论文部分内容阅读
三角形的内角和是多少？180°。这是教科书里给出的答案，也是几何学出现以来的这两千多年里，人们头脑中唯一正确的答案。但俄国一位年轻的数学家首先打开了人们封闭的思想，带来了几何学上划时代的发展。之后，有关这个问题的答案就有无数个了，也就是说，三角形内角和可以是一定范围内的任意度数！180°的情况只是一个很特殊的情况。
让我们一起走入怪异的几何世界，感受这场几何学世界里的风暴吧。
俄国数学家的大胆质疑
上过中学的人都学过几何学，也许现在还记得其中的一些公理或定理，比如“两点确定一条直线”、“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行（不相交）”，等等。这些是公元前3世纪一位叫欧几里得的古代数学家总结的几何学，是靠5个公理建立起来的。对于这些公理，也许我们从没有怀疑过。两千多年来，也没有人怀疑它们，只是对于“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行（不相交）”的平行公理（图1），人们却不知如何去证明它，不知有多少研究者试图证明，但都没有成功。
1815年，年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）也想证明它，不过他并没有去重复前人的工作，而是从前人的失败中寻找启迪。他发现这个公理无论怎么证明都证不出来，于是就大胆地质疑：“有没有可能这个公理不成立呢？”
他大胆而又创造性地假设平行公理不成立，“过直线外一点，至少有两条直线与该直线不相交。”（图2）他用这样一个与平行公理对立的理论去代替平行公理，并保留欧式几何的其它4个公理不变，然后进行推理，竟然推出了一系列怪异的结论。
比如说，三角形内角和不再是180°；存在边长无限长的三角形……这些理论虽然怪异，但相互间并不矛盾，也不违背逻辑。这些推理完全可以自成一套新的几何理论，很完整也很严密。罗巴切夫斯基把它叫做“新几何”。
罗氏新几何的很多结论显然是违背传统几何的，因此，当时的数学家高斯把它称为“反欧几何”，后又改为“非欧几何”。非欧几何让人们认识到，除了传统欧式几何外，还可以有其它的几何，人们的思想变得活跃了，一个广阔的几何世界的大门被打开了。
曲面上的新几何
要想理解非欧几何，首先要弄清楚什么是直线。
在传统欧式几何中，并没有给出关于点或直线的准确定义，但通过很多理论的表述，可以理解为直线是两点间最短的线。由此可见，直线未必就不是弯曲的。比如说，光线的传播走的都是最短的直线距离，但光线传播的轨迹因时空的不均匀，往往是弯曲的。
除了高斯之外，最早能够理解非欧几何的是意大利数学家贝尔特拉米，他在1868年找到了一种像两个喇叭对扣的曲面（图3），在这种曲面的部分区域上，适用于非欧几何，从而使其他数学家对非欧几何也能理解。其实类似马鞍面的双曲面（图4）就可以完全适用于非欧几何。
很显然，马鞍面上的点、线、面之间的关系确实是罗巴切夫斯基所描述的那样：
两条平行线，在一侧无限接近，而在另一侧无限远离；
三角形的三个内角之和小于180°；
存在边长无限而内角和为零的三角形（图5）。
除此之外，还有许多怪异的现象。比如，在欧式几何中，垂直于同一直线的两条直线互相平行，而在非欧几何中，垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，相互间可以越来越远离；在欧式几何中，存在相似的多边形，而在非欧几何中，不存在相似的多边形；等等。总之，在欧式几何中，凡涉及到平行公理的理论，在非欧几何中都不成立，它们都相应地有新的含义。
球面几何才更符合实际
其实说起非欧几何，人们首先想到的是黎曼几何，黎曼几何因被爱因斯坦用来创立著名的广义相对论而出了名。
黎曼几何是非欧几何进一步发展的形式，适用的范围更大，它包括前面的双曲几何的情况，除此之外，还有封闭曲面上的几何，例如椭圆面几何、球面几何等。其中以球面几何最令人关注。
球面几何在我们看来也是非常怪异的几何，有很多怪异的理论，例如：直线的长度是有限的，封闭的；两点之间最短的线不是直的，而是弧线；过某些特殊的两个点，可以有无数条直线；过直线外一点，没有直线与该直线平行；任意两条直线必相交于两点，没有平行的概念；三角形内角和大于180°；不存在相似的三角形；等等。
读者可以在球面上试验一下这些结论，确实是这样的。因为球面上的直线就是一个大圆（过球心的平面与球面相交的圆），是封闭的，所以球面上两点间最短的线（即球面几何里的直线定义）是大圆上这两点之间的弧；同时，球的直径与大圆会有两个交点，通过这两个点可以作无数条直线（大圆），就像通过地球南北极可以有无数条相对应的、能把地球平均分成两半的经线一样；如果在经线之外有一个点，通过这一点，我们所作的直线可以有无数条，都是与这条经线相交的，没有平行的，并且有两个交点；而且，无论怎么画，在球面上画出的三角形内角和都是大于180°，如东经1°和2°的经线与赤道线会形成大小两个三角形，小三角形的顶角是1°，两个底角都是90°，所以小三角形内角和是181°。而外面的大三角形的顶角是359°，两个底角都是90°，所以大三角形的内角和是539°；而0°与东经180°形成的三角形的顶角是180°，两个底角都是90°，所以这个三角形内角和是360°。
其实宇宙中大部分天体都是球体，牵扯到这些天体的几何学，需要用球面几何。我们的地球本身就是个球，应该适用球面几何，为什么我们长达2000多年坚持欧式平面几何，甚至非平面几何出现后，我们还很不理解呢？
也许相对于渺小的我们来说，地球太大了，用平面几何来近似处理地球上小范围的尺寸也没有明显的误差，于是也就想当然地以为欧式平面几何是唯一正确的几何了。其实不然。
把地球表面投影到圆柱上
随着非欧几何出现，19世纪还出现了一种几何叫射影几何。这种几何是非常贴近生活的，它研究的是投影现象，比方说，有一盏灯， 它照射在透明玻璃上， 那么玻璃上的图形在地面上的投影是怎样的？ 例如，如果玻璃不平行于地面， 玻璃上两条平行直线在灯光下的投影可能不再平行；玻璃上的圆在灯光下的影子一般不再是圆， 而是椭圆；更奇异的是，如果玻璃足够大，它上面的一个圆也足够大， 玻璃竖立起来后，如果灯的高度不超过圆的高度，那么这个圆在地面上的投影就会是双曲线的一支！在射影几何中，椭圆、双曲线、抛物线都是“全等”的图形，可以通过调节灯光的角度，让它们相互变换，例如圆的影子在一定情况下就可以是一条双曲线，而且调节灯光的角度，还可以让影子双曲线变大、变小，或改变形状。
还有一种射影几何，是研究无限远灯光投影下的图形是怎么变化的。如果把上面的灯换成太阳， 由于距离地球很远，在小范围内可以看做平行投影，玻璃上两条平行直线投影到地面上也会是平行直线，玻璃上的圆会投影为椭圆， 但决不会是双曲线。
射影几何是非常有趣的几何，普通的物体可以有怪异的投影，完全不同的物体，也许投影却是相同的。
在地图的绘制上，射影几何很有用，因为地图的绘制都需要一定的投影规则，例如航海上常用的墨卡托投影地图，就是假设地球被围在一中空的圆柱里，赤道线与圆柱壁垂直，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱面上，再把圆柱面展开，得到地图。这种地图优点是把球面变成平面，比较直观。缺点是靠近赤道线的比较符合实际，但越靠两极就越走样了。
无限周长，面积有限
20世纪70年代，出现了一种更怪异的几何——分形几何。“一个有限的面积，却有着无限长的周长”和“一个物体有着无限大的表面积，体积却为零”，这两种情况可能让人难以理解，但在分形几何里，这样的情况却比比皆是。
取出笔和纸，让我们现在就来画一个有着无限周长的图形（有限面积当然不用说了，你不可能拿出一张面积无限大的纸）。
第一步：画一个等边三角形。
第二步：把每条边三等分。
第三步：以中间的那条三等分线段为底边，向外画一个小的等边三角形。
第四步：画完之后，把这条底边擦去。
不停地重复以上第二到第四个步骤，你将得到一个雪花形状的曲线；重复无限多次，得到的曲线在数学上叫科赫曲线。
我们来看一下科赫曲线有什么特点。首先，每重复操作一次，它的周长就扩大4/3倍，重复n次，其周长将是最初周长的。当n趋向无穷时，其周长也趋于无穷大。
但是，它所包围的面积却增加得并不多，永远不会超过以原先三角形中心为圆心，中心到顶点的距离为半径的圆的面积。这一点，你在画图的时候可以验证。经过简单计算可以得到，当n趋向无穷时，科赫曲线所围的面积是最初三角形面积的8/5倍。
你瞧，科赫曲线就是这样一个例子：它有着无限长的周长，但同时所围的面积却是有限的。
如果把科赫曲线的任意一个微小部分放大，你会看到，不论这个部分有多么小，它的形状都和整体相似。这是分形几何图形的一个特点：不论怎么复杂，局部总与整体相似；适当地放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。这叫自相似性。
其实，自相似性对于我们并不陌生。生活中很多事物都具有自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相似的磁场。
海岸线长度取决于尺子
我们在中学地理课上大概都学过，我国大陆海岸线有18000多千米，岛屿海岸线有14000多千米……不过，这种说法可靠么？
为什么要提这个问题呢？看了下面这个例子你就知道了。
1920年代，一位英国科学家在调查海岸线和曲折的国境线时感到十分困惑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时等国的百科全书，发现这些国家对共同边界长度的估计相差20%。
原因何在？原来是这些国家传统上所用的长度标准不同造成的，换句话说，即使同一段边境线，测量时若所用的尺子长短不一，也会造成很大的测量误差。
这个道理是比较明显的。我们试想：一个测量员拿着一只两脚规，把它张成一米宽，去一步步测量一条海岸线。对于他来说，即使连接相邻两点的是一条弯弯绕的曲线，但在测量过程中，也被当作一条直线忽略过去了。这样，他测量得到的海岸线长度肯定要比实际的短。
如果他把圆规张成1/10米宽，那么他的测量就会反映出更多的细节，这时他测得的海岸线长度将比以1米为单位测得的长度要长。
如果他把圆规张成1/100米宽，那测得的海岸线长度将更长……总之，他用的测量尺子越小，所测量到的海岸线长度就越长。
那么，测得的海岸线长度在不断增长，最后会不会趋于某个固定值呢？不幸的是，美国数学家曼德勃罗却证明，当把所用的测量尺子变小时，海岸线长度根本不会趋于某个固定值，而是会无限地上升，当尺子变得无穷小时，海岸线就变得无限长了。
其实这个结论我们也可以在科赫曲线中找到。假设等边三角形原先的边长是1米，那么我们用1米的尺子去测量科赫曲线，其周长是3米，中间我们忽略了所有的细节；当我们用1/3米的尺子去测量，稍增加了一点细节，其周长是4米；当用1/9米的尺子去测量，其周长是16/3米；当用米的尺子去测量，其周长是米；当n趋于无穷，尺子变得无穷小，包含的细节越来越多，结果其周长也趋于无穷大了。
海岸线与科赫曲线的相似之处在于，经过海水长年的侵蚀，在海岸线上，凹凹凸凸的地方特别多。随着测量越来越精细，海岸线长度就会成千上万倍地增加，而不仅仅只是在小数点后面修正几个数字的问题。
所以你看到了吧，泛泛地说海岸线多长是没有意义的，海岸线的长度依赖于测量时所用的尺子。
维度也可以是分数
分形几何还改变了我们对维度的认识。
众所周知，传统的观点认为，维度都是整数：点0维、直线1维、平面或者球面2维、我们所生活的空间3维，在相对论里，时间和空间被统一成了一个整体，所以时空是4维的……在超弦理论里，甚至还有10维的高维空间。但不管怎么说，维度都是整数。
分形几何学认为，不仅一些量的值（比如海岸线长度）与测量关系密切，连维数也与测量有关。譬如，当我们画一根直线，如果用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，这里，直线的维数为1（介于0维和2维之间）。
对于上面提到的科赫曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段度量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0，那么可见其维数介于1和2之间。在分形几何学里，有严格的维数计算办法。譬如，根据计算，科赫曲线的维数是一个分数，其值是大约是1.26。维度可以是分数，这是分形几何带给我们的一个全新的观念。
我们还可以这样去理解分数维度。曼德勃罗曾描述过一个毛线球的维数变化：从很远的距离观察，比如坐飞机从高空看，这个毛线球可看作一个0维的点；从较近的距离观察，它是3维的一个球；再近一些，比如你化作一只蚂蚁，沿着毛线爬，那它又变成1维的一根绳子了；如果你变得再小呢，这根绳子对你来说太粗，又变成了3维的柱子……总之，维度随着你观察的远近和自身大小在不停变化。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？
显然，毛线团并没有从3维变成1维的确切界限，在过渡的状态中，它的维度就变成了分数。
在大自然中，不仅海岸线，云朵、山脉的轮廓线、闪电、雪花，甚至花椰菜都具有分数的维度。因为用分形几何来描述这些自然物更加准确，所以分形几何被喻为“大自然自身的几何学”。
前面谈到的这些怪异的几何，几乎都可以在现实世界里找到事物来对应。其实并不是几何很怪异，而是我们“没见过世面”，按传统平面几何的思维逻辑来理解世界，遇到反映现实世界的几何，反而觉得怪了。
恰恰相反，欧氏平面几何才是最特殊、最理想状态的“怪异”几何，因为现实宇宙中几乎没有真正的平面。可有趣的是，我们不仅在2000多年的时间中只使用平面几何，而且现在还少不了它，原因是平面几何相对简单，有时候我们也不求精确，只要能近似简单化处理问题就行了。
让我们一起走入怪异的几何世界，感受这场几何学世界里的风暴吧。
俄国数学家的大胆质疑
上过中学的人都学过几何学，也许现在还记得其中的一些公理或定理，比如“两点确定一条直线”、“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行（不相交）”，等等。这些是公元前3世纪一位叫欧几里得的古代数学家总结的几何学，是靠5个公理建立起来的。对于这些公理，也许我们从没有怀疑过。两千多年来，也没有人怀疑它们，只是对于“过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行（不相交）”的平行公理（图1），人们却不知如何去证明它，不知有多少研究者试图证明，但都没有成功。
1815年，年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基（1792-1856）也想证明它，不过他并没有去重复前人的工作，而是从前人的失败中寻找启迪。他发现这个公理无论怎么证明都证不出来，于是就大胆地质疑：“有没有可能这个公理不成立呢？”
他大胆而又创造性地假设平行公理不成立，“过直线外一点，至少有两条直线与该直线不相交。”（图2）他用这样一个与平行公理对立的理论去代替平行公理，并保留欧式几何的其它4个公理不变，然后进行推理，竟然推出了一系列怪异的结论。
比如说，三角形内角和不再是180°；存在边长无限长的三角形……这些理论虽然怪异，但相互间并不矛盾，也不违背逻辑。这些推理完全可以自成一套新的几何理论，很完整也很严密。罗巴切夫斯基把它叫做“新几何”。
罗氏新几何的很多结论显然是违背传统几何的，因此，当时的数学家高斯把它称为“反欧几何”，后又改为“非欧几何”。非欧几何让人们认识到，除了传统欧式几何外，还可以有其它的几何，人们的思想变得活跃了，一个广阔的几何世界的大门被打开了。
曲面上的新几何
要想理解非欧几何，首先要弄清楚什么是直线。
在传统欧式几何中，并没有给出关于点或直线的准确定义，但通过很多理论的表述，可以理解为直线是两点间最短的线。由此可见，直线未必就不是弯曲的。比如说，光线的传播走的都是最短的直线距离，但光线传播的轨迹因时空的不均匀，往往是弯曲的。
除了高斯之外，最早能够理解非欧几何的是意大利数学家贝尔特拉米，他在1868年找到了一种像两个喇叭对扣的曲面（图3），在这种曲面的部分区域上，适用于非欧几何，从而使其他数学家对非欧几何也能理解。其实类似马鞍面的双曲面（图4）就可以完全适用于非欧几何。
很显然，马鞍面上的点、线、面之间的关系确实是罗巴切夫斯基所描述的那样：
两条平行线，在一侧无限接近，而在另一侧无限远离；
三角形的三个内角之和小于180°；
存在边长无限而内角和为零的三角形（图5）。
除此之外，还有许多怪异的现象。比如，在欧式几何中，垂直于同一直线的两条直线互相平行，而在非欧几何中，垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，相互间可以越来越远离；在欧式几何中，存在相似的多边形，而在非欧几何中，不存在相似的多边形；等等。总之，在欧式几何中，凡涉及到平行公理的理论，在非欧几何中都不成立，它们都相应地有新的含义。
球面几何才更符合实际
其实说起非欧几何，人们首先想到的是黎曼几何，黎曼几何因被爱因斯坦用来创立著名的广义相对论而出了名。
黎曼几何是非欧几何进一步发展的形式，适用的范围更大，它包括前面的双曲几何的情况，除此之外，还有封闭曲面上的几何，例如椭圆面几何、球面几何等。其中以球面几何最令人关注。
球面几何在我们看来也是非常怪异的几何，有很多怪异的理论，例如：直线的长度是有限的，封闭的；两点之间最短的线不是直的，而是弧线；过某些特殊的两个点，可以有无数条直线；过直线外一点，没有直线与该直线平行；任意两条直线必相交于两点，没有平行的概念；三角形内角和大于180°；不存在相似的三角形；等等。
读者可以在球面上试验一下这些结论，确实是这样的。因为球面上的直线就是一个大圆（过球心的平面与球面相交的圆），是封闭的，所以球面上两点间最短的线（即球面几何里的直线定义）是大圆上这两点之间的弧；同时，球的直径与大圆会有两个交点，通过这两个点可以作无数条直线（大圆），就像通过地球南北极可以有无数条相对应的、能把地球平均分成两半的经线一样；如果在经线之外有一个点，通过这一点，我们所作的直线可以有无数条，都是与这条经线相交的，没有平行的，并且有两个交点；而且，无论怎么画，在球面上画出的三角形内角和都是大于180°，如东经1°和2°的经线与赤道线会形成大小两个三角形，小三角形的顶角是1°，两个底角都是90°，所以小三角形内角和是181°。而外面的大三角形的顶角是359°，两个底角都是90°，所以大三角形的内角和是539°；而0°与东经180°形成的三角形的顶角是180°，两个底角都是90°，所以这个三角形内角和是360°。
其实宇宙中大部分天体都是球体，牵扯到这些天体的几何学，需要用球面几何。我们的地球本身就是个球，应该适用球面几何，为什么我们长达2000多年坚持欧式平面几何，甚至非平面几何出现后，我们还很不理解呢？
也许相对于渺小的我们来说，地球太大了，用平面几何来近似处理地球上小范围的尺寸也没有明显的误差，于是也就想当然地以为欧式平面几何是唯一正确的几何了。其实不然。
把地球表面投影到圆柱上
随着非欧几何出现，19世纪还出现了一种几何叫射影几何。这种几何是非常贴近生活的，它研究的是投影现象，比方说，有一盏灯， 它照射在透明玻璃上， 那么玻璃上的图形在地面上的投影是怎样的？ 例如，如果玻璃不平行于地面， 玻璃上两条平行直线在灯光下的投影可能不再平行；玻璃上的圆在灯光下的影子一般不再是圆， 而是椭圆；更奇异的是，如果玻璃足够大，它上面的一个圆也足够大， 玻璃竖立起来后，如果灯的高度不超过圆的高度，那么这个圆在地面上的投影就会是双曲线的一支！在射影几何中，椭圆、双曲线、抛物线都是“全等”的图形，可以通过调节灯光的角度，让它们相互变换，例如圆的影子在一定情况下就可以是一条双曲线，而且调节灯光的角度，还可以让影子双曲线变大、变小，或改变形状。
还有一种射影几何，是研究无限远灯光投影下的图形是怎么变化的。如果把上面的灯换成太阳， 由于距离地球很远，在小范围内可以看做平行投影，玻璃上两条平行直线投影到地面上也会是平行直线，玻璃上的圆会投影为椭圆， 但决不会是双曲线。
射影几何是非常有趣的几何，普通的物体可以有怪异的投影，完全不同的物体，也许投影却是相同的。
在地图的绘制上，射影几何很有用，因为地图的绘制都需要一定的投影规则，例如航海上常用的墨卡托投影地图，就是假设地球被围在一中空的圆柱里，赤道线与圆柱壁垂直，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱面上，再把圆柱面展开，得到地图。这种地图优点是把球面变成平面，比较直观。缺点是靠近赤道线的比较符合实际，但越靠两极就越走样了。
无限周长，面积有限
20世纪70年代，出现了一种更怪异的几何——分形几何。“一个有限的面积，却有着无限长的周长”和“一个物体有着无限大的表面积，体积却为零”，这两种情况可能让人难以理解，但在分形几何里，这样的情况却比比皆是。
取出笔和纸，让我们现在就来画一个有着无限周长的图形（有限面积当然不用说了，你不可能拿出一张面积无限大的纸）。
第一步：画一个等边三角形。
第二步：把每条边三等分。
第三步：以中间的那条三等分线段为底边，向外画一个小的等边三角形。
第四步：画完之后，把这条底边擦去。
不停地重复以上第二到第四个步骤，你将得到一个雪花形状的曲线；重复无限多次，得到的曲线在数学上叫科赫曲线。
我们来看一下科赫曲线有什么特点。首先，每重复操作一次，它的周长就扩大4/3倍，重复n次，其周长将是最初周长的。当n趋向无穷时，其周长也趋于无穷大。
但是，它所包围的面积却增加得并不多，永远不会超过以原先三角形中心为圆心，中心到顶点的距离为半径的圆的面积。这一点，你在画图的时候可以验证。经过简单计算可以得到，当n趋向无穷时，科赫曲线所围的面积是最初三角形面积的8/5倍。
你瞧，科赫曲线就是这样一个例子：它有着无限长的周长，但同时所围的面积却是有限的。
如果把科赫曲线的任意一个微小部分放大，你会看到，不论这个部分有多么小，它的形状都和整体相似。这是分形几何图形的一个特点：不论怎么复杂，局部总与整体相似；适当地放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。这叫自相似性。
其实，自相似性对于我们并不陌生。生活中很多事物都具有自相似性。例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相似的磁场。
海岸线长度取决于尺子
我们在中学地理课上大概都学过，我国大陆海岸线有18000多千米，岛屿海岸线有14000多千米……不过，这种说法可靠么？
为什么要提这个问题呢？看了下面这个例子你就知道了。
1920年代，一位英国科学家在调查海岸线和曲折的国境线时感到十分困惑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时等国的百科全书，发现这些国家对共同边界长度的估计相差20%。
原因何在？原来是这些国家传统上所用的长度标准不同造成的，换句话说，即使同一段边境线，测量时若所用的尺子长短不一，也会造成很大的测量误差。
这个道理是比较明显的。我们试想：一个测量员拿着一只两脚规，把它张成一米宽，去一步步测量一条海岸线。对于他来说，即使连接相邻两点的是一条弯弯绕的曲线，但在测量过程中，也被当作一条直线忽略过去了。这样，他测量得到的海岸线长度肯定要比实际的短。
如果他把圆规张成1/10米宽，那么他的测量就会反映出更多的细节，这时他测得的海岸线长度将比以1米为单位测得的长度要长。
如果他把圆规张成1/100米宽，那测得的海岸线长度将更长……总之，他用的测量尺子越小，所测量到的海岸线长度就越长。
那么，测得的海岸线长度在不断增长，最后会不会趋于某个固定值呢？不幸的是，美国数学家曼德勃罗却证明，当把所用的测量尺子变小时，海岸线长度根本不会趋于某个固定值，而是会无限地上升，当尺子变得无穷小时，海岸线就变得无限长了。
其实这个结论我们也可以在科赫曲线中找到。假设等边三角形原先的边长是1米，那么我们用1米的尺子去测量科赫曲线，其周长是3米，中间我们忽略了所有的细节；当我们用1/3米的尺子去测量，稍增加了一点细节，其周长是4米；当用1/9米的尺子去测量，其周长是16/3米；当用米的尺子去测量，其周长是米；当n趋于无穷，尺子变得无穷小，包含的细节越来越多，结果其周长也趋于无穷大了。
海岸线与科赫曲线的相似之处在于，经过海水长年的侵蚀，在海岸线上，凹凹凸凸的地方特别多。随着测量越来越精细，海岸线长度就会成千上万倍地增加，而不仅仅只是在小数点后面修正几个数字的问题。
所以你看到了吧，泛泛地说海岸线多长是没有意义的，海岸线的长度依赖于测量时所用的尺子。
维度也可以是分数
分形几何还改变了我们对维度的认识。
众所周知，传统的观点认为，维度都是整数：点0维、直线1维、平面或者球面2维、我们所生活的空间3维，在相对论里，时间和空间被统一成了一个整体，所以时空是4维的……在超弦理论里，甚至还有10维的高维空间。但不管怎么说，维度都是整数。
分形几何学认为，不仅一些量的值（比如海岸线长度）与测量关系密切，连维数也与测量有关。譬如，当我们画一根直线，如果用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点；如果用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，这里，直线的维数为1（介于0维和2维之间）。
对于上面提到的科赫曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段度量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0，那么可见其维数介于1和2之间。在分形几何学里，有严格的维数计算办法。譬如，根据计算，科赫曲线的维数是一个分数，其值是大约是1.26。维度可以是分数，这是分形几何带给我们的一个全新的观念。
我们还可以这样去理解分数维度。曼德勃罗曾描述过一个毛线球的维数变化：从很远的距离观察，比如坐飞机从高空看，这个毛线球可看作一个0维的点；从较近的距离观察，它是3维的一个球；再近一些，比如你化作一只蚂蚁，沿着毛线爬，那它又变成1维的一根绳子了；如果你变得再小呢，这根绳子对你来说太粗，又变成了3维的柱子……总之，维度随着你观察的远近和自身大小在不停变化。那么，介于这些观察点之间的中间状态又如何呢？
显然，毛线团并没有从3维变成1维的确切界限，在过渡的状态中，它的维度就变成了分数。
在大自然中，不仅海岸线，云朵、山脉的轮廓线、闪电、雪花，甚至花椰菜都具有分数的维度。因为用分形几何来描述这些自然物更加准确，所以分形几何被喻为“大自然自身的几何学”。
前面谈到的这些怪异的几何，几乎都可以在现实世界里找到事物来对应。其实并不是几何很怪异，而是我们“没见过世面”，按传统平面几何的思维逻辑来理解世界，遇到反映现实世界的几何，反而觉得怪了。
恰恰相反，欧氏平面几何才是最特殊、最理想状态的“怪异”几何，因为现实宇宙中几乎没有真正的平面。可有趣的是，我们不仅在2000多年的时间中只使用平面几何，而且现在还少不了它，原因是平面几何相对简单，有时候我们也不求精确，只要能近似简单化处理问题就行了。