由于勾股定理运用广泛，所以数学竞赛中出现的机会就比较多.下面针对勾股定理这一章的内容在数学竞赛中所涉及的部分做一介绍.
　　 例1 （希望杯）一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为15，那么另一条直角边的长有种可能，其中最大值是 .
　　 解析：设三角形的另一条直角边的长为x，斜边为y，且x，y为整数.由于三角形为直角三角形，所以由勾股定理可得：152+x2=y2.
　　 变形为y2-x2=152，（y+x）（y-x）=152，
　　 所以可得y+x=152，y-x=1，或y+x=25，y-x=9，或y+x=75，y-x=3，或y+x=45，y-x=5.
　　 解以上的方程组可得x=112，或8，或36，或20.
　　 所以直角边的长有4种可能，其中最大值是112.
　　 评点：巧用平方差公式结合方程组是此题最大的亮点.
　　 例2 （希望杯）如图1所示，已知Rt△ABC两直角边的长分别为9和12，D、E、F、G分别是两直角边的三等分点，过这些点分别作另一直角边的平行线，将△ABC分成六个不重合的部分，这六个部分的周长和为.
　　 所以，六个部分的周长和为：
　　 AC+BC+AB+2（DM+EN+GN+FM）=78.
　　 评点：此题要用勾股定理开道.等分后的图形很特殊，有些部分不需要重复计算.
　　 例3 （希望杯）如图2，等腰Rt△ABC的直角边长为32，从直角顶点A作斜边BC的垂线交BC于D1，再从D1作D1D2⊥AC交AC于D2，再从D2作D2D3⊥BC交BC于D3…，则AD1+D2D3
　　+D4D5+D6D7+D8D9= ；D1D2+D3D4+D5D6+D7D8+D9D10
　　=.
　　 解析：Rt△ABC中，AB=AC=32，
　　由此类推可得：
　　AD1+D2D3+D4D5+D6D7+D8D9
　　 D1D2+D3D4+D5D6+D7D8+D9D10=16+8+4+2+1=31.
　　 评点：解决此题既要用到勾股定理，也要用到等腰直角三角形的特殊性，还要用到实数的合并同类项.
　　 例4 （创新杯）如图3所示，已知四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=
　　.
　　 解析：延长DA、CB交于E，易知△ABE与△EDC都是等腰直角三角形.
　　 （由所给三个角的度数，可以求出∠C和∠E都是45°.）
　　 点评：把四边形转化为等腰直角三角形是解决此题的关键一步.进而应用勾股定理，巧列方程，化难为易.