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【摘要】全景式数学教育主张让学生在整座原始森林中研究一棵树。全景先构课程是全景式數学教育独有的课程模块。《相遇问题》是全景先构课程中的一个经典范式。教学时，教师引导学生先建（见）森林，然后让学生在整座森林中思考一棵树，并通过一棵树思考整座原始森林。
【关键词】全景式数学教育；相遇问题；结构；模型；思维；思考方式
【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2020）09-0055-05
【作者简介】张宏伟，南京赫贤学校（南京，210000）学术总监，北京全景教育研究中心主任，高级教师，北京市数学特级教师，山东省首批齐鲁名师，国标青岛版教材编者，2017年全国十大魅力教师，教育部“国培计划”专家库人选，教育部基础教育课程教材发展中心指导教师。
笔者在2005年提出了“五还原教学法”（2006年获山东省优秀科研成果一等奖，《基础教育参考》2010年第6期专栏介绍），其中一项就是“还原系统”，强调数学学习要先引导学生对整个单元的知识系统进行整体建构。又经过多年的研究、发展和总结，“在整座原始森林中研究一棵树”这个全景式数学教育的基本主张逐步形成。同时创生了全景式数学教育独有的课程模块———全景先构课程（也称为整体架构课程），《相遇问题》就是其中一个经典范式，现将其课程设计和学生（四年级）的学习活动实况笔录如下。
一、课前暖场
师：同学们，你们刚上四年级，但是，我们今天要学习五、六、七年级的内容。
生（惊讶地）：啊？！
师（笑）：是不是觉得老师有点不正常？
生（个别）：嗯！
师：给敢于表达自己真实感受的同学掌声！
师：因为你是四年级学生，学五、六、七年级的内容，一点都不会是正常的，如果你研究会一点点，那就不正常了，叫超常。（学生笑）
师：我们这节课学习的是“解决问题”，但张老师不会给你一个具体的条件，却让你解决问题！（学生惊愕）
师：我连一个数都不告诉你，却让你解决问题！
生（更加惊愕）：啊？！
师：我甚至都不提出一个具体的问题，却让你解决问题！
生（很多捂着脑袋）：真不正常！
师：跟不正常的张老师上不正常的数学课，有三个绝招。第一个绝招一个字———猜！（学生笑），第二个绝招两个字———
生：瞎猜！
师（竖起大拇指）：知音啊！第三个绝招三个字———
生：胡乱猜！
师（夸张地）：这都知道啊？太棒了！既然是猜、瞎猜、胡乱猜，那就不管对错，尽情来吧！
此时，学生身心彻底放松，戒备几乎完全解除。
二、课中学习
（一）出示研究主题
师：很多老师都是先写题后画图，张老师偏偏先画图后写题。用一条线段表示A、B两地之间的一条直直的路（如图1）。在数学上，线段可牛了，可以表示路，可以表示人，可以表示猪，可以表示世间———（生：万物）
师板书：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
（二）主题解读———找不懂及解决之道
学生齐读后，教师询问：哪个地方不懂？
生：相向是什么意思？不懂，其他的都懂。
师：不懂怎么办？
生：猜。
有的学生猜是面对面，有的学生猜是背对背，还有的学生猜是向同一个方向走，想全了两个人沿着同一条直路行走的所有可能。
此时，学生初建（见）关于行程问题的浪漫森林（含行程问题的相遇、追及、背道而驰这三大类型）。
师：相向到底是什么意思？查什么能查出相向的意思？
生：词典。（其他学生纷纷认同）
师：那好，现在请同学们开始查词典。
生（异口同声）：没带。
师（故作惊讶）：你们来上课怎么不带词典呢？
生：老师没让带！
师（面向学生的班主任）：老师，您课前给学生说不许带词典了？
该班班主任委屈而坚定地说：我没说啊！
师：听见没，你们班主任根本就没说不许带词典，你们为什么不带？
一个学生站起来激愤地反驳：这是数学课！上语文课才用字典，这是常识！（听课教师哄堂大笑）
师：我们班的孩子敢于表达自己真实的意见和想法，这一点特别难得！但有一点也让我感到非常遗憾。词典不仅是语文学科的学习工具，还是数学、科学等所有学科学习的工具！其实很多数学概念，你不需要麻烦任何人，查一下词典，自己就能解决了！以后上数学课要怎么样？
生（齐声）：带词典。
师：现在你们没带词典怎么办？
生：用手机查百度。
师（半开玩笑地）：手机带了吗？
生（大笑）：没有，老师你有！
教师用手机搜索“相向”一词，让学生阅读———“指相对、面对面”。接着引导：除了查词典外，还有一个重要的自学数学的路径———上网。然后，教师在黑板上“甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行”中的“相向”一词下面标注“面对面”，让学生再读一遍。
（三）主题情形的全景架构
1.独立猜想。
在教室里标注出A、B两地，全班学生一起思考：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在相向而行的过程中，两人的位置关系会出现几种不同的情况？用手势表示出来。 2.现场模拟。
两个学生或全班学生两两结合，现场表演相向而行，观察自己与对方的位置关系，并與自己先前的猜想进行对比，看看自己的猜想是否正确。
第一次模拟———不会出界。
第一次走，两个学生分别到达B、A两地后自行停止，并转身，形成两人面对面的局面。
第二次模拟———敢于出界。
师：我让你俩停了吗？
两个学生一脸迷茫。
师：发现没？我让你们面对面行走，没有说停，你们到了另一端就自动停止了，给你们画个圈你们就不敢出去，不仅小孩子这样，很多大人也会这样。
两个学生恍然大悟，第二次模拟都走过对面的B和A，出界后继续前行。
师：同学们，为他们敢于出界掌声鼓励！出界的这些情况你们想到了吗？
绝大多数学生摇头表示自己没想到。
师：敢于出界才会看到新的世界，跟张老师学数学就要敢于出界！
3.图形表征。
学生独立用线段图表征自己想到的各种位置关系情形。同时，教师巡视课堂，鼓励学生并了解汇集全班学生出现的各种情形。
师：同伴是我们最重要的学习资源之一。现在，看看你周围的同学有没有画到你没有想到的情形，你可以下座位，想看谁的就去看谁的。（学生非常兴奋地下座位交流，对比并补充、修改自己的作品）
4.情形的全景展示。
展示学生想到的所有类型（如下页图2～10），并引导学生观察、思考、对比。
5.分类命名。
（1）学生首先把9种情况分成了三类，并给这三种类型取了相应的名字：一是没相遇（如下页图2）；二是相遇（如下页图3、图4）；三是相遇过头（如下页图5～10）。
（2）学生接着又把第三类分为两个子类：一是相遇过头没出界（如下页图5～7）；二是相遇过头出了界（如下页图8～10）。
（3）学生认识到相遇问题其实分成了四类：没相遇、相遇、相遇过头没出界、相遇过头出了界。
至此，学生完成了对“两个人相向而行”全部类型的整体建构，建设起了相遇问题的整座森林。
（四）数学模型的全景建构
1.引入路程。
师：我们先从最特殊的正好相遇开始研究，没在中间相遇和在中间相遇分别说明了什么？
生：没在中间相遇，说明甲、乙的速度不同；在中间相遇，说明甲、乙的速度相同。
师：这个同学真了不起！他用到了“速度”这个词语来看数学和描述数学。见到速度你会马上联想到什么？
生：时间和路程。
当学生总结“出了界”的三个算式时，教师引导学生认识到：出界又发现了新的等量关系、新的世界！
此时，学生全面而深入地建设了“相向而行”的数学模型，不仅看见了整座“森林”，还看见了“森林”中的每一棵“树”。
4.现场模拟，巩固关系。
两人合作，用直尺当作路，用两块橡皮当作甲、乙二人，和同桌一起模拟四种类型，并和同桌说出求AB路程的关系式。
三、课后拓展
师：回到家，在你家客厅、院子里标记上A、B两地，让爸爸妈妈相向而行，你猜他们敢不敢出界？
学生非常兴奋，纷纷表示回到家要测试一下自己的父母。
师：如果他们不敢出界，你要告诉他们———
生：敢于出界才能发现新的世界！
师：你可以考考他们各种类型怎么求SAB。
这节课的内容在全国各个版本的教材中都没有。全景式数学教育为什么要增创这个课程？它到底能给学生带来哪些改变和成长？这节课表面上没有解决一个具体的问题，但真的没有解决问题吗？这节课到底在教学什么？
首先，这节课教（学）的是一个整体、一个系统、一个结构。这个课程的创设和学习让学生对相遇问题的结构有了系统、完整、全面的认识。
其次，这节课教（学）的是模型。相遇问题属于问题解决，问题解决的本质是数学建模。这节课，学生自己建全了相遇问题的四种模型。学生一旦掌握了相遇问题这个知识框架和这些基本模型，到五年级再学习相遇问题时根本不需要教师去教，就完全能够自学；更重要的是，学生在学例题1、例题2……时，自己就会自动把例题1、例题2……与这些模型配对；更更重要的是，学生能清晰地看见这个例题、这个内容在整个知识框架结构中处于哪个位置及其与其他内容有什么区别和联系。这节课，笔者引导学生先建（见）森林，然后让学生在整座森林中思考一棵树，并通过一棵树思考整座原始森林。
再次，这节课教（学）的是思维。数学教学归根结底是数学思维的教学。这节课没有一个条件，正是因为没有条件限制，学生的思维才能全面打开。在教学中，我们看到学生在思维的海洋里天马行空地遨游，一节课都在思考和挑战，直指数学的核心。
最后，这节课改变了学生的思考方式。教育最难的不是教给学生知识技能，而是改变学生的思考方式。具体体现在以下两点：
第一，改变了学生认为词典只是语文学习工具的常识。其实，数学上很多概念问题学生靠查字典就能解决。比如：正方形为什么叫正方形？笔者教学时让学生查字典看“正”是什么意思。学生一查，“正”是指公平、相等、一样。所有的学生豁然开朗，它四条边都一样，四个角都相等，它公平、相等，所以叫正方形。紧接着笔者问：“正三角形是什么？”立刻就有学生回答：“三个角相等，三条边相等。”笔者继续问：“正五边形是什么……”数学上所有带“正”字的概念，一本字典，查一个字，竟然都解决了。
第二，课堂上，学生走到A地和B地自动就停了。很多人的思维都已经被固化了。一般情况下，不管是成人还是儿童，你给他画一个圈，他真就不敢出去。笔者今天给学生一个新的视角———你出了界就会发现新的世界。不仅如此，还让学生回到家看看自己的父母敢不敢出界，既能让学生复习了今天学习的内容，还使他们强化了敢于出界的人才会发现新的世界的意识。
综上所述，这节课教的是改变观念和触及人性的东西，是学生终身受益的关键能力、必备品格和核心素养。正如《中国教师报》褚清源主编听了笔者这节课后发出的感慨那样：有的教师上课是在关窗，有的教师却在开窗。这节课的教学就是在开窗，让学生在不断惊叹、惊讶中发现了数学之美。于是，在这样的经历中，学生的眼睛也逐渐明亮起来。
【关键词】全景式数学教育；相遇问题；结构；模型；思维；思考方式
【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2020）09-0055-05
【作者简介】张宏伟，南京赫贤学校（南京，210000）学术总监，北京全景教育研究中心主任，高级教师，北京市数学特级教师，山东省首批齐鲁名师，国标青岛版教材编者，2017年全国十大魅力教师，教育部“国培计划”专家库人选，教育部基础教育课程教材发展中心指导教师。
【背景】
笔者在2005年提出了“五还原教学法”（2006年获山东省优秀科研成果一等奖，《基础教育参考》2010年第6期专栏介绍），其中一项就是“还原系统”，强调数学学习要先引导学生对整个单元的知识系统进行整体建构。又经过多年的研究、发展和总结，“在整座原始森林中研究一棵树”这个全景式数学教育的基本主张逐步形成。同时创生了全景式数学教育独有的课程模块———全景先构课程（也称为整体架构课程），《相遇问题》就是其中一个经典范式，现将其课程设计和学生（四年级）的学习活动实况笔录如下。
【教学过程及分析】
一、课前暖场
师：同学们，你们刚上四年级，但是，我们今天要学习五、六、七年级的内容。
生（惊讶地）：啊？！
师（笑）：是不是觉得老师有点不正常？
生（个别）：嗯！
师：给敢于表达自己真实感受的同学掌声！
师：因为你是四年级学生，学五、六、七年级的内容，一点都不会是正常的，如果你研究会一点点，那就不正常了，叫超常。（学生笑）
师：我们这节课学习的是“解决问题”，但张老师不会给你一个具体的条件，却让你解决问题！（学生惊愕）
师：我连一个数都不告诉你，却让你解决问题！
生（更加惊愕）：啊？！
师：我甚至都不提出一个具体的问题，却让你解决问题！
生（很多捂着脑袋）：真不正常！
师：跟不正常的张老师上不正常的数学课，有三个绝招。第一个绝招一个字———猜！（学生笑），第二个绝招两个字———
生：瞎猜！
师（竖起大拇指）：知音啊！第三个绝招三个字———
生：胡乱猜！
师（夸张地）：这都知道啊？太棒了！既然是猜、瞎猜、胡乱猜，那就不管对错，尽情来吧！
此时，学生身心彻底放松，戒备几乎完全解除。
二、课中学习
（一）出示研究主题
师：很多老师都是先写题后画图，张老师偏偏先画图后写题。用一条线段表示A、B两地之间的一条直直的路（如图1）。在数学上，线段可牛了，可以表示路，可以表示人，可以表示猪，可以表示世间———（生：万物）
师板书：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。
（二）主题解读———找不懂及解决之道
学生齐读后，教师询问：哪个地方不懂？
生：相向是什么意思？不懂，其他的都懂。
师：不懂怎么办？
生：猜。
有的学生猜是面对面，有的学生猜是背对背，还有的学生猜是向同一个方向走，想全了两个人沿着同一条直路行走的所有可能。
此时，学生初建（见）关于行程问题的浪漫森林（含行程问题的相遇、追及、背道而驰这三大类型）。
师：相向到底是什么意思？查什么能查出相向的意思？
生：词典。（其他学生纷纷认同）
师：那好，现在请同学们开始查词典。
生（异口同声）：没带。
师（故作惊讶）：你们来上课怎么不带词典呢？
生：老师没让带！
师（面向学生的班主任）：老师，您课前给学生说不许带词典了？
该班班主任委屈而坚定地说：我没说啊！
师：听见没，你们班主任根本就没说不许带词典，你们为什么不带？
一个学生站起来激愤地反驳：这是数学课！上语文课才用字典，这是常识！（听课教师哄堂大笑）
师：我们班的孩子敢于表达自己真实的意见和想法，这一点特别难得！但有一点也让我感到非常遗憾。词典不仅是语文学科的学习工具，还是数学、科学等所有学科学习的工具！其实很多数学概念，你不需要麻烦任何人，查一下词典，自己就能解决了！以后上数学课要怎么样？
生（齐声）：带词典。
师：现在你们没带词典怎么办？
生：用手机查百度。
师（半开玩笑地）：手机带了吗？
生（大笑）：没有，老师你有！
教师用手机搜索“相向”一词，让学生阅读———“指相对、面对面”。接着引导：除了查词典外，还有一个重要的自学数学的路径———上网。然后，教师在黑板上“甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行”中的“相向”一词下面标注“面对面”，让学生再读一遍。
（三）主题情形的全景架构
1.独立猜想。
在教室里标注出A、B两地，全班学生一起思考：甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，在相向而行的过程中，两人的位置关系会出现几种不同的情况？用手势表示出来。 2.现场模拟。
两个学生或全班学生两两结合，现场表演相向而行，观察自己与对方的位置关系，并與自己先前的猜想进行对比，看看自己的猜想是否正确。
第一次模拟———不会出界。
第一次走，两个学生分别到达B、A两地后自行停止，并转身，形成两人面对面的局面。
第二次模拟———敢于出界。
师：我让你俩停了吗？
两个学生一脸迷茫。
师：发现没？我让你们面对面行走，没有说停，你们到了另一端就自动停止了，给你们画个圈你们就不敢出去，不仅小孩子这样，很多大人也会这样。
两个学生恍然大悟，第二次模拟都走过对面的B和A，出界后继续前行。
师：同学们，为他们敢于出界掌声鼓励！出界的这些情况你们想到了吗？
绝大多数学生摇头表示自己没想到。
师：敢于出界才会看到新的世界，跟张老师学数学就要敢于出界！
3.图形表征。
学生独立用线段图表征自己想到的各种位置关系情形。同时，教师巡视课堂，鼓励学生并了解汇集全班学生出现的各种情形。
师：同伴是我们最重要的学习资源之一。现在，看看你周围的同学有没有画到你没有想到的情形，你可以下座位，想看谁的就去看谁的。（学生非常兴奋地下座位交流，对比并补充、修改自己的作品）
4.情形的全景展示。
展示学生想到的所有类型（如下页图2～10），并引导学生观察、思考、对比。
5.分类命名。
（1）学生首先把9种情况分成了三类，并给这三种类型取了相应的名字：一是没相遇（如下页图2）；二是相遇（如下页图3、图4）；三是相遇过头（如下页图5～10）。
（2）学生接着又把第三类分为两个子类：一是相遇过头没出界（如下页图5～7）；二是相遇过头出了界（如下页图8～10）。
（3）学生认识到相遇问题其实分成了四类：没相遇、相遇、相遇过头没出界、相遇过头出了界。
至此，学生完成了对“两个人相向而行”全部类型的整体建构，建设起了相遇问题的整座森林。
（四）数学模型的全景建构
1.引入路程。
师：我们先从最特殊的正好相遇开始研究，没在中间相遇和在中间相遇分别说明了什么？
生：没在中间相遇，说明甲、乙的速度不同；在中间相遇，说明甲、乙的速度相同。
师：这个同学真了不起！他用到了“速度”这个词语来看数学和描述数学。见到速度你会马上联想到什么？
生：时间和路程。
当学生总结“出了界”的三个算式时，教师引导学生认识到：出界又发现了新的等量关系、新的世界！
此时，学生全面而深入地建设了“相向而行”的数学模型，不仅看见了整座“森林”，还看见了“森林”中的每一棵“树”。
4.现场模拟，巩固关系。
两人合作，用直尺当作路，用两块橡皮当作甲、乙二人，和同桌一起模拟四种类型，并和同桌说出求AB路程的关系式。
三、课后拓展
师：回到家，在你家客厅、院子里标记上A、B两地，让爸爸妈妈相向而行，你猜他们敢不敢出界？
学生非常兴奋，纷纷表示回到家要测试一下自己的父母。
师：如果他们不敢出界，你要告诉他们———
生：敢于出界才能发现新的世界！
师：你可以考考他们各种类型怎么求SAB。
【课程创设的价值和意义】
这节课的内容在全国各个版本的教材中都没有。全景式数学教育为什么要增创这个课程？它到底能给学生带来哪些改变和成长？这节课表面上没有解决一个具体的问题，但真的没有解决问题吗？这节课到底在教学什么？
首先，这节课教（学）的是一个整体、一个系统、一个结构。这个课程的创设和学习让学生对相遇问题的结构有了系统、完整、全面的认识。
其次，这节课教（学）的是模型。相遇问题属于问题解决，问题解决的本质是数学建模。这节课，学生自己建全了相遇问题的四种模型。学生一旦掌握了相遇问题这个知识框架和这些基本模型，到五年级再学习相遇问题时根本不需要教师去教，就完全能够自学；更重要的是，学生在学例题1、例题2……时，自己就会自动把例题1、例题2……与这些模型配对；更更重要的是，学生能清晰地看见这个例题、这个内容在整个知识框架结构中处于哪个位置及其与其他内容有什么区别和联系。这节课，笔者引导学生先建（见）森林，然后让学生在整座森林中思考一棵树，并通过一棵树思考整座原始森林。
再次，这节课教（学）的是思维。数学教学归根结底是数学思维的教学。这节课没有一个条件，正是因为没有条件限制，学生的思维才能全面打开。在教学中，我们看到学生在思维的海洋里天马行空地遨游，一节课都在思考和挑战，直指数学的核心。
最后，这节课改变了学生的思考方式。教育最难的不是教给学生知识技能，而是改变学生的思考方式。具体体现在以下两点：
第一，改变了学生认为词典只是语文学习工具的常识。其实，数学上很多概念问题学生靠查字典就能解决。比如：正方形为什么叫正方形？笔者教学时让学生查字典看“正”是什么意思。学生一查，“正”是指公平、相等、一样。所有的学生豁然开朗，它四条边都一样，四个角都相等，它公平、相等，所以叫正方形。紧接着笔者问：“正三角形是什么？”立刻就有学生回答：“三个角相等，三条边相等。”笔者继续问：“正五边形是什么……”数学上所有带“正”字的概念，一本字典，查一个字，竟然都解决了。
第二，课堂上，学生走到A地和B地自动就停了。很多人的思维都已经被固化了。一般情况下，不管是成人还是儿童，你给他画一个圈，他真就不敢出去。笔者今天给学生一个新的视角———你出了界就会发现新的世界。不仅如此，还让学生回到家看看自己的父母敢不敢出界，既能让学生复习了今天学习的内容，还使他们强化了敢于出界的人才会发现新的世界的意识。
综上所述，这节课教的是改变观念和触及人性的东西，是学生终身受益的关键能力、必备品格和核心素养。正如《中国教师报》褚清源主编听了笔者这节课后发出的感慨那样：有的教师上课是在关窗，有的教师却在开窗。这节课的教学就是在开窗，让学生在不断惊叹、惊讶中发现了数学之美。于是，在这样的经历中，学生的眼睛也逐渐明亮起来。