一、解决集合问题的几种常见方法
　　集合是高中课程中非常重要的一章,是研究近现代数学的重要工具,与实际联系颇广。集合问题常融合多种数学思维方法,故而题型多变,解法多样。现总结解决集合问题的几种常见方法,与诸位读者共论。
　　(一)对比结构法
　　例1:如果A={x|x=2n+1,n∈z｝,B={x|x=4k±1,k∈z｝,那么()
　　(A)A B(B)B A (C)A=B(D)A≠B
　　分析:可令n=2m或2m+1(m∈z)再与x=4k±1相比较,这样代数式结构类似,易于比较。同理,若B={x| x=6k±1,k∈z｝可令集合A中n=3m,3m+1或3m+2(m∈z)依次类推……
　　解:令n=2m,或2m+1(m∈z)
　　则A={x|x=4m+1,或x=4m+3,m∈z｝
　　={x|x=4m+1,或x=4(m+1)-1,m∈z｝
　　显然A=B。选(C)
　　(二)讨论验证法
　　例2:已知集合A={a,a+b,a+2b｝,B={a,ac,ac2｝若A=B,求实数c的值.
　　分析::由A=B,A,B中的元素相同,但顺序可不同,因此分两种情况讨论。
　　
　　解: (1) 若2ac-ac-a=0
　　
　　∴ (c-1)2=0 ∴a=0或c=1
　　当a=0时,集合B中三元素均为0,故舍去。
　　当c=1时,集合B中三元素又相同,故舍去。
　　
　　(2)若2ac-ac-a=0
　　
　　又∵a≠0 ∴2c2-c-1=0 又∵c≠1∴c=-
　　经检验,此时A=B成立,综上所述c=-
　　(三)语言转化法
　　1、复杂集合语言转化为简单集合语言
　　A∪B=B A BA∩B=A A B
　　(CuA)∪B=U A BA∩(CuB)= A B
　　例3:设A={x|x2+4x=0｝,B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0｝
　　(1)若A∩B=B,求a的值。
　　(2)若A∪B=B,求a的值。
　　分析:将A化简,再通过“A∩B=BB A”与“A∪B=BA B”的转化,直接沟通A与B关系,易于求a。
　　解:由A={x| x2+4x=0｝得A={-4,0｝
　　(1)∵A∩B=B,∴B A,则B=Φ,或{0｝,或{-4｝,或{-4,0｝
　　1°当B=Φ时,A=4(a+1)2-4a2+4<0, 即a<-1
　　2°当B={0｝时, 0∈B且-4 B,有
　　
　　 得a=-1
　　3°当B={-4｝时,0 B且-4∈B,有
　　
　　 得a=7(舍去)
　　
　　4°当B={-4,0｝时,0∈B且-4∈B,有
　　
　　得a=1
　　
　　综合1°2°3°4°知a≤-1或a=1
　　(2)由A∪B=B得A B,又A={-4,0｝且B中至多有两个元素,
　　∴A=B ∴0∈B且-4∈B,由得a=1
　　
　　2、逻辑语言转化为集合语言
　　例4:已知:p: x| q:{x|1-m≤x≤1+m, m>0｝
　　若┐p是┐q的必要不充分条件,求实数m的取值范围
　　分析:由┐p ┐q 且┐p ┐q知┐q ┐p
　　解:由题意得p:{x|-2≤x≤10｝所以,
　　┐p:A={x|x<-2,或x>10｝ ┐q:B={x|x<1-m,或x>1+m,m>0｝
　　∵ ┐p是┐q的必要不充分条件
　　
　　∴B Am>9
　　
　　即m的取值范围是m>9
　　(四)图形辅助法
　　以数示形,数形结合是开启数学思路,识别问题实质的重要方法。
　　例5:已知全集u={不大于20的质数｝,M、N是u的两个子集,且满足M∩(CuN)={3,5｝,(CuM)∩N={7,19｝,(CuM)∩(CuN)={2,17｝,求M、N。
　　分析:利用韦氏图,将u中各部分填上相应元素,分析求解
　　解:u={2,3,5,7,11,13,17,19｝
　　由(CuM)∩(CuN)={2,17｝知M、N中没
　　有2,17,
　　由(CuM)∩N={7,19｝可知N中有元素7,19,M中没有7,19;由M∩(CuN)={3,5｝可知M中有元素3,5,N中没有3,5,剩下的元素11,13不在(CuM)∩N,M∩(CuN),(CuM)∩(CuN)中,只有11∈M∩N,13∈M∩N∴M={3,5,11,13｝ N={7,11,13,19｝
　　
　　
　　
　　
　　例6:已知A={x||x-a|<4｝,B={x||x-2|>3｝且A∪B=R,求a的范围。
　　分析:借助数轴直观反映集合关系。
　　解:∵A={x| -4+a5}
　　∵A∪B=R
　　
　　由图知:解得1　　二、利用等差數列性质巧求三角函数值
　　若a+b=2c,则a、c、b成等差数列,若设公差为d,则a=c-d,b=c+d,由此可以产生联想到一类三角函数的求值问题,倘能合理的应用则能达到巧解的目的,这里列举几道例题加以分析。
　　例1:已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),求tanθ的值。
　　解析:∵sinθ+cosθ==2×
　　∴sinθ,,cosθ成等差数列,设其公差为d,
　　则sinθ=-d,
　　cosθ=+d
　　∴(-d)2+(+d)2=1
　　d=±0.7
　　∵θ∈(0,π),
　　∴sinθ>0,
　　∴-d>0 ∴d=-0.7
　　∴sinθ=0.8cosθ=-0.6
　　∴tanθ== -
　　例2:已知3sinα-2cosα=2,求2sinα+cosα的值。
　　解析:∵3sinα-2cosα=2,则3sinα,1,-2cosα成等差数列。
　　故设3sinα=1-d,-2cosα=1+d,则sinα= ,cosα=-
　　∴( )2+(-)2=1,解得d=1或d=-
　　
　　∵2sinα+cosα=
　　- =
　　则当d=1时,2sinα+cosα=-1
　　当d=-时,
　　2sinα+cosα==
　　
　　例3:已知2cosθ+sinθ=1,求 的值。
　　解析:∵2cosθ+sinθ=1,则2cosθ,,sinθ成等差数列。
　　故设2cosθ=-d,sinθ=+d,则cosθ=- ,sinθ=+d
　　∴(-)2+(+d)2=1
　　解得d= 或 d=
　　
　　∵==
　　则当 d=时, = = -1
　　
　　当d=时,
　　由以上三道例题,不难总结出这类题的特点和解法。在解题时注意各知识点间的串通和联络,形成完整的知识网络,不但加强知识的综合能力,还能提高解题速度和正确率。