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一、教学背景
人教版《数学》三年级下册“分数的初步认识”是在学生已掌握了一些整数知识的基础上进行教学的，无论在意义、读写方法及计算方法上，分数都与整数有很大的差异。分数概念的抽象性及其理解方式的多样性，是儿童理解分数概念的困难所在。根据我对三年级学生的实证研究发现：学生对分数鲜有生活经验，只有少部分孩子在生活中听说过或见过分数，但对分数的意义也是一知半解，有的同学甚至以为平时考试的成绩或篮球比赛时的得分就是分数。正如德国人在描述一个人陷入困境迷茫时用“如陷入分数中”来表达，由此可见，分数是一个让人迷茫的数。
对于这既“难学”又“迷茫”的分数教学，我有以下两点思考：
1.在分数的多个含义中，分数的起点是什么？什么概念处于基础地位？在平时的教学中，教师们往往只是抓住了“平均分”这一特性，然而“平均分”的经验，儿童在幼儿园是时候就已经有了，它对认识分数固然很重要，但并不是难点，更不是唯一的重点。那么，本课认识分数的核心意义是什么？究竟要把握分数概念的哪些基本要素？又该如何设计教学，才能凸显分数概念的本质呢？
2.问题是数学的心脏。在老师们设计的问题情境中，孩子们真正体会到学习分数的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进行数学本质的思考吗？那么，该如何设计问题来驱动学生“真学习”，从而引导学生自主建构分数概念，同时实现对学生的思维训练？
张奠宙教授说：“教师的任务是将知识的学术形态转化为教育形态。”这体现了教学工作的创造性。基于对以上问题的思考，我进行了问题趋动，聚焦本质的教学尝试，即以有逻辑的系列问题，聚焦分数初步认识的本质。
二、教学过程
（一）揭示课题，梳理核心问题
师：分数是一个数，它是数家簇中重要的一员。你们在哪里听说过或见过它吗？关于分数你想提什么问题？
师生共同梳理出核心问题：①为什么要有分数？②什么是分数？ ③分数怎么读？怎么写？
（二）问题导向，探究学习分数
问题一：为什么要有分数？
1.创设秋游情境，激发认知冲突
师：在生活中，我们常常要和伙伴一起分享物品，淘氣和棉花糖秋游的时候带来了许多的食物，你们能帮他们分一分吗？
分物：6颗青菜平均分给2个人吃，每人吃几颗？2个鸡腿呢？苹果只有一个，怎么分？
2.自主尝试探究，多元表征“半个”
半个苹果该用什么数来表示呢？你还能用原来学过的整数来表示吗？请同学们上黑板来写一写、画一画。
采访：你是怎么表示的？
3.感受分数产生，来源生活需要
师：古时候的人就是和我们遇到了同样的情况，分东西的时候不够分，原来的整数已经不能表示分的结果了，就发明了分数，分数就是这样产生的。
[自评：创设学生喜爱的生活情境，从分物引发矛盾冲突，继而让学生多元表征“半个”，引导学生将视觉化表征转化为言语化表征，发展口头语言、文字语言与符号语言，促进三类语言的转换。不仅让学生感同深受分数产生的必要性，也为后面理解的含义作好了铺垫。]
问题二：什么是分数？
1.初步结合实物模型认识分数的含义
（1）数形结合，认识
①教师导学，读懂分物过程和图示，初步理解的含义
教师用一个圆形代表一个苹果，从中间对折，并用斜线表示淘气吃的那一半。
师：为什么可以表示半个苹果呢？你们知道这短短的一横表示什么意思？ 2表示什么意思呢？上面的1表示什么？
师：淘气吃了一半，棉花糖也吃了一半，每人都吃了这个苹果的。
共同概括：把一个苹果平均分成2份，每份是它的。
②回溯操作，加深理解的含义
活动一：用所给图形表示出
活动要求： 1.折一折、画一画、涂一涂。
2.同桌交流，说说你表示出的的含义。
③判断辨析，理解的本质含义
下列图形的涂色部分能用表示吗？
[自评：的教学是本节课的重点内容，教师引导学生既能读懂操作过程和图示，会用表示;又能根据符号，用操作活动和图示进行解释。实现了问题情境和抽象之间的双向循环，在“有来有回”中帮助学生建立的模型。判断辨析中运用了“非概念变式”进一步加深了对含义的理解。]
（2）运用类比，自学、、
提问： 你能用学习的经验，推理自学、、吗？
小老师1：我想教大家的分数是，把一个圆平均分成3份，每份是它的。我要强调的重点是一定要“平均分”，而且要分成3份。
教师协助用课件演示将一个圆平均分成3份，变换出示3个。
提问：你发现了什么？
生：每一份都一样多，都是，有3个。
追问：他们都是谁的？
小老师2：我想教大家的分数是，把一块月饼平均分成4份，每份是它
。我要强调的重点是每一份都是这块月饼的。
小老师3：我想教大家的分数是，把一个长方形平均分成5份，我要强
的重点是无论你涂的是哪一份，都是这个长方形的。
[自评：引导学生从的意义理解，类推出、和的意义，这个过程非常自然，顺势而为，学生感受到类推这一数学思想的魅力。从而培养了学生的类推能力和合情推理能力。在的教学环节，运用多媒体课件的优势帮助学生加深理解了“平均分”、“每份”和“它的”这三个分数的本质含义。]
2.用实物模型表示给定的分数，异中求同揭示分数本质。
（1）活动二：用一张正方形的纸，表示出它的
①提问：你们表示的有什么不同？为什么又都可以用 来表示？ ②小组展示，全班共同概括
我们发现：折法不同，涂色部分的形状不同，只要平均分成4份，每份就是它的。
[自评：在问题驱动下的“带有思考性质的操作性活动”，既有外显的操作行为，也伴随内隐的思维参与，让学生在异中求同中使学生找到分数的本质特征。]
（2）小魔术演示变式，落实分数“是谁的”
图一 图二 图三
设疑1：将表示的折掉一个小角，涂色部分还是这张纸的吗？ （图一）
设疑2：折掉一个小长方形，涂色部分是吗？是谁的？（图二）
设疑3：现在又是谁的？（图三）
总结：同样是，它们的含义不一样，每一个分数，都要知道它是“谁的”。
（3）引导学生概括分数的概念
师：同学们，现在你们能说说什么是分数了吗？
共同概括：把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。
[自评：引导学生通过观察、对比、、、等分数的含义，进而归纳、抽象概括出分数的概念，培养了学生的合情推理能力。]
问题三：分数怎么读？怎么写？
（三）分层练习，运用拓展分数
1.基础练习：用分数表示下面各图的涂色部分
2.提高练习：每种涂色部分各是大正方形的几分之一？
3. 变式练习：猜一猜，那条彩带长？为什么？
[自评：学生通过合情推理，凭借对分数意义的理解，猜想第1条线段的整体有2条小线段，第2条线段的整体有3条小线段，这种由部分推及整体的问题，有助于学生全面认识整体与部分的倍数关系;部分是整体的几分之几，整体中包含了几个部分。]
（四）回顾总结，首尾呼应谈分数
回顾反思：请你谈一谈对开课提出的三个问题有什么收获和感想？
三、教学反思
一节课下来，甚感欣喜。孩子们从最初的茫然不知到最后的清晰，经历了一个“从无到有、从粗糙到精确”的数学化的过程，一步一个台阶，一步一个风景，充满了探索的愉悦和成就感。本课关注知识本质，巧妙設计教学过程，是一学生学得特别明白的课。具体而言，主要做到以下三点：
（一）“四基”目标导向，调控教学过程，有效实施得以达成
本节“四基” 目标设定为：初步掌握几分之一的含义与形成分数初步知识的技能;感知理解数形结合与类比推理的数学思想方法;获得建构分数初步认识的经验。通过系列问题趋动，聚焦概念的内涵与外延的本质，由认识作基础，深入自学、、，去层层揭示与调控，引导学生思维不断向纵深推进，从而达成对分数初步知识的认知与操作技能的形成;同时，又借此过程，通过均分物体、折纸、填图等操作性活动，丰富学生分数的表象，积累学生分数的体验性经验;让学生感知数学思想方法也是明显的，无论是认识、、、或设计巩固练习等，始终实物与数、图形与数紧密结合，体现数形结合思想，同时从认识到认识、、等还体现类比推理思想，进而初步总结出分数的意义，又体现出特殊到一般的思想等，可见“四基” 达成有效到位。
（二）问题环环相扣，有效驱动探究，思维训练真正落实
努力促进学生的思维发展是每一节数学课教学的核心目的，“问题驱动”是实现这一目标最重要的途径和方法。教师高屋建瓴，为学生设计具有一定开放性、自由度和有针对性的问题对学生的学习显得尤其重要。
可以看出，在本节课的教学中主要提了以下几类问题：
1.“为什么”和“是什么”的问题。如：①为什么要有分数？②半个苹果该用什么数来表示呢？③说说你表示出的的含义是什么？④你能用学习的经验，推理自学、、吗？⑤猜一猜，那条彩带长？为什么？这类问题是促使学生学习分数知识从“知其然”向“知其所以然”转变的关键。
2.“同与不同”的问题。如：①用一张正方形的纸，表示出它的，看看你们表示的有什么不同？为什么又都可以用来表示？ ②这些分数有什么相同的地方和不同的地方？这类问题属于比较的问题，比较可以看成学习的关键所在。第一、学习就是鉴别。学习认识分数就是从对象中区分一些主要特征并将注意力聚焦于这些特征;第二，有比较才能鉴别，鉴别依赖对差异的认识。这类问题有利于学生在此基础上进行分类，类比，抽象、概括，从而促进分数的概念的形成。
3.“回头看”的问题。如：①是什么意思呢？②我们学到现在，你能总结出什么是分数吗？③分母表示什么？分子呢？④学习了本节课，请你谈一谈对我们开课提出的三个问题有什么收获和感想？这类问题引导学生进行反思，可以对分数概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会“数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化，概括化，从而促进数学素养的形成。
因而，在“核心问题”的引领下，“问题串”的驱动下，整节课学生的思维始终处于活跃状态，通过浅入深出的问题将学生的思维逐步引向深入，引导他们进行观察、思考、猜测、归纳、推理、总结，使得思维训练真正落实到位。
（三）明晰概念之理，知识理法通透，聚焦数学本质问题。
英国学者欧内斯特指出：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么……如果不正视数学知识的本质问题，便解决不了数学上的争议。”
分数并非是可以通过计数活动得到的数，而是代表了两个量关系的相对量。本课从“部分一整体”的角度认识分数，确定整体量、判断等分，认识部分与整体之间的包含与补偿关系是理解分数的“部分-整体”问题的关键。因而“平均分”、“每份”和“它的”这三个关键词正是本节课分数概念的基本要素。
为了凸显知识的本质，可以看出本节课教师始终围绕这三个基本要素进行教学。特别是巧妙地设计了以下3个环节：1.在认识这个环节，教师运用多媒体课件动态演示出将一个圆均分成三份，运用数形结合，为学生巧妙搭建说理的平台，学生在交流碰撞中，教师的引导下很快就发现了隐藏的道理：把一个“圆”平均分成三份，每份都是这个圆的三分之一，每一份都是相等的，3个就组成了1个圆;2 .认识这个环节，教师选择了几份不同的涂色方法，通过非标准变式让学生在明白：只要是平均分成了5份，无论哪一份都是这个长方形的;3.最后教师又设计了一个巧妙的“小魔术”，通过非概念变式让学生再一次感悟出：“同样是，含义不一样，分的是谁就是谁的几分之一”，其实这就是在渗透分数中十分重要的“单位1”的知识，为后续学习分数打下了坚实的基础。这些环节的设计使分数的三个基本要素得到深化和理解。学生深切感悟到了分数的意义，明晰知识的本质，理法通透，才能让孩子学得更有深度。
人教版《数学》三年级下册“分数的初步认识”是在学生已掌握了一些整数知识的基础上进行教学的，无论在意义、读写方法及计算方法上，分数都与整数有很大的差异。分数概念的抽象性及其理解方式的多样性，是儿童理解分数概念的困难所在。根据我对三年级学生的实证研究发现：学生对分数鲜有生活经验，只有少部分孩子在生活中听说过或见过分数，但对分数的意义也是一知半解，有的同学甚至以为平时考试的成绩或篮球比赛时的得分就是分数。正如德国人在描述一个人陷入困境迷茫时用“如陷入分数中”来表达，由此可见，分数是一个让人迷茫的数。
对于这既“难学”又“迷茫”的分数教学，我有以下两点思考：
1.在分数的多个含义中，分数的起点是什么？什么概念处于基础地位？在平时的教学中，教师们往往只是抓住了“平均分”这一特性，然而“平均分”的经验，儿童在幼儿园是时候就已经有了，它对认识分数固然很重要，但并不是难点，更不是唯一的重点。那么，本课认识分数的核心意义是什么？究竟要把握分数概念的哪些基本要素？又该如何设计教学，才能凸显分数概念的本质呢？
2.问题是数学的心脏。在老师们设计的问题情境中，孩子们真正体会到学习分数的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进行数学本质的思考吗？那么，该如何设计问题来驱动学生“真学习”，从而引导学生自主建构分数概念，同时实现对学生的思维训练？
张奠宙教授说：“教师的任务是将知识的学术形态转化为教育形态。”这体现了教学工作的创造性。基于对以上问题的思考，我进行了问题趋动，聚焦本质的教学尝试，即以有逻辑的系列问题，聚焦分数初步认识的本质。
二、教学过程
（一）揭示课题，梳理核心问题
师：分数是一个数，它是数家簇中重要的一员。你们在哪里听说过或见过它吗？关于分数你想提什么问题？
师生共同梳理出核心问题：①为什么要有分数？②什么是分数？ ③分数怎么读？怎么写？
（二）问题导向，探究学习分数
问题一：为什么要有分数？
1.创设秋游情境，激发认知冲突
师：在生活中，我们常常要和伙伴一起分享物品，淘氣和棉花糖秋游的时候带来了许多的食物，你们能帮他们分一分吗？
分物：6颗青菜平均分给2个人吃，每人吃几颗？2个鸡腿呢？苹果只有一个，怎么分？
2.自主尝试探究，多元表征“半个”
半个苹果该用什么数来表示呢？你还能用原来学过的整数来表示吗？请同学们上黑板来写一写、画一画。
采访：你是怎么表示的？
3.感受分数产生，来源生活需要
师：古时候的人就是和我们遇到了同样的情况，分东西的时候不够分，原来的整数已经不能表示分的结果了，就发明了分数，分数就是这样产生的。
[自评：创设学生喜爱的生活情境，从分物引发矛盾冲突，继而让学生多元表征“半个”，引导学生将视觉化表征转化为言语化表征，发展口头语言、文字语言与符号语言，促进三类语言的转换。不仅让学生感同深受分数产生的必要性，也为后面理解的含义作好了铺垫。]
问题二：什么是分数？
1.初步结合实物模型认识分数的含义
（1）数形结合，认识
①教师导学，读懂分物过程和图示，初步理解的含义
教师用一个圆形代表一个苹果，从中间对折，并用斜线表示淘气吃的那一半。
师：为什么可以表示半个苹果呢？你们知道这短短的一横表示什么意思？ 2表示什么意思呢？上面的1表示什么？
师：淘气吃了一半，棉花糖也吃了一半，每人都吃了这个苹果的。
共同概括：把一个苹果平均分成2份，每份是它的。
②回溯操作，加深理解的含义
活动一：用所给图形表示出
活动要求： 1.折一折、画一画、涂一涂。
2.同桌交流，说说你表示出的的含义。
③判断辨析，理解的本质含义
下列图形的涂色部分能用表示吗？
[自评：的教学是本节课的重点内容，教师引导学生既能读懂操作过程和图示，会用表示;又能根据符号，用操作活动和图示进行解释。实现了问题情境和抽象之间的双向循环，在“有来有回”中帮助学生建立的模型。判断辨析中运用了“非概念变式”进一步加深了对含义的理解。]
（2）运用类比，自学、、
提问： 你能用学习的经验，推理自学、、吗？
小老师1：我想教大家的分数是，把一个圆平均分成3份，每份是它的。我要强调的重点是一定要“平均分”，而且要分成3份。
教师协助用课件演示将一个圆平均分成3份，变换出示3个。
提问：你发现了什么？
生：每一份都一样多，都是，有3个。
追问：他们都是谁的？
小老师2：我想教大家的分数是，把一块月饼平均分成4份，每份是它
。我要强调的重点是每一份都是这块月饼的。
小老师3：我想教大家的分数是，把一个长方形平均分成5份，我要强
的重点是无论你涂的是哪一份，都是这个长方形的。
[自评：引导学生从的意义理解，类推出、和的意义，这个过程非常自然，顺势而为，学生感受到类推这一数学思想的魅力。从而培养了学生的类推能力和合情推理能力。在的教学环节，运用多媒体课件的优势帮助学生加深理解了“平均分”、“每份”和“它的”这三个分数的本质含义。]
2.用实物模型表示给定的分数，异中求同揭示分数本质。
（1）活动二：用一张正方形的纸，表示出它的
①提问：你们表示的有什么不同？为什么又都可以用 来表示？ ②小组展示，全班共同概括
我们发现：折法不同，涂色部分的形状不同，只要平均分成4份，每份就是它的。
[自评：在问题驱动下的“带有思考性质的操作性活动”，既有外显的操作行为，也伴随内隐的思维参与，让学生在异中求同中使学生找到分数的本质特征。]
（2）小魔术演示变式，落实分数“是谁的”
图一 图二 图三
设疑1：将表示的折掉一个小角，涂色部分还是这张纸的吗？ （图一）
设疑2：折掉一个小长方形，涂色部分是吗？是谁的？（图二）
设疑3：现在又是谁的？（图三）
总结：同样是，它们的含义不一样，每一个分数，都要知道它是“谁的”。
（3）引导学生概括分数的概念
师：同学们，现在你们能说说什么是分数了吗？
共同概括：把一个物体平均分成几份，每份就是它的几分之一。
[自评：引导学生通过观察、对比、、、等分数的含义，进而归纳、抽象概括出分数的概念，培养了学生的合情推理能力。]
问题三：分数怎么读？怎么写？
（三）分层练习，运用拓展分数
1.基础练习：用分数表示下面各图的涂色部分
2.提高练习：每种涂色部分各是大正方形的几分之一？
3. 变式练习：猜一猜，那条彩带长？为什么？
[自评：学生通过合情推理，凭借对分数意义的理解，猜想第1条线段的整体有2条小线段，第2条线段的整体有3条小线段，这种由部分推及整体的问题，有助于学生全面认识整体与部分的倍数关系;部分是整体的几分之几，整体中包含了几个部分。]
（四）回顾总结，首尾呼应谈分数
回顾反思：请你谈一谈对开课提出的三个问题有什么收获和感想？
三、教学反思
一节课下来，甚感欣喜。孩子们从最初的茫然不知到最后的清晰，经历了一个“从无到有、从粗糙到精确”的数学化的过程，一步一个台阶，一步一个风景，充满了探索的愉悦和成就感。本课关注知识本质，巧妙設计教学过程，是一学生学得特别明白的课。具体而言，主要做到以下三点：
（一）“四基”目标导向，调控教学过程，有效实施得以达成
本节“四基” 目标设定为：初步掌握几分之一的含义与形成分数初步知识的技能;感知理解数形结合与类比推理的数学思想方法;获得建构分数初步认识的经验。通过系列问题趋动，聚焦概念的内涵与外延的本质，由认识作基础，深入自学、、，去层层揭示与调控，引导学生思维不断向纵深推进，从而达成对分数初步知识的认知与操作技能的形成;同时，又借此过程，通过均分物体、折纸、填图等操作性活动，丰富学生分数的表象，积累学生分数的体验性经验;让学生感知数学思想方法也是明显的，无论是认识、、、或设计巩固练习等，始终实物与数、图形与数紧密结合，体现数形结合思想，同时从认识到认识、、等还体现类比推理思想，进而初步总结出分数的意义，又体现出特殊到一般的思想等，可见“四基” 达成有效到位。
（二）问题环环相扣，有效驱动探究，思维训练真正落实
努力促进学生的思维发展是每一节数学课教学的核心目的，“问题驱动”是实现这一目标最重要的途径和方法。教师高屋建瓴，为学生设计具有一定开放性、自由度和有针对性的问题对学生的学习显得尤其重要。
可以看出，在本节课的教学中主要提了以下几类问题：
1.“为什么”和“是什么”的问题。如：①为什么要有分数？②半个苹果该用什么数来表示呢？③说说你表示出的的含义是什么？④你能用学习的经验，推理自学、、吗？⑤猜一猜，那条彩带长？为什么？这类问题是促使学生学习分数知识从“知其然”向“知其所以然”转变的关键。
2.“同与不同”的问题。如：①用一张正方形的纸，表示出它的，看看你们表示的有什么不同？为什么又都可以用来表示？ ②这些分数有什么相同的地方和不同的地方？这类问题属于比较的问题，比较可以看成学习的关键所在。第一、学习就是鉴别。学习认识分数就是从对象中区分一些主要特征并将注意力聚焦于这些特征;第二，有比较才能鉴别，鉴别依赖对差异的认识。这类问题有利于学生在此基础上进行分类，类比，抽象、概括，从而促进分数的概念的形成。
3.“回头看”的问题。如：①是什么意思呢？②我们学到现在，你能总结出什么是分数吗？③分母表示什么？分子呢？④学习了本节课，请你谈一谈对我们开课提出的三个问题有什么收获和感想？这类问题引导学生进行反思，可以对分数概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会“数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化，概括化，从而促进数学素养的形成。
因而，在“核心问题”的引领下，“问题串”的驱动下，整节课学生的思维始终处于活跃状态，通过浅入深出的问题将学生的思维逐步引向深入，引导他们进行观察、思考、猜测、归纳、推理、总结，使得思维训练真正落实到位。
（三）明晰概念之理，知识理法通透，聚焦数学本质问题。
英国学者欧内斯特指出：“数学教学的问题并不在于寻找最好的教学方式，而在于明白数学是什么……如果不正视数学知识的本质问题，便解决不了数学上的争议。”
分数并非是可以通过计数活动得到的数，而是代表了两个量关系的相对量。本课从“部分一整体”的角度认识分数，确定整体量、判断等分，认识部分与整体之间的包含与补偿关系是理解分数的“部分-整体”问题的关键。因而“平均分”、“每份”和“它的”这三个关键词正是本节课分数概念的基本要素。
为了凸显知识的本质，可以看出本节课教师始终围绕这三个基本要素进行教学。特别是巧妙地设计了以下3个环节：1.在认识这个环节，教师运用多媒体课件动态演示出将一个圆均分成三份，运用数形结合，为学生巧妙搭建说理的平台，学生在交流碰撞中，教师的引导下很快就发现了隐藏的道理：把一个“圆”平均分成三份，每份都是这个圆的三分之一，每一份都是相等的，3个就组成了1个圆;2 .认识这个环节，教师选择了几份不同的涂色方法，通过非标准变式让学生在明白：只要是平均分成了5份，无论哪一份都是这个长方形的;3.最后教师又设计了一个巧妙的“小魔术”，通过非概念变式让学生再一次感悟出：“同样是，含义不一样，分的是谁就是谁的几分之一”，其实这就是在渗透分数中十分重要的“单位1”的知识，为后续学习分数打下了坚实的基础。这些环节的设计使分数的三个基本要素得到深化和理解。学生深切感悟到了分数的意义，明晰知识的本质，理法通透，才能让孩子学得更有深度。