在数学中,“1”可谓变化多端,适当构造“1”的某种表达形式,在解题中往往能产生神奇的作用.本文就“1”在求值、化简、证明、比较大小、求最值、解不等式中作用,举例说明“1”的妙用,解读不寻常的“1”
　　◆1.无中生有巧求值
　　例1 已知tan α=-2,求14sin2 α+25cos2 α的值.
　　分析:在三角关系中有sin2 α+cos2 α=1,此题可使用sin2 α+cos2 α=1构造分式后弦化切处理.
　　解:14sin2 α+25cos2 α=
　　14sin2 α+25cos2 α1=
　　14sin2 α+25cos2 αsin2 α+cos2 α=
　　14tan2 α+25tan2 α+1=725.
　　◆2.合理代换促化简
　　例2 1-2sin αcos αcos2 α-sin2 α•
　　1+2sin αcos α1-2sin2 α.
　　分析:同例1一样可适时使用sin2 α+cos2 α=1代换常数“1”进行化简.
　　[JP8]解:原式=sin2 α+cos2 α-2sin αcos αcos2 α-sin2 α•
　　sin2 α+cos2 α+2sin αcos αsin2 α+cos2 α-2sin2 α=
　　(sin α-cos α)2cos2 α-sin2 α•
　　(sin α+cos α)2cos2 α-sin2 α=1
　　◆3.作商比较速证明
　　当a＞0,b＞0,欲证a＞b只需证ab＞1.适用范围:证明的不等式两端是乘积,幂或指数式.
　　例3 已知a＞b＞c＞0,求证:a2ab2bc2c＞ab+cbc+aca+b.
　　证明:由a＞b＞c＞0,得ab+cbc+aca+b＞0.
　　作商a2ab2bc2cab+cbc+aca+b＞
　　aaaabbbbccccabacbcbacacb=
　　aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=(ab)a-b(ac)a-c(bc)b-c，
　　∵a＞b＞0,∴ab＞1,a-b＞0,即(ab)a-b.同理得(bc)b-c＞1,(ac)a-c＞1.∴a2ab2bc2cab+cbc+aca+b＞1,
　　即a2ab2bc2c＞ab+cbc+aca+b.
　　◆4.两两比较见大小
　　例4 已知a＞0,a≠1,比较:ax(x+1)与a(x-1)(x+2)的大小.
　　当a＞0,b＞0,欲比较a,b的大小,可转化为比较ab与“1”的大小.
　　解:因为a＞0,a≠1,所以ax(x+1)＞0,a(x-1)(x+2)＞0ax(x+1)a(x-1)(x+2)=a(x2+x)-(x2+x-2)=a2,
　　当0＜a＜1时,a2＜1,所以ax(x+1)＜a(x-1)(x+2);当a＞1时，a2＞1，所以ax(x+1)＞a(x-1)(x+2).
　　◆5.乘“1”换“1”求最值
　　例5 5x＞0,y＞0且x+y=1,求1x+1y的最小值.
　　分析:此题可让其乘整体“1”、换“1”或代“1”求出最值.
　　解法一:1x+1y=(1x+1y)(x+y)=yx+xy+2≥2yx•xy+2=4.当且仅当x=y时等号成立.
　　解法二:令x=cos2 α，y=sin2 α,则
　　1x+1y=1cos2 α+1sin2 α=
　　cos2 α+sin2 αcos2 αsin2 α=4sin2 2θ≥4当且仅当sin2 2θ=1时等号成立.