【摘要】本文从竖曲线的严密计算公式入手, 推导竖曲线上点的设计高程和里程的精确计算方法。分析和比较了近似公式和严密公式的差别及对设计高程和里程的影响。在道路勘测设计中用本方法可取得精确、方便、迅速的效果, 建议取代传统的近似方法。
　　
　　一、引言
　　在传统的道路纵断面设计中, 竖曲线元素及对应桩号里程和设计高程均采用近似公式计算,在低等级道路及计算工具很落后的时代曾起到过很大的作用。但是随着高级道路的快速发展, 道路竖曲线半径的不断加大, 设计和施工的精度要求越来越高, 因此, 对勘测设计工作提出了很高的要求。采用近似的方法进行勘测设计已难以满足高精度、高效灵活的要求。为此本文给出了实用、精确的竖曲线计算公式, 以解决实际工作中存在的问题。
　　二、计算原理
　　1. 近似计算公式
　　 如图1 所示, 设道路纵坡的变坡点为I , 其设计高程为H I , 里程为D I , 两侧的纵坡度分别为i1、i2, 竖曲线设计半径为R , 竖曲线各元素的近似计算公式如下:
　　
　　
　　
　　
　　 竖曲线上点的里程为:
　　
　　 图2
　　2.当曲线两侧纵坡一样时的精密计算公式
　　因为竖曲线是由直线段和圆曲线段组成，所以，不考虑直线段的计算，只考虑圆曲线段的高程计算。
　　如图2 所示,两侧纵坡一样，则参考坐标系与大地坐标系一致，在图中建立以里程桩号的切线方向为横坐标轴x , 铅垂线为纵坐标轴y（即高程）的xoy直角坐标系。
　　设：圆曲线段的ZY点为坐标原点，则可知圆曲线段的YZ点的高程与YZ点一致。
　　由圆曲线性质可知当知道圆曲线的弧长 和曲线半径R可以计算求得圆弧对应的圆心角 （ =2 ）；因为从ZY点到YZ点的运动轨迹遵循圆曲线运动的性质，可知任意弧长 对应的弦切角 是一个连续函数，变化范围是（0， ）。
　　遵循以上原理，可以导出下列公式：
　　
　　
　　
　　
　　
　　以上式中T为圆曲线切线长度； 为弦与水平x轴的夹角，变化范围是（0， ）； 是ZY点对应的高程，由直线段纵坡可求得； 由对应里程减去zy点的里程可求得。
　　3.当曲线两侧纵坡不一样时的精密计算公式
　　此时，由于曲线两侧的切线纵坡不同，导致参考坐标系与大地坐标系存在一定的角度i，这个角度i称为系统转角，求得该值得大小将之引入参考坐标系，这样就与大地坐标系处于一个系统之內，这时i的计算过程如下：
　　设：两侧的纵坡分别为： ， ；对应的切线长为 ， ；
　　i=
　　 求出系统转角i后由下式可以求得对应的高程值：
　　
　　式中其他参考值得计算方法等同于纵坡相同时的计算方法。
　　三、结论
　　采用传统的近似计算公式推算竖圆曲线上点的设计高程和里程, 存在着一定的误差, 并且随着道路纵坡的增大而增大。特别对于大纵坡又有超高横坡的外边线的竖曲线(有超高的外边线纵坡比中线纵坡更大) 以及风景区和校区、别墅区等的竖曲线(纵坡常在10% 左右) , 若用近似方法计算, 误差更大, 而且没有勘测设计竖圆曲线的变坡点N , 直接影响路面施工精度和质量。而采用本文介绍的方法计算, 计算公式精确严密（可以精确求得毫米级里程对应的高程）, 不受坡度和半径大小的影响, 方便迅速。采用本方法具有较高的应用价值和施工实际指导意义。
　　注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。