、斐波那契数列的应用。
难点：斐波那契数列通项公式的求法，将实际问题转化为数学问题。
三、 教学手段
多媒体辅助教学。
四、 教学过程
（一） 创设情境
今天这节课我们来看一个有趣的问题，它最初是由一名意大利数学家斐波那契在13世纪初提出的：兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第八个月共有多少对兔子（若生下的小兔都不死的话）？
先让学生自由讨论，教师再辅以课件分析。
我们用●表示一对大兔，用○表示一对小兔，则可逐月统计得到每月的兔子对数：
如此推算下去，我们不难得出下面结果：
∴第八个月共有21对兔子。
如果我们用un表示第n月后的兔子数，则有：
{un}：1，2，3，5，8，13，21，…
这个数列被称为斐波那契数列，我们这节课就来研究这个有趣的数列问题。
（二） 提出问题
问题1上述问题，两年后有多少对兔子？三年后、五年呢？
学生发现继续用上面这种方法来推算，似乎有些“笨”，而且越往后越复杂。学生自然会想有无简单的办法推算。
问题2请观察斐波那契数列，你发现了什么规律？
学生讨论后，不难得出该数列中各项有如下递推关系：
u1=u2=1un=un-1+un-2（n≥3）（1）
教师在鼓励学生的同时指出：在当时，这个简单的递推关系却是在斐氏死后近四百年才由一名叫奇拉特的数学家发现的。
由于这一发现，生小兔问题引起人们的极大兴趣。最重要的是，计算这列数给我们带来一定的方便。我们可以轻而易举地计算两年后、三年后、五年后……的兔子对数。
问题3若要计算十年、二十年以后的兔子数，我们就不得不计算它前面所有项的兔子对数，用递推关系，是不是又出现了繁琐？这时我们迫切地想知道：若已知月份数，能够马上计算出兔子对数吗？
学生马上想到要推导斐波那契数列的通项公式。
（三） 数学实验
【数学实验是指学生按照教师提出的要求，亲自用电脑完成相应的实验，努力去发现与所研究问题相关的一些数据中反映出的规律性，对实验结果做出清楚的描述。它是整个教学过程中的核心环节。作为中学数学实验工具的常用数学软件有几何画板、Mathematica、MathCAD、EXCEL等。】
请同学们用Mathematica数学软件，在电脑上完成相应的实验：
计算出斐波那契数列的前20项并作出其散点图，观察斐波那契数列的图像，连接相邻的点作折线图。
问题4仔细观察图像，它与哪一种已知函数图像很近似？
学生发现：fibonacci[i]随i增加的速度很快，猜想是按指数式增长。
也有学生进一步取对数后再观察，可以发现图像近似一条直线。
（四） 归纳猜想
【学生在理解了学习课题后，通过直观观察、实验分析、数学灵感等各种途径和方式，根据已有的信息或新得到的信息，提出猜想。本环节是整个教学过程中的关键环节，是数学实验的高潮阶段，同时也是培养学生合情推理能力的过程。】
学生通过实验、观察可得出如下猜想：
猜想1：un=an （2）
并且由递推关系un=un-1+un-2得出
an=an-1+an-2，即a2=a+1，解出两根
这是一个耐人寻味的等式：等式左边是正整数，右边却是由无理数来表达的。
有学生用实验验证了这个斐波那契数列的通项公式。
（五） 推理论证
【提出猜想之后，需要通过演绎推理的方法来证明猜想的正确性或通过举出反例的方法来否定猜想。验证猜想的过程实际上是培养学生求实的学习态度和严谨的逻辑推理能力的过程。这是数学实验不可缺少的环节，是获得正确结论的关键步骤。】
要求学生用数学归纳法证明通项公式。
（六）拓展应用
斐波那契数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中有着非常广泛的应用，如树枝生长问题、蜜蜂进蜂房问题、上楼方式问题……许许多多的事物中都隐含着斐波那契数。启发学生善于将这些实际问题转化成数学问题。
应用1．树枝生长问题
波兰数学家史坦因豪斯的名著《数学万花筒》中有这样一个问题：一棵树一年后长出一条新枝，新枝隔一年后成为老枝，老枝便可每年长出一条新枝。如此下去，十年后树枝将有多少？(由学生回答，这个问题只是斐波那契数列问题的简单变化)
应用2．蜜蜂进蜂房问题
一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到n号蜂房，但只允许它自左向右（不许反方向倒走），则它爬到各号蜂房的路线数各是多少？
学生探讨，老师再进行分析、启发：
设蜜蜂从蜂房A出发，爬到i （i=1，2，…，n）号蜂房的路线数为ui，我们可将爬到n号蜂房的方式分为两类：一类是不经过n-1号蜂房而直接从n-2号蜂房进入第n号蜂房，路线数有un-2条；另一类是经过n-1号蜂房进入第n号蜂房，路线数有un-1条，所以un=un-1+un-2（u1=１，u2=2）。
应用3．反问兔子问题
兔子出生两个月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），假如养了初生的小兔一对，试问第几个月可以得到360对兔子？
（1） 用递推公式
u1=u2=1un=un-1+un-2（n≥3）
通过利用循环结构编写计算机程序，运行后即可得出结果为14。
（2）作为斐波那契数列通项公式的应用。
拓展1. 上楼方式问题
上楼梯时，若允许每次跨一级或两级，那么楼梯级数为12时上楼的方式数是多少？（数学竞赛题）一般地，楼梯级数为n时上楼的方式数是多少？（这个问题等价于斐波那契数列问题）
若允许每次跨一级或两级或三级，那么对于楼梯级数为n时的上楼方式数是多少？
（可建立上楼问题递推数列模型：
fn+3=fn+2+fn+1+fn，以及f1=1，f2=2，f3=4，利用循环结构编写一个计算机程序计算）。
拓展2. 杨辉三角形与斐波那契数列
把杨辉三角形中的数据排列在表格中，自左下至右上斜线相加。直觉告诉我们，和数列可能是斐波那契数列。
学生通过观察和归纳得出了斐波那契数列通项的组合表达式的猜想：
（其中k=［n/2］是不超过n/2的最大整数）。这一猜想的发现使整个教学过程又达到了一个高潮，这说明学生已经有了一定的洞察力和数学灵感。
斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系，到底有哪些联系呢？
拓展4. 斐波那契螺旋
由正方形可以构成一系列的长方形，其边长为斐波那契数列的连续项。在正方形内绘出一个圆的1/4，就可以得到一条螺线，这样的螺线被称为斐波那契螺旋。
展示从网上下载的丰富资源，同时指出：斐波那契螺旋在自然界中随处可见，如蜘蛛网、向日葵、水流的旋涡、蜗牛壳的螺纹以及星系内星球的分布等。
斐波那契数列涉及的知识极为广博，美国曾在1963年创办了《斐波那契季刊》专门研究该数列。建议同学们通过浏览互联网(如http://www.1088.com.cn/math/005)或查阅有关书籍收集资料，观察植物的叶序、菠萝的鳞片、钢琴键盘……进一步研究斐波那契数列。数学知识来源于生活，只要我们细心观察，就会发现数学的美妙。
【教学反思】
运用现代教育技术能向学生提供丰富多彩的教学内容，使教学内容形象化、生活化，创设良好的问题情境，拓宽学生的视野，激发学生的学习兴趣，增进学生对数学的理解，鼓励学生探究，最终提高数学教学的质量。
基于计算机信息技术的数学实验课的引入，给高中数学课注入了活力，更能给予学生一个“完整的数学”。教师使用计算机来辅助完成教学任务，通过数学实验来降低问题的难度，不用太多的语言，而是让学生自己动手实验、观察发现、猜想验证、合情推理、得出结论。
本节课教师从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供了充分地从事数学活动和交流的机会，在分析和解决生兔子问题、树枝生长问题、上楼方式问题、蜜蜂进蜂房问题时，学生表现出了极大的热情和兴趣。
新教学模式呼唤高素质的教师，数学教师要能像使用粉笔、黑板、常规教具一样使用计算机来辅助完成教学任务，充分发挥计算机在数学实验教学中的优势。目前教师队伍可能难以适应发展的要求，要提高教师信息技术应用能力，才能更好地使数学实验课进入中学数学课堂。
（作者蒋晓云系桂林师范高等专科学校教授、基础教育研究中心主任，桂林市21世纪园丁工程导师、基础教育改革专家成员组成员，广西教师教育网络联盟中学数学课程自治区专家组成员，广西中心校校长培训项目自治区级专家）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文