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近日，因执教北师大版教材《周长》一课，故对此内容有了较为深入的思考。《周长》一课，北师大版教材安排在三年级上册。在学习此内容前，学生已经认识了一些基本立体图形，初步了解了平面图形与立体图形之间的联系，知道了长方形、正方形、平行四边形等一些平面图形的基本特征，并已习得了一定的测量线段长度的经验。笔者主要围绕以下三个层面进行分析与思考。
一、 “周长”到底是什么？学生已具有怎样的“周长”前概念？
关于“周长”的概念，教材是这样定义的：“图形一周的长度，就是图形的周长。”简单的一句话，两个关键词：“一周”和“长度”，其实表明了周长的“一纬”特质和“长度”属性。那么，对于学习这个内容前的学生而言，“周长”又具有怎样的前概念呢？笔者对两个班102名学生进行了调查。
调查分为两个部分。第一部分，以“你听说过周长吗？”为题，了解学生对“周长”这一数学概念的知晓情况。结果答“听说过”的学生有11人，占被调查总人数的10.8%；“没听说过”的学生近九成。又对“听说过”的学生进行访谈后了解到，9人为爸爸妈妈教过，2人为看书知道。
调查的第二部分，尝试完成任务（没听说过的，则凭自己的理解去猜一猜）：下面的图形有没有周长？如果有，请你用彩色笔描出它的周长在哪里？
调查结果：
1.“听说过”的11人中，认为2号“角”没有周长的3人，占“听说过”总人数的27.3%，其中仅1人认为4个图形中只有“角”没有周长。错误情况中包括：描了4个图形的部分边，描了4个图形的角，涂了①号图形的面积等。后又对仅认为“角”没有周长的学生进行访谈，该生能够说明：因为这个图形两条边没有连起来。再问是怎么知道的？告知是爸爸教过的。
2.“没听说过”的91人中，认为2号“角”没有周长的28人，占“没听说过”总人数的30.8%，但也仅2人认为4个图形中只有“角”没有周长，其余26人均把“角”和其他某个图形一起看作没有周长。主要错误同样是描了4个图形的部分边，描了4个图形的角，涂了①号图形的面积等。后也同样对仅认为“角”没有周长的学生进行访谈，两位学生均告知是猜的。
从调查可知，学生对“周长”作为一个数学概念，知晓率并不高。而从学生尝试指出“图形周长”的调查又可知，近80%学生对“周长”认识相当模糊，且有三分之一的学生一点经验都没有。
二、 通过《周长》一课的学习，学生对“周长”概念的理解达到怎样的程度才是合理的？
在本节课学习之前，学生对于作为数学概念的“周长”，虽然知之甚少，有的甚至一点经验也没有，但从学生的尝试中可以看出，由于前有一些平面图形的认识及长度测量的经验，超过半数以上的学生对基于直观认识的“周长”的理解应该不太难。因此，本节课的教学目标确定如下：
1.认识图形的周长，理解图形周长的含义，并能够根据确定的周长在点子图上画出相应的图形。
2.会测量图形的周长，并能够在教师的启发下想到用“化曲为直”的方法，测量一些曲线围成的图形的周长。
实践时，两个目标可以分解成四个学习层次：层次一，知道图形一周的长度，就是这个图形的周长；层次二，能够描出某个图形的周长；层次三，能够测量基本平面图形的周长；层次四，能够根据图形的周长想象出图形。四个层次层层推进，相互支撑。知道周长概念是达成后面学习的基础，指出图形周长和测量基本平面图形的周长，既是反映学生对“周长”意义是否理解的过程性层次，同时又是逐步引导学生深入体验图形周长、理解周长意义的过程。第四个层次则是最高层次的学习目标。因为这不仅是引导学生继续体验图形周长的意义，同时又是学生空间观念培养的重要过程，是几何直观在思维层面上的体现，是一种充分体现数学思考的目标层次。
三、 基于“周长”学习的活动，怎样组织才能既围绕教学核心，又利于提升学生的数学思维？
基本学习材料的选择，当然需要有利于唤起学生已有的认知经验，同时也能帮助学生很好地理解周长意义。而学习活动设计需要留给学生充分的思考空间，突出数学思考的含量，并有相应的思维推进层次。现结合具体的教学过程加以分析。
1.三个关键活动的设计及实施
活动一：观察描述，感知周长。
1.情境引出“一周”的概念。
呈现情境图，请学生说说图中所讲的事情。
师：她在做什么？
生：量腰围。
师：腰围是什么意思？
生：就是腰部一周的长度。
顺势板书：一周的长度
2.指出平面图形的“一周”，导出周长。
呈现学生在二年级下册已经认识的平面图形——长方形、正方形、平行四边形。
师：这些图形有没有“一周的长度”？有，又在哪里呢？
请学生指出这些图形一周的长度。揭示概念：图形一周的长度，就是它的周长
活动二：描、量周长，理解意义。
1.结合概念，指出以上三个平面图形的周长，教师根据学生的说明，用多媒体操作演示图形的周长。
2.练习：下面的图形有没有周长？如果有，请你用彩色笔描出它的周长。
学生先在练习纸上独立完成，反馈时分解为两个层次：
层次一：确认这些图形有没有周长？为什么？
最后学生都认为③号图形没有周长。理由是“角”不是封闭图形。于是教师完善板书：封闭图形一周的长度，就是这个图形的周长。
层次二：指出其他图形的周长。教学中，学生对④号图形的周长认识有困难，作重点讨论。
3.度量图形周长。
师：如果想具体知道1号和5号图形的周长，你有什么办法？
学生活动，自主研究。
反馈①号图形，用尺量出3条边的长度加起来即为图形的周长。
反馈⑤号图形，直尺量不行，只能想其他办法量这条线的长度。这是本节课中富有挑战性的学习环节，有利于激起学生的思考。
最终得出结论：周长是可以测量的，当周长不是由线段组成时，我们可以把它转化成线段来测量。 活动三：逆向研究，发展思维。
师：同学们已经知道什么是图形的周长了。现在老师想请你设计一个周长是10厘米的图形，你想怎样设计？
给学生一定的思考时间后，请他们在点子图上画出图形。
学生完成后分三个层次反馈：
层次一：画了不封闭图形的情况。师：这位同学是这样画的，你们同意吗？（强调，不封闭图形是没有周长的。）
层次二：画了长方形或正方形的情况。确认这个图形的周长是不是10厘米？如何确认？（引导学生去数，当然对长方形和正方形特征掌握比较好的，可用它们的特征作说明。）
层次三：画了其他不规则的图形。讨论如何来确认图形的周长，主要说明：这个图形的周长是不是10厘米？请学生通过“数”来确认。“数”的过程中，巩固对周长“一周”的长度的理解。
2.实践后的思考
（1）数学概念的建构，需要经历表象建立和丰富的过程。数学概念的理解与掌握，不仅仅指知道相关的文字描述，它更需要体现在多角度思维把握的过程中。因此，在概念学习的过程中，建立起丰富的表象是数学概念学习必须经历的过程。以上三个层次的“周长”学习活动正是如此。
感知环节，描述周长。这是一个“知道周长”的过程。从生活概念“一周”导入到图形“一周”的认识，揭示概念，像这样“图形一周的长度”，就是图形的周长。当然，这个过程并不是一步到位的，而是通过对三个已认识的平面图形一周的感知，逐步深刻起来的。第一个图形（长方形）的“一周”，指名学生指出，媒体演示，学生观察印刻于脑海中；第二个图形（正方形）的“一周”，学生先指出，再媒体演示，学生书空描画；第三个图形（平行四边形），先描画，再媒体演示，再描画。通过三个图形周长的描画，帮助学生初步建立图形周长的直观表象。
描、量环节，理解周长，是本节课中的重点活动，也是学生建立起“周长”表象的关键环节。请学生先判断图形有没有周长，再描出图形周长的过程，是一个学生自主建构“周长”概念的环节。反馈时又分三步，逐步完成。
第一步：明晰这些图形有无周长。课上主要借助图3中的图形③来进一步认识图形周长的概念。因为几次教学中，总有学生描了这个图形（“角”）的周长。于是请学生自主辩论，最后得出结论：这个图形没有周长，因为它不是封闭图形，没有一周，所以没有周长，从而完善对周长概念的认识。
第二步：描出复杂图形的周长，即图3中的图形②花朵图案的周长，引导学生深刻认识图形的周长是围绕在图形外围一周的长度。这同样是一个完善认识的重要步骤。
第三步：测量图形的周长。以图3中的①号三角形和⑤号圆为材料，请学生量出这两个图形的周长，引导学生在度量过程中进一步认识到周长的“长度”属性，也即周长是可测量的。实际教学中，学生能够从中感悟到周长的“长度”属性。他们很自然地用尺量出了三角形三条边的长度。此时引导学生体会，三条边的长度和便是这个三角形的周长，加深对周长意义的理解。而测量圆的周长时，学生碰到了测量技术上的困难，但其测量这条曲线长度的意向还是相当明确，说明学生对圆周长的认识还是清楚的。
（2）组织富有挑战性的学习活动，让学生的思维得以提升。数学学习必须有学生数学思维经历的过程，而激发学生的数学思考，富有挑战性的学习任务设计是重要的因素。本节课中，两个环节的学习任务，充分体现了数学学习任务的挑战性特点。
①测量圆的周长。学生已有的测量长度的经验，只是停留于对线段长度的测量。当碰到如同圆的周长这样的长度测量时，还是碰到了不小的困难。而正因为解决这个问题没有现成的办法，需要突破常规，创新思路，所以更有挑战性和思考的价值。实践中，也确实有学生想到了解决的办法。
有一位学生想到，将圆周平均分成16份，然后用尺量出其中一份的长度，再乘以16，就是这个圆的周长。于是，有学生想到了再分下去，我想这已经接近于古时测量圆周长的“割圆术”了。
还有学生想到，用一把软尺绕在圆周上，进行直接测量。这样的想法，也颇有创意，当我们不能把直尺弯过来时，我们可以将尺变软。
当然，实际教学中，也确实有学生想到，先用一根线绕在圆周上，然后将正好绕圆一周的线剪下来，用直尺测量线的长度，也就测量出圆的周长了。这便是典型的“化曲为直”的思想了。
②点子图上画出周长为10厘米的图形。此学习任务的目标是使学生进一步理解图形周长的本质内涵。同时，在学生的反馈中，有多种的表示形式，可以作为提高学生空间想象能力、发展空间观念的重要素材。
学生的作业也反映了不同的思维水平。水平一，只能画出一个长方形（如图形①或图形②）；水平二，能画出两个长方形，即图形①和图形②；水平三，能画出如图形③、图形④、图形⑤这样的不规则图形。
当有学生呈现了如图形③这样的图形时，有学生发出了惊叹声，相信是这些有创意的作业给了他一种恍然大悟的感觉。而这样的思维过程，也正是学生有创意的思考解决问题的表现。这样的想象力和思考力，也同样是学生空间观念培养的重要方面。
一、 “周长”到底是什么？学生已具有怎样的“周长”前概念？
关于“周长”的概念，教材是这样定义的：“图形一周的长度，就是图形的周长。”简单的一句话，两个关键词：“一周”和“长度”，其实表明了周长的“一纬”特质和“长度”属性。那么，对于学习这个内容前的学生而言，“周长”又具有怎样的前概念呢？笔者对两个班102名学生进行了调查。
调查分为两个部分。第一部分，以“你听说过周长吗？”为题，了解学生对“周长”这一数学概念的知晓情况。结果答“听说过”的学生有11人，占被调查总人数的10.8%；“没听说过”的学生近九成。又对“听说过”的学生进行访谈后了解到，9人为爸爸妈妈教过，2人为看书知道。
调查的第二部分，尝试完成任务（没听说过的，则凭自己的理解去猜一猜）：下面的图形有没有周长？如果有，请你用彩色笔描出它的周长在哪里？
调查结果：
1.“听说过”的11人中，认为2号“角”没有周长的3人，占“听说过”总人数的27.3%，其中仅1人认为4个图形中只有“角”没有周长。错误情况中包括：描了4个图形的部分边，描了4个图形的角，涂了①号图形的面积等。后又对仅认为“角”没有周长的学生进行访谈，该生能够说明：因为这个图形两条边没有连起来。再问是怎么知道的？告知是爸爸教过的。
2.“没听说过”的91人中，认为2号“角”没有周长的28人，占“没听说过”总人数的30.8%，但也仅2人认为4个图形中只有“角”没有周长，其余26人均把“角”和其他某个图形一起看作没有周长。主要错误同样是描了4个图形的部分边，描了4个图形的角，涂了①号图形的面积等。后也同样对仅认为“角”没有周长的学生进行访谈，两位学生均告知是猜的。
从调查可知，学生对“周长”作为一个数学概念，知晓率并不高。而从学生尝试指出“图形周长”的调查又可知，近80%学生对“周长”认识相当模糊，且有三分之一的学生一点经验都没有。
二、 通过《周长》一课的学习，学生对“周长”概念的理解达到怎样的程度才是合理的？
在本节课学习之前，学生对于作为数学概念的“周长”，虽然知之甚少，有的甚至一点经验也没有，但从学生的尝试中可以看出，由于前有一些平面图形的认识及长度测量的经验，超过半数以上的学生对基于直观认识的“周长”的理解应该不太难。因此，本节课的教学目标确定如下：
1.认识图形的周长，理解图形周长的含义，并能够根据确定的周长在点子图上画出相应的图形。
2.会测量图形的周长，并能够在教师的启发下想到用“化曲为直”的方法，测量一些曲线围成的图形的周长。
实践时，两个目标可以分解成四个学习层次：层次一，知道图形一周的长度，就是这个图形的周长；层次二，能够描出某个图形的周长；层次三，能够测量基本平面图形的周长；层次四，能够根据图形的周长想象出图形。四个层次层层推进，相互支撑。知道周长概念是达成后面学习的基础，指出图形周长和测量基本平面图形的周长，既是反映学生对“周长”意义是否理解的过程性层次，同时又是逐步引导学生深入体验图形周长、理解周长意义的过程。第四个层次则是最高层次的学习目标。因为这不仅是引导学生继续体验图形周长的意义，同时又是学生空间观念培养的重要过程，是几何直观在思维层面上的体现，是一种充分体现数学思考的目标层次。
三、 基于“周长”学习的活动，怎样组织才能既围绕教学核心，又利于提升学生的数学思维？
基本学习材料的选择，当然需要有利于唤起学生已有的认知经验，同时也能帮助学生很好地理解周长意义。而学习活动设计需要留给学生充分的思考空间，突出数学思考的含量，并有相应的思维推进层次。现结合具体的教学过程加以分析。
1.三个关键活动的设计及实施
活动一：观察描述，感知周长。
1.情境引出“一周”的概念。
呈现情境图，请学生说说图中所讲的事情。
师：她在做什么？
生：量腰围。
师：腰围是什么意思？
生：就是腰部一周的长度。
顺势板书：一周的长度
2.指出平面图形的“一周”，导出周长。
呈现学生在二年级下册已经认识的平面图形——长方形、正方形、平行四边形。
师：这些图形有没有“一周的长度”？有，又在哪里呢？
请学生指出这些图形一周的长度。揭示概念：图形一周的长度，就是它的周长
活动二：描、量周长，理解意义。
1.结合概念，指出以上三个平面图形的周长，教师根据学生的说明，用多媒体操作演示图形的周长。
2.练习：下面的图形有没有周长？如果有，请你用彩色笔描出它的周长。
学生先在练习纸上独立完成，反馈时分解为两个层次：
层次一：确认这些图形有没有周长？为什么？
最后学生都认为③号图形没有周长。理由是“角”不是封闭图形。于是教师完善板书：封闭图形一周的长度，就是这个图形的周长。
层次二：指出其他图形的周长。教学中，学生对④号图形的周长认识有困难，作重点讨论。
3.度量图形周长。
师：如果想具体知道1号和5号图形的周长，你有什么办法？
学生活动，自主研究。
反馈①号图形，用尺量出3条边的长度加起来即为图形的周长。
反馈⑤号图形，直尺量不行，只能想其他办法量这条线的长度。这是本节课中富有挑战性的学习环节，有利于激起学生的思考。
最终得出结论：周长是可以测量的，当周长不是由线段组成时，我们可以把它转化成线段来测量。 活动三：逆向研究，发展思维。
师：同学们已经知道什么是图形的周长了。现在老师想请你设计一个周长是10厘米的图形，你想怎样设计？
给学生一定的思考时间后，请他们在点子图上画出图形。
学生完成后分三个层次反馈：
层次一：画了不封闭图形的情况。师：这位同学是这样画的，你们同意吗？（强调，不封闭图形是没有周长的。）
层次二：画了长方形或正方形的情况。确认这个图形的周长是不是10厘米？如何确认？（引导学生去数，当然对长方形和正方形特征掌握比较好的，可用它们的特征作说明。）
层次三：画了其他不规则的图形。讨论如何来确认图形的周长，主要说明：这个图形的周长是不是10厘米？请学生通过“数”来确认。“数”的过程中，巩固对周长“一周”的长度的理解。
2.实践后的思考
（1）数学概念的建构，需要经历表象建立和丰富的过程。数学概念的理解与掌握，不仅仅指知道相关的文字描述，它更需要体现在多角度思维把握的过程中。因此，在概念学习的过程中，建立起丰富的表象是数学概念学习必须经历的过程。以上三个层次的“周长”学习活动正是如此。
感知环节，描述周长。这是一个“知道周长”的过程。从生活概念“一周”导入到图形“一周”的认识，揭示概念，像这样“图形一周的长度”，就是图形的周长。当然，这个过程并不是一步到位的，而是通过对三个已认识的平面图形一周的感知，逐步深刻起来的。第一个图形（长方形）的“一周”，指名学生指出，媒体演示，学生观察印刻于脑海中；第二个图形（正方形）的“一周”，学生先指出，再媒体演示，学生书空描画；第三个图形（平行四边形），先描画，再媒体演示，再描画。通过三个图形周长的描画，帮助学生初步建立图形周长的直观表象。
描、量环节，理解周长，是本节课中的重点活动，也是学生建立起“周长”表象的关键环节。请学生先判断图形有没有周长，再描出图形周长的过程，是一个学生自主建构“周长”概念的环节。反馈时又分三步，逐步完成。
第一步：明晰这些图形有无周长。课上主要借助图3中的图形③来进一步认识图形周长的概念。因为几次教学中，总有学生描了这个图形（“角”）的周长。于是请学生自主辩论，最后得出结论：这个图形没有周长，因为它不是封闭图形，没有一周，所以没有周长，从而完善对周长概念的认识。
第二步：描出复杂图形的周长，即图3中的图形②花朵图案的周长，引导学生深刻认识图形的周长是围绕在图形外围一周的长度。这同样是一个完善认识的重要步骤。
第三步：测量图形的周长。以图3中的①号三角形和⑤号圆为材料，请学生量出这两个图形的周长，引导学生在度量过程中进一步认识到周长的“长度”属性，也即周长是可测量的。实际教学中，学生能够从中感悟到周长的“长度”属性。他们很自然地用尺量出了三角形三条边的长度。此时引导学生体会，三条边的长度和便是这个三角形的周长，加深对周长意义的理解。而测量圆的周长时，学生碰到了测量技术上的困难，但其测量这条曲线长度的意向还是相当明确，说明学生对圆周长的认识还是清楚的。
（2）组织富有挑战性的学习活动，让学生的思维得以提升。数学学习必须有学生数学思维经历的过程，而激发学生的数学思考，富有挑战性的学习任务设计是重要的因素。本节课中，两个环节的学习任务，充分体现了数学学习任务的挑战性特点。
①测量圆的周长。学生已有的测量长度的经验，只是停留于对线段长度的测量。当碰到如同圆的周长这样的长度测量时，还是碰到了不小的困难。而正因为解决这个问题没有现成的办法，需要突破常规，创新思路，所以更有挑战性和思考的价值。实践中，也确实有学生想到了解决的办法。
有一位学生想到，将圆周平均分成16份，然后用尺量出其中一份的长度，再乘以16，就是这个圆的周长。于是，有学生想到了再分下去，我想这已经接近于古时测量圆周长的“割圆术”了。
还有学生想到，用一把软尺绕在圆周上，进行直接测量。这样的想法，也颇有创意，当我们不能把直尺弯过来时，我们可以将尺变软。
当然，实际教学中，也确实有学生想到，先用一根线绕在圆周上，然后将正好绕圆一周的线剪下来，用直尺测量线的长度，也就测量出圆的周长了。这便是典型的“化曲为直”的思想了。
②点子图上画出周长为10厘米的图形。此学习任务的目标是使学生进一步理解图形周长的本质内涵。同时，在学生的反馈中，有多种的表示形式，可以作为提高学生空间想象能力、发展空间观念的重要素材。
学生的作业也反映了不同的思维水平。水平一，只能画出一个长方形（如图形①或图形②）；水平二，能画出两个长方形，即图形①和图形②；水平三，能画出如图形③、图形④、图形⑤这样的不规则图形。
当有学生呈现了如图形③这样的图形时，有学生发出了惊叹声，相信是这些有创意的作业给了他一种恍然大悟的感觉。而这样的思维过程，也正是学生有创意的思考解决问题的表现。这样的想象力和思考力，也同样是学生空间观念培养的重要方面。