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摘要：本文讨论了在修订《常微分方程》(第三版)和编写《常微分方程学习辅导与习题解答》过程中，探索基础数学教材中如何与时俱进；在保留原有优点基础上不断提高开放性、现代性和应用性，特别是在信息化进程中信息技术的应用等方面的问题。
关键词：基础数学教材；常微分方程；信息技术
中山大学数学系王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编写的《常微分方程》从1978年第一版、1983年第二版出版以来经历了中国改革开放的整个时期，一直在重印中。《常微分方程》第二版曾于1987年获第一届国家教委高等学校优秀教材一等奖，说明这本教材的编写得到了读者的肯定。《常微分方程(第三版)》已作为“普通高等教育‘十一五’国家级规划教材”于2006年由高等教育出版社出版，并被教育部评为“2007年度普通高等学校精品教材”。朱思铭编写的《常微分方程学习辅导与习题解答》亦已在2009年1月由高等教育出版社出版。这里我们汇报在修订和编写过程中的一些思考、探索。
一、《常微分方程》编写和修订的思路
《常微分方程》第一、二版编写过程中考虑到“常微分方程”不但是数学的基础课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。因此，除传统内容外，还介绍了稳定性、定性基本理论。并采用了矩阵和向量等工具。同时，力图做到“由浅入深，循序渐进”和“少而精”；注意突出重点，力求论证详细明了，便于自学。并且在加强基本理论教学的同时，注意运算技能的培养和训练，配有典型例子和众多习题。
由于《常微分方程》按教学大纲的要求，较全面地介绍了常微分方程的基本理论和方法，结构合理，讨论详尽，易教易学，有丰富的例子和习题，在处理诸如高阶线性方程和线性方程组等内容时有自己的特色。多年来一直受到高等学校教师和同学的欢迎。
《常微分方程》第一、二版编写在改革开放的初期，有其局限性。首先，观点上偏重于强调常微分方程的应用性，没有完全将其作为数学及数学分析的一支、是数学分析或基础数学的一个组成部分来考虑。其次，在内容上往往过于封闭，虽也介绍了现代方法、工具，但强调自成系统，能不涉及的尽量不提，显得不够开放。而且，经过二、三十年的发展，常微分方程不但自身得到了迅速的发展，更由于历史进入了信息新时代，计算机技术的应用引起了科学技术包括数学及常微分方程理论和方法的大革命。所有这些，可归结为如何在《常微分方程》第三版的修订中贯彻与时俱进，在保留原有优点的基础上实现开放性、现代性和应用性，特别是在信息化进程中信息技术的应用。
二、《常微分方程》修订的探索
《常微分方程》作为基础数学课程，其基本理论发展了三百多年，已很成熟，且《常微分方程》课程一般放在刚学完微积分基本理论的本科二年级学习，不可能应用太高深的如泛函分析、复变函数等工具知识。而原《常微分方程》第一、二版的处理也较成功。因此，我们具体修订了如下几个方面：
1 以开放的观点贯穿全书。修订中处理材料时我们把常微分方程放在整个数学结构中考虑，不仅强调其应用，也不将常微分方程自我封闭起来。在各章节中适当提及有关的其他理论方法，给出有关的参考文献。还在第一章绪论中补充了关于常微分方程的发展历史，加插了数学家G.F.Simmons关于微分方程在数学中的地位的评价。同时，还在第六章介绍了常微分方程的近代发展动态。
2 适当处理近代常微分方程发展材料。近三四十年来，在自然科学中，混沌(chaos)现象和孤立子(soliton)的重大发现，便是以(常)微分方程为基础出现的。非线性科学的研究目前仍方兴未艾，出现了生态数学等包含常微分方程模型的新交叉学科。为此，我们除在第六章非线性微分方程中继续介绍稳定性和定性基本理论并以常微分方程生态、化学模型作为例子分析外，还以简短篇幅补充了分支、混沌、哈密顿系统和孤立子等内容，虽然概念较多，但多用图形、例子说明，不涉及复杂的推导，且只作为补充材料。主要让读者对当今常微分方程的新面貌有一个概略的印象。
3 加强应用性、实用性。虽在原《常微分方程》第一、二版中强调常微分方程的应用性，但近三、四十年的发展，其应用更加广泛、深入，有不少新内容、新材料，此其一；目前，大学生、研究生数学建模竞赛已经普及、开展，并成为高等院校提高素质教育及教学改革的重要手段，而常微分方程模型是数学模型的基本内容之一，此其二：另外，目前已进入信息时代，计算机已普及应用，使用计算机数学软件可大大促进数学包括常微分方程的学习、教学和研究，必需适当介绍计算机数学软件新工具使《常微分方程》教材更实用，此其三。
在材料处理上，修订本在第一章绪论中大大补充了常微分方程的各种模型供参考(不必全部讲授)，并在解题及分析中多次应用有关模型；同时增加了应用计算机进行常微分方程处理的数值解一节作为可选内容；另一方面，考虑到目前不少数学老师不一定熟悉计算机数学软件，我们把数学软件的使用作为辅助学习，只列入附录，且主要是绘图及计算。
4 作为信息技术在常微分方程的应用，附录中介绍的计算机数学软件新工具，包括目前国内外应用最广泛的计算机数学软件Mathemafiea、MATLAB、Maple三种。每种语言均列出可在常微分方程中应用的相关函数，如：矩阵、行列式与代数方程组解；向量场、等高线、微分方程及其图形；拉普垃斯变换；解常微分方程等。而且给出众多例子，可让读者迅速掌握在常微分方程中如何应用。
5 与时俱进地处理相关内容，增删有关材料。基础数学课程教材与专著不同，受教学大纲、时数的限制，必须严格选择有关材料。我们与时俱进地处理相关内容，增删有关材料。如第六章原来是混合介绍稳定性和定性基本理论，为了强调区别不同分支，分别进行介绍，并删去了绝对稳定性方面的内容，让出篇幅介绍更重要的分支、混沌和哈密顿方程。又如，拉普拉斯变换在常微分方程的应用历来是国内、外常微分方程教材中的重要内容，在原《常微分方程》第一、二版中还增加了附录进行介绍，但由于计算机技术、计算机数学软件的发展，现在已可以方便地用数学软件进行处理、求解。因此，我们删去了原来的附录，删减了有关例子，仅保留了关于拉普拉斯变换在常微分方程中应用的方法介绍。此外，考虑到书中用到的雅可比矩阵及函数独立性概念在微积分基本教材中不一定涉及，我们在第一章基本概念中附加了雅可比矩阵与函数独立性一段内容供需要时查阅。另外，对习题也作了归并调整：并改正了在原书中发现的一些错漏。
三、《常微分方程学习辅导与习题解答》的编写
在修订完《常微分方程(第三版)》后，由朱思铭教授编写了《常微分方程学习辅导和习题解答》一书。
1 首先，现有的专业教材教学参考书往往仅含内容提要，习题与解答，有的增加了教学要求和学习注意点及释疑解难。我们希望能根据常微分方程本身的特点，编写出有自己特色的内容丰富且较全面的常微分方程学习、教学参考书，适合各种类型学生、老师的需要：对初学者给出学习辅导、测试练习及习题解答；对程度较高的同学可以作排疑解惑与补充提高；对讲课老师能介绍补充例题、考题及发展历史；同时对考研及参加数学建模竞赛的同学也有所帮助；还对专注于常微分方程的实际应用及计算机具体应用于常微分方程的读者亦能从中获益。
2 常微分方程是一门应用广泛的学科，在力学、物理、化学、生物等自然科学及工程技术以至经济、人文学科均有应用。在这信息时代，解决应用问题时，要建立数学模型，用计算机进行计算处理。全国大学每年都进行大学生、研究生数学建模竞赛，常微分方程模型是数学模型的重要组成部分。而常微分方程的大量应用，在原教材《常微分方程(第三版)》中无法深入涉及，我们便在《常微分方程学习辅导和习题解答》书中对教材的每章均辟专节介绍常微分方程应用实例，包含应用习题和应用模型。形成该书的一大特色。
3 常微分方程的具体应用往往要靠计算技术。除常微分方程理论外，还要学会使用计算机数学软件。作为《常微分方程(第三版)》附录的补充和深入，在《常微分方程学习辅导和习题解答》书中辟专章讨论常微分方程的计算机辅助分析，分析了常微分方程的教学和研究中应用计算机辅助分析的几个方面，并结合已普及应用的计算机数学软件Mathematica、MATLAB、Maple和SCILAB语言进行探讨，比较了它们在应用方面的差异，并给出了进行常微分方程的计算机辅助分析的具体处理方法。特别是增加了可免费使用的开源软件SCILAB语言的应用。可避免使用昂贵数学软件，适合我国国情。此为该书的第二特色。
4 常微分方程是数学、微积分的有机组成部分，数学史上不少伟大数学家都在常微分方程发展史上留下印记。为使老师同学了解常微分方程的发展历史，包括与常微分方程有关的奇异吸引子、混沌、孤立子等现代科学概念的发现史，在《常微分方程学习辅导与习题解答》中对教材的每章均辟专节介绍“历史与人物”，让我们了解常微分方程和某些数学思想的发展历史及相关杰出人物的成就，并感受数学的丰富多彩。此为该书的第三特色。
5 如何既给出习题解答又要避免同学抄袭是一个不易解决的问题，我们不采用习题选解的办法，而给出全部习题的解答。但除部分详细解答作为范例外，相当部分采用提示或略解，只给出关键部分，中间过程需要自己推导、补充和说明。这既避免被抄袭，又节省篇幅。
6 为使《常微分方程学习辅导和习题解答》适合各种类型学生、老师的需要，我们将教材的各章辅导除“内容提要”和“习题与习题解答”外分为适合开始时初学的“学习辅导”和供较深入学习之用的“补充提高”两部分。“学习辅导”含学习要点或解题指导、例题选讲、测试练习；“补充提高”含补充习题、排疑解惑、应用实例、历史与人物。同时，专章给出“期中、期末及硕士研究生入学试题”(包括套题、半套题及散题)及其解答，供老师出题和学生考研参考。
四、体会
1 在这信息时代，信息技术的不断发展和广泛应用，既给大学数学课程教学改革与创新提供了极大的机会，也对广大教师提出了严峻的挑战，需要掌握新的科学技术，特别是信息技术。
2 常微分方程是数学、微积分的有机组成部分，常微分方程课程是大学数学与应用数学专业的基础课程。在信息新时代，编好常微分方程教材及有关参考资料，是我们面临的艰巨任务。
3 我们在原来的较受欢迎的《常微分方程》(第二版)的基础上，与时俱进，修订编写了《常微分方程(第三版)》，努力实现教材的开放性、现代性和应用性。《常微分方程(第三版)》已作为“普通高等教育‘十一五’国家级教材”于2006年出版，并被教育部评为“2007年度普通高等学校精品教材”。其探索成果得到了肯定。
4 《常微分方程学习辅导与习题解答》是根据常微分方程本身的特点，结合《常微分方程(第三版)》教材编写出的常微分方程学习、教学参考书。书中有机地补充了常微分方程应用实例模型、四种数学软件的常微分方程的计算机辅助分析、了解常微分方程的发展历史的“历史与人物”等内容。适合各种类型学生、老师的需要并形成自己的特色。《常微分方程学习辅导与习题解答》由高等教育出版社作为“数学类专业学习辅导丛书”之一于2009年1月出版。
5 如何将信息技术应用于常微分方程课程教学、不断提高教学质量仍是我们需要不断探索与实践的任务。
关键词：基础数学教材；常微分方程；信息技术
中山大学数学系王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松编写的《常微分方程》从1978年第一版、1983年第二版出版以来经历了中国改革开放的整个时期，一直在重印中。《常微分方程》第二版曾于1987年获第一届国家教委高等学校优秀教材一等奖，说明这本教材的编写得到了读者的肯定。《常微分方程(第三版)》已作为“普通高等教育‘十一五’国家级规划教材”于2006年由高等教育出版社出版，并被教育部评为“2007年度普通高等学校精品教材”。朱思铭编写的《常微分方程学习辅导与习题解答》亦已在2009年1月由高等教育出版社出版。这里我们汇报在修订和编写过程中的一些思考、探索。
一、《常微分方程》编写和修订的思路
《常微分方程》第一、二版编写过程中考虑到“常微分方程”不但是数学的基础课，同时也是常微分方程学科本身近代发展方向的重要基础。因此，除传统内容外，还介绍了稳定性、定性基本理论。并采用了矩阵和向量等工具。同时，力图做到“由浅入深，循序渐进”和“少而精”；注意突出重点，力求论证详细明了，便于自学。并且在加强基本理论教学的同时，注意运算技能的培养和训练，配有典型例子和众多习题。
由于《常微分方程》按教学大纲的要求，较全面地介绍了常微分方程的基本理论和方法，结构合理，讨论详尽，易教易学，有丰富的例子和习题，在处理诸如高阶线性方程和线性方程组等内容时有自己的特色。多年来一直受到高等学校教师和同学的欢迎。
《常微分方程》第一、二版编写在改革开放的初期，有其局限性。首先，观点上偏重于强调常微分方程的应用性，没有完全将其作为数学及数学分析的一支、是数学分析或基础数学的一个组成部分来考虑。其次，在内容上往往过于封闭，虽也介绍了现代方法、工具，但强调自成系统，能不涉及的尽量不提，显得不够开放。而且，经过二、三十年的发展，常微分方程不但自身得到了迅速的发展，更由于历史进入了信息新时代，计算机技术的应用引起了科学技术包括数学及常微分方程理论和方法的大革命。所有这些，可归结为如何在《常微分方程》第三版的修订中贯彻与时俱进，在保留原有优点的基础上实现开放性、现代性和应用性，特别是在信息化进程中信息技术的应用。
二、《常微分方程》修订的探索
《常微分方程》作为基础数学课程，其基本理论发展了三百多年，已很成熟，且《常微分方程》课程一般放在刚学完微积分基本理论的本科二年级学习，不可能应用太高深的如泛函分析、复变函数等工具知识。而原《常微分方程》第一、二版的处理也较成功。因此，我们具体修订了如下几个方面：
1 以开放的观点贯穿全书。修订中处理材料时我们把常微分方程放在整个数学结构中考虑，不仅强调其应用，也不将常微分方程自我封闭起来。在各章节中适当提及有关的其他理论方法，给出有关的参考文献。还在第一章绪论中补充了关于常微分方程的发展历史，加插了数学家G.F.Simmons关于微分方程在数学中的地位的评价。同时，还在第六章介绍了常微分方程的近代发展动态。
2 适当处理近代常微分方程发展材料。近三四十年来，在自然科学中，混沌(chaos)现象和孤立子(soliton)的重大发现，便是以(常)微分方程为基础出现的。非线性科学的研究目前仍方兴未艾，出现了生态数学等包含常微分方程模型的新交叉学科。为此，我们除在第六章非线性微分方程中继续介绍稳定性和定性基本理论并以常微分方程生态、化学模型作为例子分析外，还以简短篇幅补充了分支、混沌、哈密顿系统和孤立子等内容，虽然概念较多，但多用图形、例子说明，不涉及复杂的推导，且只作为补充材料。主要让读者对当今常微分方程的新面貌有一个概略的印象。
3 加强应用性、实用性。虽在原《常微分方程》第一、二版中强调常微分方程的应用性，但近三、四十年的发展，其应用更加广泛、深入，有不少新内容、新材料，此其一；目前，大学生、研究生数学建模竞赛已经普及、开展，并成为高等院校提高素质教育及教学改革的重要手段，而常微分方程模型是数学模型的基本内容之一，此其二：另外，目前已进入信息时代，计算机已普及应用，使用计算机数学软件可大大促进数学包括常微分方程的学习、教学和研究，必需适当介绍计算机数学软件新工具使《常微分方程》教材更实用，此其三。
在材料处理上，修订本在第一章绪论中大大补充了常微分方程的各种模型供参考(不必全部讲授)，并在解题及分析中多次应用有关模型；同时增加了应用计算机进行常微分方程处理的数值解一节作为可选内容；另一方面，考虑到目前不少数学老师不一定熟悉计算机数学软件，我们把数学软件的使用作为辅助学习，只列入附录，且主要是绘图及计算。
4 作为信息技术在常微分方程的应用，附录中介绍的计算机数学软件新工具，包括目前国内外应用最广泛的计算机数学软件Mathemafiea、MATLAB、Maple三种。每种语言均列出可在常微分方程中应用的相关函数，如：矩阵、行列式与代数方程组解；向量场、等高线、微分方程及其图形；拉普垃斯变换；解常微分方程等。而且给出众多例子，可让读者迅速掌握在常微分方程中如何应用。
5 与时俱进地处理相关内容，增删有关材料。基础数学课程教材与专著不同，受教学大纲、时数的限制，必须严格选择有关材料。我们与时俱进地处理相关内容，增删有关材料。如第六章原来是混合介绍稳定性和定性基本理论，为了强调区别不同分支，分别进行介绍，并删去了绝对稳定性方面的内容，让出篇幅介绍更重要的分支、混沌和哈密顿方程。又如，拉普拉斯变换在常微分方程的应用历来是国内、外常微分方程教材中的重要内容，在原《常微分方程》第一、二版中还增加了附录进行介绍，但由于计算机技术、计算机数学软件的发展，现在已可以方便地用数学软件进行处理、求解。因此，我们删去了原来的附录，删减了有关例子，仅保留了关于拉普拉斯变换在常微分方程中应用的方法介绍。此外，考虑到书中用到的雅可比矩阵及函数独立性概念在微积分基本教材中不一定涉及，我们在第一章基本概念中附加了雅可比矩阵与函数独立性一段内容供需要时查阅。另外，对习题也作了归并调整：并改正了在原书中发现的一些错漏。
三、《常微分方程学习辅导与习题解答》的编写
在修订完《常微分方程(第三版)》后，由朱思铭教授编写了《常微分方程学习辅导和习题解答》一书。
1 首先，现有的专业教材教学参考书往往仅含内容提要，习题与解答，有的增加了教学要求和学习注意点及释疑解难。我们希望能根据常微分方程本身的特点，编写出有自己特色的内容丰富且较全面的常微分方程学习、教学参考书，适合各种类型学生、老师的需要：对初学者给出学习辅导、测试练习及习题解答；对程度较高的同学可以作排疑解惑与补充提高；对讲课老师能介绍补充例题、考题及发展历史；同时对考研及参加数学建模竞赛的同学也有所帮助；还对专注于常微分方程的实际应用及计算机具体应用于常微分方程的读者亦能从中获益。
2 常微分方程是一门应用广泛的学科，在力学、物理、化学、生物等自然科学及工程技术以至经济、人文学科均有应用。在这信息时代，解决应用问题时，要建立数学模型，用计算机进行计算处理。全国大学每年都进行大学生、研究生数学建模竞赛，常微分方程模型是数学模型的重要组成部分。而常微分方程的大量应用，在原教材《常微分方程(第三版)》中无法深入涉及，我们便在《常微分方程学习辅导和习题解答》书中对教材的每章均辟专节介绍常微分方程应用实例，包含应用习题和应用模型。形成该书的一大特色。
3 常微分方程的具体应用往往要靠计算技术。除常微分方程理论外，还要学会使用计算机数学软件。作为《常微分方程(第三版)》附录的补充和深入，在《常微分方程学习辅导和习题解答》书中辟专章讨论常微分方程的计算机辅助分析，分析了常微分方程的教学和研究中应用计算机辅助分析的几个方面，并结合已普及应用的计算机数学软件Mathematica、MATLAB、Maple和SCILAB语言进行探讨，比较了它们在应用方面的差异，并给出了进行常微分方程的计算机辅助分析的具体处理方法。特别是增加了可免费使用的开源软件SCILAB语言的应用。可避免使用昂贵数学软件，适合我国国情。此为该书的第二特色。
4 常微分方程是数学、微积分的有机组成部分，数学史上不少伟大数学家都在常微分方程发展史上留下印记。为使老师同学了解常微分方程的发展历史，包括与常微分方程有关的奇异吸引子、混沌、孤立子等现代科学概念的发现史，在《常微分方程学习辅导与习题解答》中对教材的每章均辟专节介绍“历史与人物”，让我们了解常微分方程和某些数学思想的发展历史及相关杰出人物的成就，并感受数学的丰富多彩。此为该书的第三特色。
5 如何既给出习题解答又要避免同学抄袭是一个不易解决的问题，我们不采用习题选解的办法，而给出全部习题的解答。但除部分详细解答作为范例外，相当部分采用提示或略解，只给出关键部分，中间过程需要自己推导、补充和说明。这既避免被抄袭，又节省篇幅。
6 为使《常微分方程学习辅导和习题解答》适合各种类型学生、老师的需要，我们将教材的各章辅导除“内容提要”和“习题与习题解答”外分为适合开始时初学的“学习辅导”和供较深入学习之用的“补充提高”两部分。“学习辅导”含学习要点或解题指导、例题选讲、测试练习；“补充提高”含补充习题、排疑解惑、应用实例、历史与人物。同时，专章给出“期中、期末及硕士研究生入学试题”(包括套题、半套题及散题)及其解答，供老师出题和学生考研参考。
四、体会
1 在这信息时代，信息技术的不断发展和广泛应用，既给大学数学课程教学改革与创新提供了极大的机会，也对广大教师提出了严峻的挑战，需要掌握新的科学技术，特别是信息技术。
2 常微分方程是数学、微积分的有机组成部分，常微分方程课程是大学数学与应用数学专业的基础课程。在信息新时代，编好常微分方程教材及有关参考资料，是我们面临的艰巨任务。
3 我们在原来的较受欢迎的《常微分方程》(第二版)的基础上，与时俱进，修订编写了《常微分方程(第三版)》，努力实现教材的开放性、现代性和应用性。《常微分方程(第三版)》已作为“普通高等教育‘十一五’国家级教材”于2006年出版，并被教育部评为“2007年度普通高等学校精品教材”。其探索成果得到了肯定。
4 《常微分方程学习辅导与习题解答》是根据常微分方程本身的特点，结合《常微分方程(第三版)》教材编写出的常微分方程学习、教学参考书。书中有机地补充了常微分方程应用实例模型、四种数学软件的常微分方程的计算机辅助分析、了解常微分方程的发展历史的“历史与人物”等内容。适合各种类型学生、老师的需要并形成自己的特色。《常微分方程学习辅导与习题解答》由高等教育出版社作为“数学类专业学习辅导丛书”之一于2009年1月出版。
5 如何将信息技术应用于常微分方程课程教学、不断提高教学质量仍是我们需要不断探索与实践的任务。