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摘要：通过对苏州市E区以接纳流动儿童为主的公办初级中学7年级学生进行流动儿童数学运算技能的学习现状的调查，发现绝大多数流动儿童在学习上存在较大的困难，思维活动上具有机械性等特征。在教学过程中，可通过“情境—问题”的创设来引导流动儿童感悟模型思想，提升运算思维。在算法的操作教学中，要特别关注算理解析的渗透，帮助流动儿童理解运算的本质。在运算的课堂教学中，要注重课程目标的整体实现，帮助流动儿童培养运算的能力。
关键词：流动儿童;数学运算;调查研究
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）07A-0083-05
第六次全国人口普查结果显示：我国流动人口规模达到2.21亿人，其中流动儿童多达3600万人[1]。由于没有流入地的户籍，流动儿童常无法享受流入地政府的教育经费、教育政策和社会福利政策，并且由于城乡差异，流动儿童在家庭环境、人际关系、教育发展方面与城市儿童相比，处于相对弱势[2]。当前对流动儿童学业表现的探讨已经成为研究的热点。研究焦点主要集中在学校环境、家庭背景、个体特征等方面对流动儿童学业表现的影响，而深入学科领域剖析流动儿童的学科技能现状或学科素养水平的结论还非常有限。在义务教育阶段，数学基本技能是一个重要内容，特别是对于流动儿童的发展而言具有深远的影响。作为数学基本技能的重要组成部分，运算技能是其他各种数学能力发展的基础。在现有的研究中，对于运算技能的现状调查和机制探讨，选取的对象多以城市儿童或者农村儿童为主，缺乏对流动儿童的关注。因此，本研究选取苏州市E区以接纳流动儿童为主的公办学校，以7年级刚入学的流动学生为研究对象，通过测试其数学运算技能的掌握情况，了解流动儿童数学运算技能的学习现状，并且探究其可能的原因，从而为课程内容和教学目标的设定提出相应的建议。
一、研究方法
1.研究对象
为了让流动儿童正常接受义务教育，江苏省教育厅采取的是“两为主”的解决原则：以流入地政府管理为主，以在公办中小学就读为主。本研究选取苏州市E区以接纳流动儿童为主的6所公办初级中学，以7年级刚入学的学生为调查对象。流动学生样本容量为1484名，其中男生886名，女生598名，年龄在11～13岁之间。在调查研究中，由于测试量表的内容仅涉及4～6年级数学运算知识和技能，因此，关于测试对象的数据描述可以看作流动儿童长时记忆中的数学运算知识和技能的评价。
2.研究工具
本研究依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）和江苏省4～6年级数学教材中关于数学基本运算的内容和认知程度，编制数学运算技能的测试量表。该量表的形成主要经历了3个阶段：第一阶段，根据研究的框架，初选出试题;第二阶段，征询专家意见，筛选和修改试题;第三阶段，广泛征求专家、教授和一线教师的意见，精选试题，形成最终的测试量表（见表1）。同时，为了排除各种可能因素对测试的影响，研究者制作了指导语，并将指导语印在每份测试量表上，尽量使被试明确测试要求。
3.数据收集与处理
运用测试卷调查的方法收集资料。本研究共发出测试量表1505份，回收1505份，回收率是100%，有效测试量表1484份，约占回收測试卷的98.6%。对全部有效测试量表，本研究采用将EXCEL数据导入MYSQL数据库中，使用数据库SQL语句进行数据分析。
二、研究结果与分析
以10分作为区间值，图1显示了各个分数段的流动儿童的人数比率。由图1可见，在[0，40）这个分数段，流动儿童的人数比率最高为32.01%;其次，在[50， 60）这个分数段，流动儿童的人数比率也较高，为21.9%;同时，在[40， 50）这个分数段，流动儿童的人数比率达到了18.19%。由此可见，在[0，60）这个分数段，流动儿童的人数比率达到了72.1%。这充分说明，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，流动儿童的学习情况极不理想。同时，在[60， 70）这个分数段，流动儿童的人数比率较高，为13.41%。这意味着，有一部分流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，会存在学习情况不稳定的现象。基于上述数据的分析，可以发现，绝大多数流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，学习上会存在较大的困难。
由图1还可进一步显示，在[90， 100]这个分数段，流动儿童的人数比率最低，仅为0.88%;而在[80， 90）这个分数段，流动儿童的人数比率即使稍高了一点，也仅为3.23%。由此可见，在[80， 100]这个分数段，流动儿童的人数比率仅仅只有4.11%。这充分说明，只有极少数的流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握达到良好或良好以上的学习程度。为了更加全面地描述上述现状，并且探究可能的原因和提出相应的教学建议，本研究选取内容、认知程度、内容—认知程度这三个方面对流动儿童的数学运算技能进行深入地研究。
1.研究内容
对于三级指标的每一个内容，我们进行了比较，在“数与式”这个内容中，首先，对于“负数”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最高，为82.08%;其次，是“运算律”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率为73.37%;再次，是“小数”和“混合运算”这两个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率分别为63.78%和61.58%;最后，在“函数”这个内容中，对于“规律或变化趋势”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最高，为68.97%。这充分说明，与现实情境结合紧密的数学运算知识（如负数）和技能（如规律或变化趋势）、用自然数的特殊形式来表征的“数”（如小数）和以机械思维活动为主要特征的数学运算技能（如运算律、混合运算），对于流动儿童而言较易理解和掌握。在“数与式”这个内容中，首先，对于“解决问题的策略”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最低，为6.99%;其次，是“四则运算”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率为22.82%;再次，是“数量关系”和“方程”这两个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率分别为31.39%和32.85%。这充分说明，在解决实际生活中的问题或者较抽象的数学问题中对合适方法的选择性和创造性，如四则运算的有效应用和借助几何直观对图形问题进行描述和分析，以及在实际问题的解决过程中模型思想的建立，流动儿童的理解和掌握存在较大的困难。 综上可知，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，数学运算知识和技能的抽象程度与流动儿童的学习情况这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
2.认知程度
对于学生数学学习水平（即认知程度）的刻画，《课标》使用“了解”“理解”“掌握”“运用”这四个描述结果目标的行为动词。本研究使用这四个描述结果目标的行为动词，对流动学生的数学运算技能的认知程度进行了刻画。
对于每一个认知水平，图2显示了流动儿童的得分率。由图2可见，首先，在认知水平的“运用”层次，流动儿童的得分率最高，为62.36%;其次，是认知水平的“了解”层次，流动儿童的得分率为52.92%。此外，在认知水平的“理解”层次，流动儿童的得分率最低，为35.15%。由《课标》可知，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，“运用”层次没有涉及解决问题时综合使用已掌握的对象来创造适当的方法和基于严密逻辑推理的证明，“了解”层次仅仅涉及在具体实例或情境中知道、举例说明或初步认识对象的有关特征，而“理解”层次却不仅仅局限于正确地进行运算，还涉及对运算的算理的正确感悟和理解。因此，上述数据充分说明，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，流动儿童的运算行为以根据法则和运算律正确地进行运算为主，思维能力是通过对既定程序的反复操作获得的，思维活动上具有机械性的特征，并且对于学习对象简单或简便地模仿、记忆和训练较易接受。
3.内容-认知程度
通过比较流动儿童在测试量表涉及的内容的每一个认知水平的得分率，对于“自然数”这个内容，流动儿童在认知水平的“理解”层次的得分率为58.76%，在认知水平的“了解”层次的得分率为33.76%。这充分说明，和知道、初步认识自然数的抽象化过程以及蕴含其中的抽象概念相比，如最大公因子等，流动儿童更易于理解和掌握数系形式中的自然数及其运用。对于“数量关系”这个内容，流动儿童在认知水平的“了解”层次的得分率为65.7%，而在认知水平的“掌握”层次的得分率为22.82%;对于“比及按比例分配”这个内容，流动儿童在认知水平的“理解”层次的得分率为45.35%，而在认知水平的“掌握”层次的得分率为0.74%。这充分说明，对于实际情境中的简单问题，流动儿童更易于辨认、知道或初步认识蕴含其中的数量关系或比例关系，但是，对于实际问题的抽象化，如在现实生活中建立反映数量关系的式子，以及数学方法在问题解决上的应用性、选择性和创造性，如比例关系的建立、方程的表示等，会存在较大的困难。
此外，对于认知水平的“了解”层次，“数量关系”这个内容的得分率为65.7%，而“自然数”这个内容的得分率为33.76%，前者高于后者;对于认知水平的“理解”层次，“负数”这个内容的得分率最高，为82.08%，而“正比例”这个内容的得分率最低，为14.29%;对于认知水平的“掌握”层次，“小数”这个内容的得分率最高，为63.78%，而“比及按比例分配”这个内容的得分率最低，为0.74%;对于认知水平的“运用”层次，“运算律”这个内容的得分率最高，为73.37%，而“解决问题的策略”这个内容的得分率最低，为6.99%。这充分说明，在认知水平较低的层次上，数学运算的知识和技能的抽象性不会影响流动儿童的学习，但是，随着认知水平的逐渐提高，数学运算的知识和技能的抽象性、对已学习对象的综合使用、问题解决中方法的选择性、创造性会严重影响流动儿童的学习。也就是说，随着认知水平的逐渐提高，上述这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
三、研究结论与建议
1.研究结论
基于上述分析，本研究可得如下主要结论：
（1）对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，绝大多数流动儿童在学习上会存在较大的困难，只有极少数的流动儿童才能达到良好或良好以上的学习程度。
（2）数学运算知识和技能的抽象程度与流动儿童的学习情况这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
（3）流动儿童的运算行为以根据法则和运算律正确地进行运算为主，思维能力是通过对既定程序的反复操作获得的，思维活动上具有机械性的特征，并且对于学习对象简单或简便地模仿、记忆和训练较易接受。
（4）随着认知水平的逐渐提高，数学运算的知识和技能的抽象性、对已学习对象的综合使用、问题解决中方法的选择性、创造性和流动儿童的学习情况这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
2.研究建议
针对4～6年级流动儿童数学运算知识和技能的学习现状，本研究从课堂教学的角度尝试提出如下三点建议。
（1）通过创设“情境—问题”，引导流动儿童感悟模型思想，提升运算思维
“情境认知”学习理论认为：知识是具有情境性的，知识是活动、背景和文化产品的一部分，知识正是在活动中，在其丰富的情境中，在文化中不断被运用和发展着[3]。数学情境是产生数学概念，提出和解决数学问题的背景和条件。创设数学情境，就是呈现给学生刺激性的数学信息，引起学生学习数学的兴趣，激发学生的好奇心、发现欲，产生认知冲突，诱发质疑猜想，从而使其发现数学问题和解决数学问题[4]。
吕传汉和汪秉彝先生在贵州地区主持开展了中小学“数学情境与提出问题”教学实验（简称“情境—問题”教学）。该实验认为：中小学生的数学学习，应是在教师指导下，从熟悉或感兴趣的数学情境出发，通过主动探究、提出问题、研究和解决问题等活动来获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、数学思想方法和应用数学的技能，发展勇于探索、勇于创新的精神[5]。
在小学阶段数学运算能力的培养教学中，教师通过创设“情境—问题”教学，有助于流动儿童认识数和掌握抽象的运算知识，在问题解决中可以有效地减轻运算技能的迁移。例如，教师在“小数运算”的教学时可以根据教材内容设计出菜场买菜游戏情境。学生在卖菜人和买菜人的角色扮演中，通过互相询问和答复，充分感受小数运算在日常生活中的作用，体验运用运算知识解决问题的过程，获得初步的运算经验。 此外，《课标》明确指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。在学习这些内容的过程中，帮助流动儿童感悟模型思想，可以使流动儿童在知识、技能、情感态度等方面都得到培养，完善对数与代数的学习。例如，教师在“分数”的教学时可以设计分披萨问题引入分数的概念。学生可以在等分披萨的过程中，建立等分值模型，理解分数单位，在分取披萨的体验中理解分数意义。
因此，在小学阶段运算能力的教学中，教师要基于流动儿童的生活经验和已有知识，创设关联紧密的“情境—问题”教学环境，引导流动儿童经历对现实情境的抽象、运算和建模，从而使流动儿童可以基于自身对现实、简单或问题情境的学习来感悟和理解概念的本质，体验从具体情境中抽象出概念的过程，进而理解抽象概念与它所抽象概括的各具体对应物之间的关系。
（2）在算法的操作教学中，关注算理解析的渗透，帮助流动儿童理解运算的本质
《课标》中提出的核心概念“运算能力”中，算法和算理是两个内涵明显不相同的专业术语。所谓算法，指的就是计算方法，详细地说，就是把复杂的思维过程进行简单化，然后添加一些后天人为规定的固定操作步骤，即计算法则。同时，在数学的定义上，算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，其内涵包括数和运算的意义，运算的归纳和性质[6]。研究表明：小学阶段数学运算能力的培养，需要“算理”的认识和“算法”的操作螺旋交互、协同发展[7]。例如，在“分数约分”的教学中，教师在演示算法的操作过程中，同时把着力点放在引导学生提升对于“不等式基本性质”和“最大公约数”的感悟和理解上。“不等式基本性质”是分数约分的算理依据，约分前后的分数是一样的，约分后能更清晰地看到、认识分数;“最大公约数”是分数约分的算理关键，“最大公约数”是约分前分数的分子和分母“共同拥有的”，依次或直接寻找、发现最大公约数是课堂教学的关键。在该案例中，我们可以发现，学生能够理解算理，并且在操作算法时，学生没有依赖机械地模仿，而是基于对算理的感悟和认识来进行计算。因此，在构建运算技能的教学时，对于法则和运算规律的操作，教师要侧重于算理的说明和强调，充分解析算理的本质，引导流动儿童正确地理解和感悟算理。
（3）在运算的课堂教学中，注重课程目标的整体实现，帮助流动儿童培养运算的素养
《课标》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等。其中，数感、运算能力是一个重要内容，特别是对于流动儿童的发展而言具有深远的作用。数感和运算能力的培养，体现在不同学段、不同内容、不同方法中，是基于《课标》每一个课程内容逐步、循环生成的。在研究中，我们发现，流动儿童就读小学的一部分教师常常忽视《课标》要求，随意删减或增加课程内容，造成知识架构的缺失或偏离，直接影响了流动儿童运算技能的培养。为了帮助流动儿童全面打好运算技能基础，教师应注重课程内容的顶层设计，注重课程目标的整体实现。同时，教师要运用不同的方法，如核心概念、基本原理、数学思想等，引导流动儿童探索知识之间的关联，帮助流动儿童建立完善的知识结构体系，从而使流动儿童对学科知识和数学意识有准确的理解和感悟。
参考文献：
[1]中华人民共和国国家统计局.2010年第六次全国人口普查主要数据公报（第1号）[EB/OL].（2011-04-28）[2018-01-05]. http：//www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm.
[2]徐冬英.学业情绪理论及其对流动儿童学业情绪辅导的启示[J].教育学术月刊，2017（6）：96-105.
[3]王文静.情境认知与学习理论研究述评[J].全球教育展望，2002（1）：51.
[4]吳华，马东艳.多媒体技术与数学“情境—问题”教学[J].数学教育学报， 2008（1）：87-90.
[5]吕传汉，汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的教学[J].数学教育学报， 2001（4）：75.
[6]郭爱娟.小学数学计算教学中算理和算法的有效结合体会[J].数学教学通讯， 2017（7）：62.
[7]蒋敏杰.小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略[J].中小学教师培训， 2016（7）：37-41.
责任编辑：赵赟
关键词：流动儿童;数学运算;调查研究
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）07A-0083-05
第六次全国人口普查结果显示：我国流动人口规模达到2.21亿人，其中流动儿童多达3600万人[1]。由于没有流入地的户籍，流动儿童常无法享受流入地政府的教育经费、教育政策和社会福利政策，并且由于城乡差异，流动儿童在家庭环境、人际关系、教育发展方面与城市儿童相比，处于相对弱势[2]。当前对流动儿童学业表现的探讨已经成为研究的热点。研究焦点主要集中在学校环境、家庭背景、个体特征等方面对流动儿童学业表现的影响，而深入学科领域剖析流动儿童的学科技能现状或学科素养水平的结论还非常有限。在义务教育阶段，数学基本技能是一个重要内容，特别是对于流动儿童的发展而言具有深远的影响。作为数学基本技能的重要组成部分，运算技能是其他各种数学能力发展的基础。在现有的研究中，对于运算技能的现状调查和机制探讨，选取的对象多以城市儿童或者农村儿童为主，缺乏对流动儿童的关注。因此，本研究选取苏州市E区以接纳流动儿童为主的公办学校，以7年级刚入学的流动学生为研究对象，通过测试其数学运算技能的掌握情况，了解流动儿童数学运算技能的学习现状，并且探究其可能的原因，从而为课程内容和教学目标的设定提出相应的建议。
一、研究方法
1.研究对象
为了让流动儿童正常接受义务教育，江苏省教育厅采取的是“两为主”的解决原则：以流入地政府管理为主，以在公办中小学就读为主。本研究选取苏州市E区以接纳流动儿童为主的6所公办初级中学，以7年级刚入学的学生为调查对象。流动学生样本容量为1484名，其中男生886名，女生598名，年龄在11～13岁之间。在调查研究中，由于测试量表的内容仅涉及4～6年级数学运算知识和技能，因此，关于测试对象的数据描述可以看作流动儿童长时记忆中的数学运算知识和技能的评价。
2.研究工具
本研究依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）和江苏省4～6年级数学教材中关于数学基本运算的内容和认知程度，编制数学运算技能的测试量表。该量表的形成主要经历了3个阶段：第一阶段，根据研究的框架，初选出试题;第二阶段，征询专家意见，筛选和修改试题;第三阶段，广泛征求专家、教授和一线教师的意见，精选试题，形成最终的测试量表（见表1）。同时，为了排除各种可能因素对测试的影响，研究者制作了指导语，并将指导语印在每份测试量表上，尽量使被试明确测试要求。
3.数据收集与处理
运用测试卷调查的方法收集资料。本研究共发出测试量表1505份，回收1505份，回收率是100%，有效测试量表1484份，约占回收測试卷的98.6%。对全部有效测试量表，本研究采用将EXCEL数据导入MYSQL数据库中，使用数据库SQL语句进行数据分析。
二、研究结果与分析
以10分作为区间值，图1显示了各个分数段的流动儿童的人数比率。由图1可见，在[0，40）这个分数段，流动儿童的人数比率最高为32.01%;其次，在[50， 60）这个分数段，流动儿童的人数比率也较高，为21.9%;同时，在[40， 50）这个分数段，流动儿童的人数比率达到了18.19%。由此可见，在[0，60）这个分数段，流动儿童的人数比率达到了72.1%。这充分说明，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，流动儿童的学习情况极不理想。同时，在[60， 70）这个分数段，流动儿童的人数比率较高，为13.41%。这意味着，有一部分流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，会存在学习情况不稳定的现象。基于上述数据的分析，可以发现，绝大多数流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，学习上会存在较大的困难。
由图1还可进一步显示，在[90， 100]这个分数段，流动儿童的人数比率最低，仅为0.88%;而在[80， 90）这个分数段，流动儿童的人数比率即使稍高了一点，也仅为3.23%。由此可见，在[80， 100]这个分数段，流动儿童的人数比率仅仅只有4.11%。这充分说明，只有极少数的流动儿童，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握达到良好或良好以上的学习程度。为了更加全面地描述上述现状，并且探究可能的原因和提出相应的教学建议，本研究选取内容、认知程度、内容—认知程度这三个方面对流动儿童的数学运算技能进行深入地研究。
1.研究内容
对于三级指标的每一个内容，我们进行了比较，在“数与式”这个内容中，首先，对于“负数”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最高，为82.08%;其次，是“运算律”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率为73.37%;再次，是“小数”和“混合运算”这两个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率分别为63.78%和61.58%;最后，在“函数”这个内容中，对于“规律或变化趋势”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最高，为68.97%。这充分说明，与现实情境结合紧密的数学运算知识（如负数）和技能（如规律或变化趋势）、用自然数的特殊形式来表征的“数”（如小数）和以机械思维活动为主要特征的数学运算技能（如运算律、混合运算），对于流动儿童而言较易理解和掌握。在“数与式”这个内容中，首先，对于“解决问题的策略”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率最低，为6.99%;其次，是“四则运算”这个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率为22.82%;再次，是“数量关系”和“方程”这两个内容的理解和掌握，流动儿童的得分率分别为31.39%和32.85%。这充分说明，在解决实际生活中的问题或者较抽象的数学问题中对合适方法的选择性和创造性，如四则运算的有效应用和借助几何直观对图形问题进行描述和分析，以及在实际问题的解决过程中模型思想的建立，流动儿童的理解和掌握存在较大的困难。 综上可知，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，数学运算知识和技能的抽象程度与流动儿童的学习情况这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
2.认知程度
对于学生数学学习水平（即认知程度）的刻画，《课标》使用“了解”“理解”“掌握”“运用”这四个描述结果目标的行为动词。本研究使用这四个描述结果目标的行为动词，对流动学生的数学运算技能的认知程度进行了刻画。
对于每一个认知水平，图2显示了流动儿童的得分率。由图2可见，首先，在认知水平的“运用”层次，流动儿童的得分率最高，为62.36%;其次，是认知水平的“了解”层次，流动儿童的得分率为52.92%。此外，在认知水平的“理解”层次，流动儿童的得分率最低，为35.15%。由《课标》可知，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，“运用”层次没有涉及解决问题时综合使用已掌握的对象来创造适当的方法和基于严密逻辑推理的证明，“了解”层次仅仅涉及在具体实例或情境中知道、举例说明或初步认识对象的有关特征，而“理解”层次却不仅仅局限于正确地进行运算，还涉及对运算的算理的正确感悟和理解。因此，上述数据充分说明，对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，流动儿童的运算行为以根据法则和运算律正确地进行运算为主，思维能力是通过对既定程序的反复操作获得的，思维活动上具有机械性的特征，并且对于学习对象简单或简便地模仿、记忆和训练较易接受。
3.内容-认知程度
通过比较流动儿童在测试量表涉及的内容的每一个认知水平的得分率，对于“自然数”这个内容，流动儿童在认知水平的“理解”层次的得分率为58.76%，在认知水平的“了解”层次的得分率为33.76%。这充分说明，和知道、初步认识自然数的抽象化过程以及蕴含其中的抽象概念相比，如最大公因子等，流动儿童更易于理解和掌握数系形式中的自然数及其运用。对于“数量关系”这个内容，流动儿童在认知水平的“了解”层次的得分率为65.7%，而在认知水平的“掌握”层次的得分率为22.82%;对于“比及按比例分配”这个内容，流动儿童在认知水平的“理解”层次的得分率为45.35%，而在认知水平的“掌握”层次的得分率为0.74%。这充分说明，对于实际情境中的简单问题，流动儿童更易于辨认、知道或初步认识蕴含其中的数量关系或比例关系，但是，对于实际问题的抽象化，如在现实生活中建立反映数量关系的式子，以及数学方法在问题解决上的应用性、选择性和创造性，如比例关系的建立、方程的表示等，会存在较大的困难。
此外，对于认知水平的“了解”层次，“数量关系”这个内容的得分率为65.7%，而“自然数”这个内容的得分率为33.76%，前者高于后者;对于认知水平的“理解”层次，“负数”这个内容的得分率最高，为82.08%，而“正比例”这个内容的得分率最低，为14.29%;对于认知水平的“掌握”层次，“小数”这个内容的得分率最高，为63.78%，而“比及按比例分配”这个内容的得分率最低，为0.74%;对于认知水平的“运用”层次，“运算律”这个内容的得分率最高，为73.37%，而“解决问题的策略”这个内容的得分率最低，为6.99%。这充分说明，在认知水平较低的层次上，数学运算的知识和技能的抽象性不会影响流动儿童的学习，但是，随着认知水平的逐渐提高，数学运算的知识和技能的抽象性、对已学习对象的综合使用、问题解决中方法的选择性、创造性会严重影响流动儿童的学习。也就是说，随着认知水平的逐渐提高，上述这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
三、研究结论与建议
1.研究结论
基于上述分析，本研究可得如下主要结论：
（1）对于4～6年级数学运算技能的理解和掌握，绝大多数流动儿童在学习上会存在较大的困难，只有极少数的流动儿童才能达到良好或良好以上的学习程度。
（2）数学运算知识和技能的抽象程度与流动儿童的学习情况这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
（3）流动儿童的运算行为以根据法则和运算律正确地进行运算为主，思维能力是通过对既定程序的反复操作获得的，思维活动上具有机械性的特征，并且对于学习对象简单或简便地模仿、记忆和训练较易接受。
（4）随着认知水平的逐渐提高，数学运算的知识和技能的抽象性、对已学习对象的综合使用、问题解决中方法的选择性、创造性和流动儿童的学习情况这两个变量之间会呈现明显的负相关性。
2.研究建议
针对4～6年级流动儿童数学运算知识和技能的学习现状，本研究从课堂教学的角度尝试提出如下三点建议。
（1）通过创设“情境—问题”，引导流动儿童感悟模型思想，提升运算思维
“情境认知”学习理论认为：知识是具有情境性的，知识是活动、背景和文化产品的一部分，知识正是在活动中，在其丰富的情境中，在文化中不断被运用和发展着[3]。数学情境是产生数学概念，提出和解决数学问题的背景和条件。创设数学情境，就是呈现给学生刺激性的数学信息，引起学生学习数学的兴趣，激发学生的好奇心、发现欲，产生认知冲突，诱发质疑猜想，从而使其发现数学问题和解决数学问题[4]。
吕传汉和汪秉彝先生在贵州地区主持开展了中小学“数学情境与提出问题”教学实验（简称“情境—問题”教学）。该实验认为：中小学生的数学学习，应是在教师指导下，从熟悉或感兴趣的数学情境出发，通过主动探究、提出问题、研究和解决问题等活动来获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识、数学思想方法和应用数学的技能，发展勇于探索、勇于创新的精神[5]。
在小学阶段数学运算能力的培养教学中，教师通过创设“情境—问题”教学，有助于流动儿童认识数和掌握抽象的运算知识，在问题解决中可以有效地减轻运算技能的迁移。例如，教师在“小数运算”的教学时可以根据教材内容设计出菜场买菜游戏情境。学生在卖菜人和买菜人的角色扮演中，通过互相询问和答复，充分感受小数运算在日常生活中的作用，体验运用运算知识解决问题的过程，获得初步的运算经验。 此外，《课标》明确指出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。在学习这些内容的过程中，帮助流动儿童感悟模型思想，可以使流动儿童在知识、技能、情感态度等方面都得到培养，完善对数与代数的学习。例如，教师在“分数”的教学时可以设计分披萨问题引入分数的概念。学生可以在等分披萨的过程中，建立等分值模型，理解分数单位，在分取披萨的体验中理解分数意义。
因此，在小学阶段运算能力的教学中，教师要基于流动儿童的生活经验和已有知识，创设关联紧密的“情境—问题”教学环境，引导流动儿童经历对现实情境的抽象、运算和建模，从而使流动儿童可以基于自身对现实、简单或问题情境的学习来感悟和理解概念的本质，体验从具体情境中抽象出概念的过程，进而理解抽象概念与它所抽象概括的各具体对应物之间的关系。
（2）在算法的操作教学中，关注算理解析的渗透，帮助流动儿童理解运算的本质
《课标》中提出的核心概念“运算能力”中，算法和算理是两个内涵明显不相同的专业术语。所谓算法，指的就是计算方法，详细地说，就是把复杂的思维过程进行简单化，然后添加一些后天人为规定的固定操作步骤，即计算法则。同时，在数学的定义上，算理是指四则计算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识，其内涵包括数和运算的意义，运算的归纳和性质[6]。研究表明：小学阶段数学运算能力的培养，需要“算理”的认识和“算法”的操作螺旋交互、协同发展[7]。例如，在“分数约分”的教学中，教师在演示算法的操作过程中，同时把着力点放在引导学生提升对于“不等式基本性质”和“最大公约数”的感悟和理解上。“不等式基本性质”是分数约分的算理依据，约分前后的分数是一样的，约分后能更清晰地看到、认识分数;“最大公约数”是分数约分的算理关键，“最大公约数”是约分前分数的分子和分母“共同拥有的”，依次或直接寻找、发现最大公约数是课堂教学的关键。在该案例中，我们可以发现，学生能够理解算理，并且在操作算法时，学生没有依赖机械地模仿，而是基于对算理的感悟和认识来进行计算。因此，在构建运算技能的教学时，对于法则和运算规律的操作，教师要侧重于算理的说明和强调，充分解析算理的本质，引导流动儿童正确地理解和感悟算理。
（3）在运算的课堂教学中，注重课程目标的整体实现，帮助流动儿童培养运算的素养
《课标》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想等。其中，数感、运算能力是一个重要内容，特别是对于流动儿童的发展而言具有深远的作用。数感和运算能力的培养，体现在不同学段、不同内容、不同方法中，是基于《课标》每一个课程内容逐步、循环生成的。在研究中，我们发现，流动儿童就读小学的一部分教师常常忽视《课标》要求，随意删减或增加课程内容，造成知识架构的缺失或偏离，直接影响了流动儿童运算技能的培养。为了帮助流动儿童全面打好运算技能基础，教师应注重课程内容的顶层设计，注重课程目标的整体实现。同时，教师要运用不同的方法，如核心概念、基本原理、数学思想等，引导流动儿童探索知识之间的关联，帮助流动儿童建立完善的知识结构体系，从而使流动儿童对学科知识和数学意识有准确的理解和感悟。
参考文献：
[1]中华人民共和国国家统计局.2010年第六次全国人口普查主要数据公报（第1号）[EB/OL].（2011-04-28）[2018-01-05]. http：//www.stats.gov.cn/tjsj/pcsj/rkpc/6rp/indexch.htm.
[2]徐冬英.学业情绪理论及其对流动儿童学业情绪辅导的启示[J].教育学术月刊，2017（6）：96-105.
[3]王文静.情境认知与学习理论研究述评[J].全球教育展望，2002（1）：51.
[4]吳华，马东艳.多媒体技术与数学“情境—问题”教学[J].数学教育学报， 2008（1）：87-90.
[5]吕传汉，汪秉彝.论中小学“数学情境与提出问题”的教学[J].数学教育学报， 2001（4）：75.
[6]郭爱娟.小学数学计算教学中算理和算法的有效结合体会[J].数学教学通讯， 2017（7）：62.
[7]蒋敏杰.小学数学计算教学算理的结构分析及教学策略[J].中小学教师培训， 2016（7）：37-41.
责任编辑：赵赟