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摘要：为提高回焊炉生产电子元件的质量，对回焊炉各区域温度和过炉速度进行设定。首先，基于机理分析的方法，依据回焊炉的实际构造建立加热模型，运用数据得到模型中的常数值。其次，依据制程界限建立约束条件，在炉温曲线超过217?C的部分中，以峰值温度为中心线的图像尽量对称作为目标，建立多目标规划模型，以获得回焊炉各个区域的温度设定和过炉速度。最终，运用遗传算法进行求解，得出四个区域的最佳温度为170.07?C、186.22?C、225.01?C、264.95?C，最优过炉速度为85.40cm/min，并绘制图形化的炉温曲线。
关键词：多目标规划;遗传算法;炉温曲线;热对流模型
中图分类号： TG43 文献标志码：A
引言
在集成电路板等电子产品生产过程中，需要回焊炉将电子元件焊接到电路板上。回焊炉内部包含11个小温区，这些小温区可从功能上分为4个大温区：预热区、恒温区、回流区和冷却区。各大温区温度为设定值。输入不同的温度、过炉速度参数，能够替换不同的回流焊工艺曲线，极大地提高生产效率[1]。在实际工业应用中，若以炉温曲线峰值温度为中心线，中心线两侧超过217?C部分的图像较为对称，产品质量能有较大的提升。
目前，对回焊炉各温区的温度和传送带过炉速度的研究主要基于实验测试的角度。冯志刚等最早采用正交实验法，对回流焊炉的工艺参数对回流温度曲线及其关键指标的影响进行了全面的研究[2]。高金刚运用加热因子控制法，实现对回流焊曲线的优化与控制[3]。焦进莉提出，当温度曲线超过其设定的管制工艺窗口，产品品质将受到一定的影响[4]。
本文在数学模型的基础上，基于机理分析的方法，以制程界限为约束，以峰值温度为中心线的两侧超过217?C的炉温曲线尽量对称为目标，运用遗传算法进行求解，得到各温区设定的温度及传送带的过炉速度。
1 数据来源及模型假设
本文数据来源于2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题“炉温曲线”。为便于进行问题解决，本文模型作出以下假设：
（1）热量垂直通过印刷电路板;
（2）热对流只考虑自然对流情况;
（3）炉内没有热量损耗。
2 回焊炉加热模型的分析与建立
回焊炉内部由11个小温区组成。为便于在具体工艺中对回焊炉进行温度控制，我们将原本炉内的11个小温区重新划分为五个区域。
根据文献[5]，回焊炉内的热量传递方式为热对流、炉外为热辐射。焊接区域的热对流模型可以简化为[5]16：
其中，为区域的最终温度，为焊接区域的初始温度，为区域的当前温度，为小温区中的热风温度。为对流换热系数;为焊接区域密度，单位为;为电路板的定压比热容;为焊接区域厚度，单位为，这三者之比为常数。引入：
方程无对应的解析解。利用各区域的已知数据通过级数和逼近积分，将（1）转化为级数和：
运用迭代的方式进行简化计算，得到结果：
a1=55.6955，a2=45.3138，a3=36.3488，a4=48.6395，a5=1.3494
3 制程界限的建立
在焊接生产中，炉温曲线本身要满足一定的制程界限。写出如下的约束条件：
由于该目标函数是五维函数，难以通过图像观察到最优解，又知遗传算法能够求解动态的复杂问题[6]，且在求解组合优化领域的问题上显示出较好的搜索能力[7]，因此采用遗传算法。
4 多目标规划模型
4.1 多目标规划模型的建立
首先，将中心线对应的时间设为中心时间，在横坐标上与中心时间间隔相同的两个时间点对应的区域温度之差的绝对值称为等距温差，即，其横坐标范围为焊接区域温度上升过程中达到217的时间至中心时间。
其次，确定目标函数。为了使峰值温度两侧超过217的炉温曲线尽量对称，确定两种评价标准，即个不同的目标函数。
（1）等距温差和最小：
（2）最大等距温差最小：
由于建立的模型为多目标规划模型，不便于直接求得最小值，因此转化为单目标。在单目标规划中，考虑到目标的灵敏度，以第一个目标为主。
4.2 多目标规划模型求解
4.2.1 以等距温差和最小为目标
首先，编写等距温差和函数。
其次，输入参数的约束范围，运用遗传算法，得到一次结果的最优解。
最后，判断生成的数据是否满足炉温曲线的制程界限，若不满足，则函数返回一个不会对求解产生干扰的极大数;否则返回等距温差和。
4.2.2 以最大等距温差最小为目标
首先，基于最大等距温差的定义编写最大等距温差函数。
其次，将4.2.1中以等距温差和最小为目标输出的解集带入最大等距温差函数，求得不同参数所对应的值。找到最大等距温差最小的组别。取该组别对应的参数作为本题的最优参数。
5 结论
利用多目标规划模型，解得的最优参数为：
在以上条件下，回焊炉的炉温曲线为：
参考文献
[1] 姜楠，张亮，熊明月，赵猛，徐恺恺.电子封装无铅软钎焊技术研究进展[J].材料导报，2019，33（23）：3862-3875.
[2] 冯志刚，郁鼎文，朱云鹤.回流焊工艺参数对温度曲线的影响[J].电子工艺技术，2004（06）：243-246+251.
[3] 高金刚.表面贴装工艺生产线上回流焊曲线的优化与控制[D].上海交通大学，2007.
[4] 焦进莉.六西格玛方法在提升SMT回流焊过程质量中的应用研究[D].上海交通大学，2011.
[5] 姚焕.基于Ansys_lcepak的板级回流焊接建模与仿真[D].河北：北华航天工业学院，2018.
[6] 席裕庚，柴天佑，惲为民.遗传算法综述[J].控制理论与应用，1996（06）：697-708.
[7] 赵诗奎.基于遗传算法的柔性资源调度优化方法研究[D].浙江大学，2013.
关键词：多目标规划;遗传算法;炉温曲线;热对流模型
中图分类号： TG43 文献标志码：A
引言
在集成电路板等电子产品生产过程中，需要回焊炉将电子元件焊接到电路板上。回焊炉内部包含11个小温区，这些小温区可从功能上分为4个大温区：预热区、恒温区、回流区和冷却区。各大温区温度为设定值。输入不同的温度、过炉速度参数，能够替换不同的回流焊工艺曲线，极大地提高生产效率[1]。在实际工业应用中，若以炉温曲线峰值温度为中心线，中心线两侧超过217?C部分的图像较为对称，产品质量能有较大的提升。
目前，对回焊炉各温区的温度和传送带过炉速度的研究主要基于实验测试的角度。冯志刚等最早采用正交实验法，对回流焊炉的工艺参数对回流温度曲线及其关键指标的影响进行了全面的研究[2]。高金刚运用加热因子控制法，实现对回流焊曲线的优化与控制[3]。焦进莉提出，当温度曲线超过其设定的管制工艺窗口，产品品质将受到一定的影响[4]。
本文在数学模型的基础上，基于机理分析的方法，以制程界限为约束，以峰值温度为中心线的两侧超过217?C的炉温曲线尽量对称为目标，运用遗传算法进行求解，得到各温区设定的温度及传送带的过炉速度。
1 数据来源及模型假设
本文数据来源于2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题“炉温曲线”。为便于进行问题解决，本文模型作出以下假设：
（1）热量垂直通过印刷电路板;
（2）热对流只考虑自然对流情况;
（3）炉内没有热量损耗。
2 回焊炉加热模型的分析与建立
回焊炉内部由11个小温区组成。为便于在具体工艺中对回焊炉进行温度控制，我们将原本炉内的11个小温区重新划分为五个区域。
根据文献[5]，回焊炉内的热量传递方式为热对流、炉外为热辐射。焊接区域的热对流模型可以简化为[5]16：
其中，为区域的最终温度，为焊接区域的初始温度，为区域的当前温度，为小温区中的热风温度。为对流换热系数;为焊接区域密度，单位为;为电路板的定压比热容;为焊接区域厚度，单位为，这三者之比为常数。引入：
方程无对应的解析解。利用各区域的已知数据通过级数和逼近积分，将（1）转化为级数和：
运用迭代的方式进行简化计算，得到结果：
a1=55.6955，a2=45.3138，a3=36.3488，a4=48.6395，a5=1.3494
3 制程界限的建立
在焊接生产中，炉温曲线本身要满足一定的制程界限。写出如下的约束条件：
由于该目标函数是五维函数，难以通过图像观察到最优解，又知遗传算法能够求解动态的复杂问题[6]，且在求解组合优化领域的问题上显示出较好的搜索能力[7]，因此采用遗传算法。
4 多目标规划模型
4.1 多目标规划模型的建立
首先，将中心线对应的时间设为中心时间，在横坐标上与中心时间间隔相同的两个时间点对应的区域温度之差的绝对值称为等距温差，即，其横坐标范围为焊接区域温度上升过程中达到217的时间至中心时间。
其次，确定目标函数。为了使峰值温度两侧超过217的炉温曲线尽量对称，确定两种评价标准，即个不同的目标函数。
（1）等距温差和最小：
（2）最大等距温差最小：
由于建立的模型为多目标规划模型，不便于直接求得最小值，因此转化为单目标。在单目标规划中，考虑到目标的灵敏度，以第一个目标为主。
4.2 多目标规划模型求解
4.2.1 以等距温差和最小为目标
首先，编写等距温差和函数。
其次，输入参数的约束范围，运用遗传算法，得到一次结果的最优解。
最后，判断生成的数据是否满足炉温曲线的制程界限，若不满足，则函数返回一个不会对求解产生干扰的极大数;否则返回等距温差和。
4.2.2 以最大等距温差最小为目标
首先，基于最大等距温差的定义编写最大等距温差函数。
其次，将4.2.1中以等距温差和最小为目标输出的解集带入最大等距温差函数，求得不同参数所对应的值。找到最大等距温差最小的组别。取该组别对应的参数作为本题的最优参数。
5 结论
利用多目标规划模型，解得的最优参数为：
在以上条件下，回焊炉的炉温曲线为：
参考文献
[1] 姜楠，张亮，熊明月，赵猛，徐恺恺.电子封装无铅软钎焊技术研究进展[J].材料导报，2019，33（23）：3862-3875.
[2] 冯志刚，郁鼎文，朱云鹤.回流焊工艺参数对温度曲线的影响[J].电子工艺技术，2004（06）：243-246+251.
[3] 高金刚.表面贴装工艺生产线上回流焊曲线的优化与控制[D].上海交通大学，2007.
[4] 焦进莉.六西格玛方法在提升SMT回流焊过程质量中的应用研究[D].上海交通大学，2011.
[5] 姚焕.基于Ansys_lcepak的板级回流焊接建模与仿真[D].河北：北华航天工业学院，2018.
[6] 席裕庚，柴天佑，惲为民.遗传算法综述[J].控制理论与应用，1996（06）：697-708.
[7] 赵诗奎.基于遗传算法的柔性资源调度优化方法研究[D].浙江大学，2013.